鞠花

（西安理工大學 理學院 應用數(shù)學系，陜西 西安 710048）

案例教學法在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課堂教學中的應用

鞠花

（西安理工大學 理學院 應用數(shù)學系，陜西 西安 710048）

針對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》傳統(tǒng)教學中存在的重理論輕實踐、重知識輕能力的不足，本文在簡要分析了案例教學法的內涵及其教學步驟的基礎上，將案例教學法應用于《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》古典概型知識點的課堂教學中，取得了良好的教學效果。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計；案例教學法；應用

一、引言

隨著現(xiàn)代科學技術的不斷進步與計算機技術的飛速發(fā)展，無論在自然科學領域還是在社會科學領域中，傳統(tǒng)的肯定性數(shù)學已經(jīng)不能合乎要求地解決所遇到的各類理論問題及應用問題，因而在這個過程中隨機性數(shù)學即概率論與數(shù)理統(tǒng)計得到了突飛猛進的發(fā)展[1]。長期以來，隨著概率論與數(shù)理統(tǒng)計在理論上不斷成熟與完善，它在自然科學、社會科學、工農業(yè)生產(chǎn)、工程技術等領域中的應用日益廣泛和深入。當今許多新興學科諸如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能等都以它為基礎；它與基礎學科相結合已發(fā)展出許多邊緣學科，如生物統(tǒng)計、統(tǒng)計物理、數(shù)理經(jīng)濟等?；谏鲜鰧嶋H應用背景，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的重要性越來越受到人們的重視。概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程已成為理工科各專業(yè)大學生的一門必修課程，也是目前全國研究生入學數(shù)學統(tǒng)考試題中重要內容之一。因此，學習與掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本理論與應用，不僅是將來從事科學研究與工程實際工作的需要，也是繼續(xù)學習現(xiàn)代科學技術與個人深造的需要，也是高度發(fā)展的現(xiàn)代科學技術對現(xiàn)代化人才提出的基本要求[1]。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是研究和探索隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的一門數(shù)學科學。通過本課程的學習，培養(yǎng)理工科學生靈活地運用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本理論和方法處理和解決客觀世界中實際隨機現(xiàn)象問題的能力。然而，長期以來以老師為中心的灌輸式、填鴨式的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學模式過于側重理論推導和計算技巧訓練，忽視對學生解決問題的思想方法和應用能力的培養(yǎng)。在上述傳統(tǒng)教學活動過程中學生往往只是被動的聽眾，并沒有主動地參與教學活動，不能充分發(fā)揮學生的主動性和積極性，更談不上利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法去解決實際問題。因此，如何提高課堂效率和達到最佳教學效果成為從事此類教學工作的教師長期關注和研究的問題。針對這種情況，許多高校都提出了《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》案例教學法[2-4，6-9]，而如何在課堂上實施案例教學成為教學工作者研究的重點內容。

結合多年的教學實踐，針對傳統(tǒng)教學法存在的不足，筆者就在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的古典概型知識點的課堂教學中如何合理地應用案例教學法提出自己的一些認識和見解。

二、案例教學法的內涵及優(yōu)勢

案例教學法自20世紀初被美國哈佛商學院倡導用于管理學教育以來，已被許多國家的教學實踐證明是一種具有啟發(fā)性、實踐性并有利于提高學生應用能力和綜合素質的教學方法[5]。

案例教學法是以案例為基礎的教學方法，教師在教學過程中，根據(jù)課程教學內容和教學目標的需要，選擇含有問題或疑難情境在內的真實發(fā)生的典型事件（案例），采用引導、啟發(fā)、參與等多種教學方式，通過深入分析、討論和交流的教學互動過程，以設計者和激勵者的角色組織學生積極參與課前精心設計的案例所提供的客觀事實和問題的分析和討論，提出見解并做出判斷和決策，從而加深學生對課堂教學內容理解和提高學生分析問題和解決問題能力的一種教學方法。案例教學法具有教學目的明確、引用案例客觀真實、對學生有深刻的啟發(fā)性、充分發(fā)揮學生主體性、較強的實踐性等特點，在實際教學過程中發(fā)揮著重要的作用[10]。

與傳統(tǒng)教學法相比，案例教學法具有明顯的優(yōu)勢[6]，具體包括：①有利于提高學習的趣味性；②有利于調動學生學習的主動性；③有利于提高學生的語言文字表達能力；④有利于培養(yǎng)學生交流和合作的意識；⑤有利于實現(xiàn)教學相長。同時，大量研究表明：案例教學法可以調動學生學習的主動性與積極性，充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用，從而達到“教”和“學”的互動交流，增強師生之間的溝通，有助于生動活潑的課堂氣氛的形成。

