房豐洲，萬 宇，朱朋哲，程 穎

基于光學自由曲面的三維位移測量系統(tǒng)

房豐洲，萬 宇，朱朋哲，程 穎

(天津大學精密測試技術及儀器國家重點實驗室，天津 300072)

針對數控機床、多軸位移臺等多軸系統(tǒng)位移檢測中存在的檢測方法復雜、測量費用高等問題，利用光學自由曲面具有極大的設計自由度，可簡化系統(tǒng)結構、提高系統(tǒng)性能的特點，設計開發(fā)了一種基于光學自由曲面的非接觸式三維位移測量系統(tǒng)，用于普通機床、多軸位移臺等多軸系統(tǒng)位移精度檢測．通過設計光學自由曲面基準件，搭建實驗平臺，建立測量系統(tǒng)的數學模型，完成了測量系統(tǒng)的標定實驗、測量系統(tǒng)精度驗證實驗和三維位移測量實驗．結果表明，該測量系統(tǒng)精度達2.8,μm，可用于多軸系統(tǒng)的位移檢測．

光學自由曲面；三維位移測量；數學模型標定；多軸系統(tǒng)

超精密三維位移測量技術一直是測量技術領域研究的熱點，被廣泛應用于工業(yè)自動化加工和工業(yè)檢測等諸多工業(yè)場合．測量方法分為接觸測量和非接觸測量．其中接觸測量(如接觸式三坐標測量機、原子力顯微鏡、輪廓儀[1-2]等)一般只用于對工件表面形貌的測量；觸針式光電三維微位移測量系統(tǒng)[3]主要用于一維位移的測量；而二維位移的測量是利用位移臺的高精度定位實現(xiàn)，系統(tǒng)穩(wěn)定性較差，且不適合對數控機床的測量；用球桿儀(DDB)測量機床誤差已比較成熟，但該方法一般只適用于對動態(tài)誤差、直線軸的直線度誤差和垂直度誤差的測量，即使結合其他高精度三維測頭[4]或根據測量需要建立合適的數控機床誤差模型[5]或結合基于激光干涉儀的12線法[6]，不僅無法測量機床的所有幾何誤差項，而且測量成本高．非接觸測量通常采用視覺測量方法和光學測量方法實現(xiàn)三維測量，如雙目或單目視覺[7-11]，雖然測量速度快，使用簡單，可以測量形貌復雜的曲面或微位移量[12]，但其測量系統(tǒng)龐大、開發(fā)復雜、不便攜帶，且對測量環(huán)境有較高要求，不能隨意用于工業(yè)現(xiàn)場，比如對機床、多軸位移臺等多軸裝置位移精度的檢測．普通數控機床的精度在幾微米到十幾微米之間[13]，光學測量方法，如基于PSD的激光三角測距儀[14]，雖然精度受限，但符合普通機床的精度要求，且結構簡單，可實現(xiàn)現(xiàn)場測量．目前市場上除了激光干涉儀之外還沒有用于機床、多軸位移臺等多軸裝置位移精度檢測[15-16]的非接觸式測量方法．而激光干涉儀成本高昂，一般企業(yè)難以支付如此昂貴的測量費用．

光學自由曲面[17-18]是可實現(xiàn)光學性能的復雜形面，是新一代的光學元件．近年來，隨著光學自由曲面設計和制造技術的發(fā)展，光學自由曲面在成像、照明、測量等各個領域得到了廣泛的應用，尤其是在測量領域，利用雙正弦自由曲面可實現(xiàn)二維位移的高精度測量[19-21]，測量精度可達納米級，但利用雙正弦自由曲面作為位移測量基準件引入了非線性誤差，甚至存在測量靈敏度為零的區(qū)域．

筆者通過對光學自由曲面的優(yōu)化，設計了一種基于光學自由曲面基準件的非接觸式三維位移測量系統(tǒng)，測量精度達微米級，可實現(xiàn)對普通機床、多軸位移臺等多軸裝置的三維位移檢測．

1 測量系統(tǒng)原理

1.1 系統(tǒng)工作原理

基于光學自由曲面的三維位移測量系統(tǒng)由光學自由曲面基準件、半導體激光器、光學準直縮束系統(tǒng)、偏振分光棱鏡(PBS)、1/4波片、成像透鏡、四象限光電二極管(QPD)、圖像傳感器(CCD)組成，如圖1所示．激光器發(fā)出的光束經透鏡組準直縮束成為直徑200,μm的細直平行光束，P偏振光透過偏振分光棱鏡(PBS)，再經1/4波片成為圓偏振光投射到光學自由曲面基準件上，反射光經1/4波片成為S偏振光，經偏振分光棱鏡(PBS)反射再由透鏡1會聚到四象限光電二極管(QPD)上．

