閆月靜，劉豐

（吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000）

基于分形方法估算部分商為a或b的連分?jǐn)?shù)集維數(shù)

閆月靜，劉豐

（吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平 136000）

連分?jǐn)?shù)的展開式具有結(jié)構(gòu)上的自相似性，部分商滿足一定條件的連分?jǐn)?shù)構(gòu)成的集合是分形集，通過構(gòu)造迭代映射的方法估算其Hausdorff維數(shù).

分形；連分?jǐn)?shù)；部分商；Hausdorff維數(shù)

1 連分?jǐn)?shù)的定義

2 Hausdorff維數(shù)

3 部分商為a或b的連分?jǐn)?shù)的分形維數(shù)的估算

3.1 定義及定理

3.2 連分?jǐn)?shù)的分形維數(shù)的估算

對(duì)于部分商都等于a或b(a

例1對(duì)于連分?jǐn)?shù)展開的部分商只包含數(shù)字2或3的正數(shù)所構(gòu)成的集合，討論它的Hausdorff維數(shù)的估計(jì).

設(shè)F是正實(shí)數(shù)組成的數(shù)集，x∈F且x具有無窮部分的連分?jǐn)?shù)展開式，部分商都等于3或2，則F是閉的且有界的集合.

首先證明集合F是分形集.

則F對(duì)Si是不變的，數(shù)集F是分形集.

然后求出滿足部分商只包含數(shù)字2或3的集合F取值范圍.

改變加在部分商上的條件可以得到作為某些變換的不變集的其他分形，并且依照這種方法可以求出其分形維數(shù).但是對(duì)于實(shí)直線的子集，維數(shù)的上估計(jì)大于1是沒有意義的，所以還要構(gòu)造迭代映射，進(jìn)而縮小估計(jì)值.[8]

例2設(shè)F是正實(shí)數(shù)組成的數(shù)集，x∈F，且x具有無窮的部分分式展開式，它們的部分商都等于2或4，0.232

例3設(shè)F是正實(shí)數(shù)組成的數(shù)集，x∈F，且x具有無窮的部分分式展開式，它們的部分商都等于1或2.

顯然集F是分形,但是得到的維數(shù)估計(jì)是

那么現(xiàn)在維數(shù)的上、下估計(jì)分別由以下方程解出

得出0.44

總之，對(duì)于部分商都等于a或b的連分?jǐn)?shù)的分形維數(shù)估值問題，可以采用如上所示構(gòu)造迭代映射的方法，一步步縮小估計(jì)值.

[1]Mandelbrot B B.The Fractal Geometry of Nature[M].San Francisco:Freeman,1983,41-45.

[2]商朋見.無窮數(shù)列集的Hausdorff測(cè)度和Hausdorff維數(shù)[J].北京交通大學(xué)學(xué)報(bào),2000:2.

[3]廖曉娟.序列部分商與豪斯多夫維數(shù)[D].華中科技大學(xué),2009.

[4]丁偉業(yè).連分?jǐn)?shù)部分商的分形維數(shù)[D].華中科技大學(xué),2011.

[5]呂美英.形式級(jí)數(shù)域上連分?jǐn)?shù)展式與丟番圖逼近的若干問題[D].華中科技大學(xué),2011.

[6]陳曉丹.兩類分形集的Hausdorff測(cè)度[D].四川師范大學(xué),2005.

[7]呂美英.形式級(jí)數(shù)域上連分?jǐn)?shù)展式與丟番圖逼近的若干問題[D].華中科技大學(xué),2011.

[8]張振亮.Engel連分?jǐn)?shù)展式與Huasdorff維數(shù)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,24(3).

[責(zé)任編輯張燦邦]

Based on Fractal Geometry Method Estimate Continued Fraction Sets’Dimension of Partial Quotient a or b

YAN Yue-jing,LIU Feng
(College of Mathematics ,Jilin Normal University,Siping Jilin 136000,China)

Continued fraction expansion has such type structure as the self-similarity fractal sets ,its partial quotient whicd meets some certain conditions is a fractal set,Haussdorff dimension can estimated by the means of construing iterative mapping method.

fractal geometry;continued fraction;partial quotient ;Hausdorff dimension.

O29

：A

：1008-9128（2014）05-0026-04

2013-12-16

閆月靜（1989-），女，吉林敦化人，碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。