三、案例教學法在課堂教學中的應用

1.案例教學法的應用步驟。根據(jù)案例教學法的上述內涵可知，案例教學法是在課堂教學中對案例進行深入分析和討論的基礎上引入某一基本概念或理論知識，并不是簡單地實例推理、求解，而這樣可以提高學生對這一知識的理解和掌握，進一步提高學生的學習興趣和增強學生發(fā)現(xiàn)、分析和解決實際問題的能力。因此在課堂上應用案例教學法時，通常要遵循以下幾個步驟。

（1）根據(jù)所講授的知識點內容，精選案例。案例與一般的例題不同，必須有產(chǎn)生問題的實際背景，并能夠為學生所理解，任何理想化的、脫離實際的例子都會誤導學生，從而失去教學的意義，這是實施案例教學的前提條件。選出的案例要求主題突出、有理論深度，而且具有真實性、針對性、典型性和時代性，是大家共同感興趣的話題?？傮w而言，為了達到良好的教學效果，應選擇與相應專業(yè)比較貼近的案例，以便調動學生學習的積極性。

（2）對挑選出的案例進行問題設計，做好案例的討論、分析。案例的討論與分析是案例教學的中心環(huán)節(jié)。對案例進行討論的目的是提出解決問題的途徑與方法，可以從自身角度出發(fā)來剖析案例，說明自己的觀點和看法。教師要掌握討論的進程，讓學生成為案例討論的主體，同時把握好案例討論的重點和方向，進行必要的引導。同時，在組織案例教學時要輔以各種有效的教學方法，如啟發(fā)式教學、討論式教學，讓學生積極參與，大膽發(fā)表意見，提出觀點，深入思考，激發(fā)學生的學習熱情及科研興趣，使案例教學效果達到最佳，培養(yǎng)學生運用概率統(tǒng)計原理解決實際問題的能力[2，7]。

（3）對所選的案例所解決的問題一定要進行歸納總結。案例總結是保證和提高案例教學質量的必備環(huán)節(jié)。對案例的總結一般要包括以下內容：一是對討論過程進行總結，對于一個案例，讓學生提出各種觀點及其案例所包含的概率統(tǒng)計原理，讓學生通過分析和評價案例，掌握正確處理和解決復雜多變的現(xiàn)實問題的思路與方法[2，7]；二是教師對案例中的重點、難點問題作補充或提高性的闡述，指出學生在分析案例時存在的問題，并提出需要進一步深入思考的問題[2，7]；三是教師自身在課后進行總結分析，所選取的教學案例是否恰當，與課堂知識點的結合是否良好，案例教學是否達到了預期效果，存在哪些問題，以便加以改進[7]。

2.案例教學法應用實例。在教授古典概型時，可以采用如下步驟進行案例教學。

（1）案例引入。引入擲骰子實驗，提出的問題是：①實驗的可能結果是什么，是否是有限的？②每一個實驗結果是否是等可能出現(xiàn)的，概率為多少？③擲骰子擲出偶數(shù)點的概率是多少？

（2）案例分析與討論。首先，分析擲骰子的實驗結果即樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}，從而得到實驗的結果是有限個；其次，討論每一個實驗結果是否等可能的發(fā)生，經(jīng)過討論得出在骰子質量均勻分布情況下，每個實驗研究結果都是等可能發(fā)生的，從而得出每個實驗結果出現(xiàn)的概率為；然后，在第二個問題討論的基礎上，得出偶數(shù)點的出現(xiàn)概率為出現(xiàn)點數(shù)為2、4、6的概率之和，即

（3）歸納總結。

（a）經(jīng)過歸納可知，擲骰子實驗有兩個特點：①實驗的結果是有限的；②實驗的每個結果是等可能發(fā)生的。凡是滿足上述兩個特點的實驗，都屬于古典概型的范疇，從而引入了古典概型的概念。為了加深學生對古典概型的認識，也可以對拋硬幣、抽取產(chǎn)品、買彩票等實驗進行分析，以判斷它們是否為古典概型。