當光學自由曲面基準件沿x或y軸移動時，光學自由曲面基準件上激光投射點處的斜率隨之變化，根據反射定律，其成像光斑在四象限光電二極管(QPD)上的位置也發(fā)生相應改變，光斑在四象限光電二極管(QPD)上的位置和光斑投射在光學自由曲面基準件上的位置有一一對應的關系，從而實現(xiàn)x和y向位移的測量．類似地，光學自由曲面基準件上激光光斑投射點處的散射光經成像透鏡成像到CCD上，當光學自由曲面基準件產生z向位移時，成像到CCD上的光斑位置隨之變化，且兩者之間一一對應，從而實現(xiàn)z向位移的測量．所搭建的測量系統(tǒng)實驗裝置如圖2所示．

圖1 系統(tǒng)原理Fig.1 Schematic diagram of the system

圖2 實驗裝置實物Fig.2 Photo of experimental system in laboratory

1.2 光學自由曲面基準件

光學自由曲面基準件是三維位移測量系統(tǒng)的主要組成部分，本文通過對光學自由曲面的優(yōu)化設計，選擇以下兩種光學自由曲面作為實現(xiàn)三維位移測量的基準．

1.2.1 雙正弦自由曲面測量基準件

如圖3所示的雙正弦自由曲面，x和y方向的幅值和波長分別用xA、yA和xλ、yλ表示．

圖3 雙正弦自由曲面三維模型Fig.3Three-dimensional model of double sine free-form surface

雙正弦自由曲面表面形貌特征[22]可表述為

對式(1)分別在x、y方向求導，得到雙正弦自由曲面各點斜率如式(2)和式(3)所示．

由此得到雙正弦自由曲面上各點斜率是對應坐標值的正弦函數，通過測量被測點的斜率可以求得被測點的坐標，如果測量點間存在多個周期，可通過計入多個波長的距離，計算兩測量點之間距離．

對式(1)求二階導，得到雙正弦自由曲面斜率變化率如式(4)和式(5)所示．

可見雙正弦自由曲面的斜率變化率是其面形上各點坐標位置的余弦函數，由于測量系統(tǒng)x和y方向測量靈敏度與光學自由曲面基準件上各點斜率變化率呈線性關系，所以使用雙正弦自由曲面作為三維位移測量基準件，則測量系統(tǒng)x和y方向測量靈敏度分別為

式中：δx、δy分別為x和y方向測量靈敏度；Mx、My為比例常數．從式(6)、式(7)得出，測量系統(tǒng)的測量靈敏度是雙正弦自由曲面上各點坐標位置的余弦函數，這會增大測量系統(tǒng)的非線性誤差，是測量準則中應該避免的．

雙正弦自由曲面具有周期連續(xù)、口徑大、加工簡單的優(yōu)點，但會增大測量系統(tǒng)的非線性誤差，所以本文又設計了另一種光學自由曲面基準件——旋轉拋物面．

1.2.2 旋轉拋物面測量基準件

圖4所示為旋轉拋物面的三維模型剖面圖．該旋轉拋物面形貌特征可表述為

式中：(x，y，z)為旋轉拋物面上各點坐標；a為旋轉拋物面特征參數．

圖4 旋轉拋物面三維模型Fig.4 Three-dimensional model of rotating paraboloid surface

對式(8)分別在x和y方向求導，得到旋轉拋物面各點斜率如下：

從式(9)、式(10)得出旋轉拋物面各點斜率與其坐標位置有一一對應的線性關系．對式(8)求二階導得

得出旋轉拋物面斜率變化率為常數．由于測量系統(tǒng)x和y方向測量靈敏度與光學自由曲面基準件上各點斜率變化率呈線性關系，因此選取旋轉拋物面作為三維位移測量標準件，測量系統(tǒng)x和y方向測量靈敏度為

式中M為常數．所以選用旋轉拋物面作為光學自由曲面基準件使x和y方向位移的測量靈敏度為定值，消除了非線性誤差．

利用光學設計軟件Lighttools對x和y方向位移測量系統(tǒng)仿真，在滿足測量精度的條件下擴大量程，仿真得到旋轉拋物面曲率為0.005(a=20)，口徑5,mm較為合適．圖5所示為實際加工的旋轉拋物面，在旋轉拋物面邊緣加工寬度2.5,mm的圓環(huán)平面，測量時可用于激光束和光學自由曲面基準件的垂直對準．

圖5 旋轉拋物面實物Fig.5 A photo of rotating paraboloid surface

為了分析旋轉拋物面基準件的加工質量，使用泰勒公司PGI1250A輪廓儀對旋轉拋物面進行測量．用二次曲線擬合形狀誤差數據，擬合結果如圖6所示．

圖6 輪廓儀測量結果Fig.6 Profilometer measurements

擬合曲線方程為

對式(14)求二階導數，得到該擬合二次曲線方程的特征參數b =1.08×10-2．

由于測量系統(tǒng)的x和y方向位移測量模型方程與拋物面特征參數的二次方成正比，與旋轉拋物面上被測點坐標位置呈線性關系(下一節(jié)會詳細分析)，因此形狀誤差導致的測量誤差為

