孫浩

摘 要：三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)，其以角度為自變量的函數(shù)使得初學(xué)者對(duì)函數(shù)的認(rèn)知極為不適應(yīng). 在高一對(duì)三角函數(shù)的教學(xué)中，函數(shù)值域教學(xué)是三角函數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)，也是學(xué)生不太能掌握的. 本文以一次三角函數(shù)復(fù)習(xí)課值域教學(xué)為主進(jìn)行的三角函數(shù)值域核心知識(shí)的探索，以主動(dòng)探究方式、積極參與建構(gòu)等新課程理念進(jìn)行滲透實(shí)施，使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)求值域這類核心問(wèn)題的解決有了更深的認(rèn)知和了解.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；合一變形； 二次函數(shù)；斜率；探究

作為一種特殊的函數(shù)——三角函數(shù)，因其以角度為自變量，使得高一學(xué)生往往接受較為困難. 在三角函數(shù)中，作為其核心內(nèi)容的值域求解問(wèn)題，一直是困擾學(xué)生三角函數(shù)水平提高的一個(gè)“坎”. 本文從一道三角函數(shù)值域問(wèn)題出發(fā)，進(jìn)行多角度的值域變式研究、探索和函數(shù)問(wèn)題本質(zhì)的追問(wèn)，以典型的問(wèn)題展開(kāi)，使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)求值域這類核心問(wèn)題有了更深的認(rèn)知和了解.

[?] 基本問(wèn)題

對(duì)于三角函數(shù)求解值域的最基本問(wèn)題，最顯著的雙基知識(shí)來(lái)自兩個(gè)方面：其一是三角函數(shù)兩角和與差正、余弦公式的逆用，即由asinx+bcosx?Asin（ωx+φ）；其二是對(duì)三角函數(shù)基本圖象y=sinx進(jìn)行整體運(yùn)用和處理.我們來(lái)看一個(gè)最基本的三角求值域問(wèn)題.

說(shuō)明：sin（α±β）與cos（α±β）的公式正向展開(kāi)與逆向合并，使學(xué)生真正理解了兩角和與差的正余弦. 從高一學(xué)生的學(xué)習(xí)情況來(lái)看，往往對(duì)公式的正向展開(kāi)熟練有加、思維穩(wěn)定，但是對(duì)公式的逆向使用卻往往不熟練，究其原因，主要在于：其一，學(xué)生對(duì)剛剛掌握的公式?jīng)]有真正親身經(jīng)歷公式形成的過(guò)程，導(dǎo)致其印象不深刻；其二，對(duì)公式的逆用熟悉程度比不上公式的順用；其三，很多學(xué)生合一變形之后，對(duì)自變量無(wú)法進(jìn)行從x→x-→sin

教師：本題的函數(shù)有兩種不同的角，明顯是兩倍角關(guān)系，同學(xué)們想想該怎么處理？

學(xué)生：將兩倍角利用公式轉(zhuǎn)化為單角，然后對(duì)單角的函數(shù)進(jìn)行處理.

學(xué)生（板書(shū)）：y=1-2sin2x+2sinx=-2·

說(shuō)明：本題的處理不同于案例，明顯在兩倍角與單角之間存在互相轉(zhuǎn)化的公式，將角度轉(zhuǎn)化為單角后，我們發(fā)現(xiàn)本題的實(shí)質(zhì)是閉區(qū)間上的二次函數(shù)最值問(wèn)題. 將陌生的三角情境轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)情境，是解決本問(wèn)題的關(guān)鍵.通過(guò)教學(xué)實(shí)際，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在“基礎(chǔ)性轉(zhuǎn)化”（即只有一個(gè)彎的轉(zhuǎn)化問(wèn)題上）上有著極強(qiáng)的能力，對(duì)于高中起步階段的學(xué)生可以進(jìn)行思維的推動(dòng).

教師：請(qǐng)大家看變式2，能不能利用案例和上述變式1思考解決.

學(xué)生：我認(rèn)為，只要將上述函數(shù)中的sin2x與cos2x進(jìn)行合并，然后利用變式1二次函數(shù)的解決方式就可以.