（b）授課教師在課堂上通過引導學生參與討論與分析，總結出古典概型中事件A的概率計算公式，即

（4）實例應用。在公園門口，一個擺地攤的賭主將8個白色的、8個紅色的乒乓球放在袋子里。賭主規(guī)定：自愿摸彩者在交1元錢的“手續(xù)費”后，可一次性從袋子中摸出5個球；在摸出的5個乒乓球中，有5個紅球獎勵20元，有4個紅球獎勵2元，有3個紅球獎勵價值5角的紀念品，而僅有1個或2個紅球則無任何獎勵。由于本錢較少，許多圍觀者都躍躍欲試，有的竟連摸數(shù)十次，結果許多人“乘興而摸，敗興而歸”，獲獎者寥寥無幾，這是怎么一回事呢？請計算能獲得20元和2元獎勵的概率分別是多少？假如每天按摸球1000次計算，賭主一天可掙多少錢？

分析：由題意分析可得，從袋子中取球屬于古典概型，因此摸到紅球的概率計算可采用上述古典概型事件概率計算公式。從袋子中摸出5個球的情況共有種，摸到5個紅球的情況有種，摸到4個紅球的情況有種，摸到3個紅球的情況有種。因此，摸獎者獲得20元獎金的概率為，獲得2元獎金的概率為0.128，獲得紀念品的概率為由此可以看出，摸獎者獲得20元和2元獎金的概率都比較低，所以許多人都“乘興而摸，敗興而歸”。假定一天摸球1000次，按照上述計算得到的概率值，獲得20元獎金的次數(shù)為13次，獲得2元獎金的次數(shù)為128次，獲得紀念獎的次數(shù)為359次，因此賭主支付的獎金總額為 13×20+128×2+359× 0.5=695.5元，而賭主收到的摸彩手續(xù)費為1000元，則賭主一天可掙1000－695.5=304.5元。

從上述實例中可以看出，摸彩是一種欺詐行為，賭主保贏不輸。通過上述案例教學，學生在課堂上不僅學習了新知識，還增強了自身對社會詐騙行為的防范意識，進而激發(fā)學生的學習興趣。

四、案例教學法的應用效果

與傳統(tǒng)的灌輸式教學方法相比，案例教學法可以充分發(fā)揮教學互動的優(yōu)點，體現(xiàn)學生是教學主體，使原本枯燥刻板的數(shù)學概念、數(shù)學理論變得直觀易懂。教師結合案例的應用，用通俗易懂的教學方式將這些理論講細、講透，讓學生真正理解并掌握案例所涉及的理論知識，從而降低專業(yè)課的理論難度；案例教學法的討論模式既豐富了教學形式，又要求學生靈活地運用所學知識，模擬解決實際問題，促使學生主動思考、分析、解決問題；同時，學生間、師生間的合作分析與研討還可以鍛煉和提高學生合作共事與交流協(xié)作的能力[8，9]。

與其他教學法相比，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課堂教學中應用案例教學法可以更好地加深學生對基本概念的理解和對理論與方法的掌握；實施案例教學法可以顯著提高學生對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的學習積極性與主動性，增強學生的實踐能力、創(chuàng)新能力、語言表達能力，從而取得良好的教學效果。

[1]時凌，魏代俊，吳勇.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學改革研究與探討[J].咸寧學院學報，2010，（30）：145-147.

[2]劉丹，陳仲堂，孫平，艾瑛.在《概率統(tǒng)計》課程中應用案例教學法的幾點思考[J].教育教學論壇，2013，（27）：60-61.

[3]徐榮聰，游華.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程案例教學法[J].寧德師專學報（自然科學版），2008，20（2）：145-147.

[4]畢淑娟，張俊超.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程案例教學法探析[J].繼續(xù)教育研究，2012，（2）：154-156.

[5]楊光富，張宏菊.案例教學：從哈佛走向世界——案例教學發(fā)展歷史研究[J].外國中小學教育，2008，（6）：1-5.

[6]傅文玥.案例教學法在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學中的應用[J].教育教學論壇，2013，（2）：72-74.

[7]謝振中.案例教學在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂教學中的運用[J].新課程（上），2012，（2）：94-95.

[8]李春麗.案例教學法在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”教學中的運用[J].中國電力教育，2012，237（14）：83-84.

[9]王利超，呂丹，劉婷.“案例教學法”在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學中的應用[J].統(tǒng)計與咨詢，2009，（1）：42-43.

[10]于蘭，楊穎.案例教學法在“思想道德修養(yǎng)與法律基礎”中的運用[J].教育與職業(yè)，2013，753（5）：110-111.

G642.41

A

1674-9324（2014）20-0080-02

西安理工大學教改項目（108-00J1104）。

鞠花（1976-），女，河南鄧州人，講師，碩士，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計、線性代數(shù)研究。