教師：第一步說(shuō)的很正確，sin2x+sinxcosx+cos2x?+sinxcosx+cos2x，但是后期的處理是二次函數(shù)的轉(zhuǎn)化嗎？

學(xué)生：哦！應(yīng)該利用二倍角公式的逆用，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為案例的方式解決.

教師：這次說(shuō)對(duì)了. 二倍角公式的逆用，即我們課堂上常常說(shuō)的降冪公式的使用，這是高考三角問(wèn)題最基本的處理方式，請(qǐng)同學(xué)來(lái)詳細(xì)解答.

說(shuō)明：對(duì)上述變式2類型的探索，是高考數(shù)學(xué)中比較重要的三角數(shù)學(xué)模型.從知識(shí)角度而言，對(duì)三角重要公式：兩倍角的逆用、兩角和與差的正、余弦公式的逆用都需要極為扎實(shí)、熟練的基本功；從思想角度來(lái)說(shuō)，在處理三角函數(shù)值域時(shí)，整體思想和圖形的運(yùn)用很關(guān)鍵，要學(xué)生從最基本的正弦函數(shù)圖象中進(jìn)行轉(zhuǎn)化吸收；從問(wèn)題背景而言，考慮到y(tǒng)=asin2x+bsinxcosx+ccos2x類型的每一項(xiàng)均為二次，通過(guò)轉(zhuǎn)化降解為一次的函數(shù)，正是案例所研究的基本模型. 因此，上述案例、變式1、變式2，均為層層遞進(jìn)式、螺旋上升式的值域探索問(wèn)題，都屬于基本三角函數(shù)值域型問(wèn)題.

教師：在研究了上述3個(gè)基本問(wèn)題后，我們來(lái)看看變式3. 請(qǐng)大家看看如何處理上述變式？

學(xué)生：好像原來(lái)的三種問(wèn)題均和本題沒(méi)有什么聯(lián)系.

教師：提醒一下，要從變式2最后我們對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的總結(jié)去思考.

學(xué)生：將上述式子展開(kāi)，我發(fā)現(xiàn)y=sinx+cosx+sinxcosx+1，從函數(shù)次數(shù)來(lái)考慮，這是一個(gè)明顯的二次函數(shù).

教師：好！這位同學(xué)說(shuō)到最核心的問(wèn)題了. 那么如何轉(zhuǎn)化？

學(xué)生：我覺(jué)得可以利用換元思想來(lái)進(jìn)行處理吧. 我在參考書(shū)上看到過(guò)類似的問(wèn)題，令t=sinx+cosx，則sinxcosx=，而由x∈

說(shuō)明：對(duì)于變式3的問(wèn)題研究，著重要培養(yǎng)學(xué)生從思維的高度開(kāi)始思考，何為思維的高度呢？就是剝離外表看本質(zhì)的能力. 數(shù)學(xué)教學(xué)最基本的在于概念教學(xué)和基本知識(shí)、基本能力的教學(xué)，在此基礎(chǔ)之上的問(wèn)題正是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考. 通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的處理一般都是下意識(shí)的，如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力？要從高度上提點(diǎn)學(xué)生：認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)形式的背后所闡述的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即本題中二次函數(shù)問(wèn)題的猜想、轉(zhuǎn)換、求解.

變式4：求函數(shù)y=的值域.

教師：我們來(lái)看看與變式3類似的問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們思考一下變式的處理.

學(xué)生：我覺(jué)得和變式3類似，可以利用換元的方式進(jìn)行處理，但是必須考慮它的定義域.

教師：這位同學(xué)說(shuō)得很好，讓我們看看同學(xué)們的計(jì)算.

學(xué)生（板書(shū)）：由sinx+cosx≠-1，所以x≠2kπ+π且x≠2kπ-，令t=sinx+cosx，則sinxcosx=，f（x）=g（t）=，根據(jù)案例所得到的模型特點(diǎn)，可得其定義域：t≤且t≠-1，所以原函數(shù)的值域?yàn)閥∈

說(shuō)明：?jiǎn)栴}的解決往往在于不斷將陌生的情形轉(zhuǎn)化為熟悉的情形，即轉(zhuǎn)化思想的不斷運(yùn)用和滲透. 我們知道，學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的欠缺和處理問(wèn)題基本知識(shí)和基本運(yùn)算的不熟練，導(dǎo)致其解決全新變式問(wèn)題時(shí)有時(shí)不知所措. 通過(guò)變式4，筆者引導(dǎo)學(xué)生將轉(zhuǎn)化思想不斷滲透進(jìn)去，對(duì)不同函數(shù)模型下的值域問(wèn)題進(jìn)行分類，利用不同策略求解.

變式5：求函數(shù)y=的值域.

教師：看最后一個(gè)變式問(wèn)題，請(qǐng)大家分析.

學(xué)生：好像前面的方式都不能解決這樣的模型. 我覺(jué)得它的形式有點(diǎn)像直線的斜率.

教師：是的，這位同學(xué)對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系非常熟悉，我們請(qǐng)他來(lái)分析.

學(xué)生：y的幾何意義是定點(diǎn)A（-2，3）和橢圓x2+=1上任意一點(diǎn)（sinx，2cosx），連線的斜率，所以y的最值即為切線AC，AB的斜率，設(shè)切線方程y=k（x+2）+3，聯(lián)立x2+=1，得（k2+4）x2+（4k2+6k）x+（4k2+12k+5）=0，令Δ=0，得k=-6±，所以原函數(shù)的值域?yàn)閥∈[-6-，-6+].

教師：這位同學(xué)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想理解得非常透徹，利用橢圓的切線求解三角值域問(wèn)題，非常有創(chuàng)新的感覺(jué).

學(xué)生：我還有其他的辦法，將分子中的2提出，是不是可以變成2·？然后利用單位圓和定點(diǎn)A

教師：不錯(cuò)，但是方法上本質(zhì)依舊是數(shù)形結(jié)合思想.有沒(méi)有代數(shù)方式呢？

學(xué)生：可以將原式化簡(jiǎn)為y（sinx+2）=2cosx-3，則sin（x+θ）=2y+3，利用正弦的有限性，即解不等式

說(shuō)明：本題的解答方式比較多樣性，既可以利用代數(shù)方式回歸到案例的解法，也可以利用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)問(wèn)題進(jìn)行圖形化的切線問(wèn)題處理. 在這樣的提高問(wèn)題中，教師努力指導(dǎo)學(xué)生，注重于基本問(wèn)題的聯(lián)系以及圖形化思維的指導(dǎo).

[?] 思考

本文對(duì)三角函數(shù)求值域問(wèn)題進(jìn)行了實(shí)踐的探索，教師引導(dǎo)以教材問(wèn)題作為案例進(jìn)行基本的剖析，并以不同形式的變式進(jìn)行了探索. 筆者認(rèn)為，這樣的課程比較適合在總結(jié)性的復(fù)習(xí)課堂內(nèi)使用，要體現(xiàn)值域教學(xué)的多樣性和整合性. 本文中的案例和變式將學(xué)生的基本知識(shí)和知識(shí)鏈接、能力進(jìn)行了有效的整合，提高了課堂教學(xué)的有效性. 融會(huì)貫通能力的達(dá)到必須有一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，從最近的三角函數(shù)試題考查而言，能力立意的考查成為主流，通過(guò)變式教學(xué)堆積起來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)的熟練運(yùn)用能力和轉(zhuǎn)換能力是學(xué)生一筆寶貴的財(cái)富.

文中所涉及的值域基本問(wèn)題圍繞二倍角公式、兩角和與差的正、余弦公式等建構(gòu)，也是考查的重點(diǎn)公式；所涉及的思想方法圍繞整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等進(jìn)行滲透；對(duì)學(xué)生能力立意的角度而言，這是一種不斷循序漸進(jìn)式的整合和提升. 特別是在復(fù)習(xí)教學(xué)的時(shí)候，應(yīng)該把緣自教材的試題進(jìn)行深加工，利用教師自身對(duì)三角函數(shù)值域問(wèn)題的理解和掌握，以變式教學(xué)引領(lǐng)學(xué)生將多角度、多思維的方向進(jìn)行到底. 復(fù)習(xí)教學(xué)是一種講求教學(xué)效率的教學(xué)，利用教材試題進(jìn)行的演變、加工，可以提高學(xué)生整體把握知識(shí)點(diǎn)的能力，提高課堂教學(xué)的效率.