式中：ε為形狀誤差導致的測量誤差；b為加工誤差擬合二次曲線方程的特征參數；x為旋轉拋物面上的坐標值．旋轉拋物面頂點為測量零點(四象限光電二極管(QPD)輸出xout、yout為零的位置)，由于旋轉拋物面的加工誤差導致的最大測量誤差為ε= ±0.084μm ，對測量系統(tǒng)精度影響較小，可以用作測量基準件．

由于測量系統(tǒng)可探測的斜率范圍較小，因此使用單個拋物面測量量程小，如果想實現(xiàn)大量程的測量，需要采用圖7所示的拋物面陣列．陣列中各拋物面和上文敘述設計的拋物面相同．受到單個拋物面量程的限制，拋物面口徑設定為1.8,mm．采用單點金剛石車削的方法加工所示陣列，為確保加工精度，兩拋物面間應有大于刀具刃口半徑的間隔．綜合考慮加工效率和加工精度，選用刃口半徑為1.0,mm的刀具加工所示陣列，因此相鄰兩拋物面間隔確定為1,mm．由于已確定各拋物面面型和拋物面間的間距，所以陣列中各點坐標也唯一確定，當測量點間存在多個周期，可通過計入多個拋物面口徑和拋物面間間隔，計算兩測量點間距離．實際測量時，合適地選取被測多軸裝置各運動軸位移量，確保各測量點始終在陣列中的拋物面上，記下測量系統(tǒng)x和y方向輸出經歷的周期數以及測量起始點和終止點的測量值，實現(xiàn)x和y方向位移的測量．根據測量量程的需要可改變陣列大小，實現(xiàn)x和y方向位移測量量程的自由選取.

圖7 旋轉拋物面陣列Fig.7 Array of rotating paraboloid surface

1.3 x、y方向位移測量

圖8所示為激光自準直系統(tǒng)斜率探測原理示意．激光束經凸透鏡會聚在四象限光電二極管(QPD)上，當激光束入射角變化時，光斑在四象限光電二極管(QPD)上的位置也相應改變．

圖中Δθ為旋轉拋物面被測點斜率傾角，f為凸透鏡焦距，dy為光斑中心偏離四象限光電二極管中心的y向距離．由幾何關系得

圖8 激光自準直系統(tǒng)幾何光學原理斜率探測示意Fig.8Schematic of geometrical optics slope detection of laser collimation system

由于四象限光電二極管可探測斜率范圍較小，因此tan(Δθ)=Δθ，則式(16)可簡化為

同理

因此通過四象限光電二極管(QPD)對光斑位置的探測，可實現(xiàn)對旋轉拋物面上被測點斜率的測量，進而計算被測點坐標，得到兩測量點之間x、y方向位移的大?。?/p>

通過理論計算，四象限光電二極管x、y方向測量值輸出為

式中R、D和λ分別為四象限光電二極管(QPD)上光斑半徑、入射光直徑和激光波長．

因此得到

由于Δθx=α(x)，Δθy=α(y)，因此帶入式(9)、式(10)，求得拋物面基準件上被測點坐標為

圖9為x和y方向位移測量原理流程．

圖9 x和y方向位移測量原理流程Fig.9 Flow chart of x and y direction displacement measurement

1.4 z方向位移測量

激光三角法[23]作為光電檢測技術的一種，具有結構簡單、測試速度快、實時處理能力強等優(yōu)點，在長度、距離以及三維形貌等檢測中有著廣泛的應用．鑒于激光三角法的以上特點，z方向位移測量采用激光三角法實現(xiàn)．

實驗選用美國MTI公司的型號為LTC-025-04的激光三角測距儀實現(xiàn)z方向位移測量，該測距儀各項參數如表1所示．

表1 激光三角測距儀各項參數Tab.1 Parameters of laser triangulation rangefinder

2 測量模型標定及測量實驗

測量模型標定及測量實驗都是基于單個拋物面基準件進行的．

2.1 測量模型標定

式(23)和式(24)中l(wèi)、f和a均為已知量，但實驗裝置臺搭建過程中由于多種因素的影響會導致l、f和a的實際值與理論值不一致，因此不能用理論設計值求解測量模型方程，有必要對x和y方向位移測量模型進行標定．z方向位移測量選用了美國MTI公司的激光三角測距儀，因此不必標定z方向測量．

目前一般采用曲線擬合的方法標定式(23)和式(24)所示的測量模型，具體方法有平移端點法、最小二乘直線法、分段直線法、高次多項式法等[24]．

平移端點法及最小二乘直線法必須在測試系統(tǒng)的最大相對不確定度非常小的條件下才能使用．分段直線法的應用條件不僅要求系統(tǒng)的最大相對不確定度非常小，而且標定出的波形有鋸齒形，棱角比較多，很不光滑．

在水利工程建筑材料方面，安排了噴涂高抗沖磨、混凝土養(yǎng)護、高性能化學灌漿、高密度陽離子聚合物、納米塑料合金等工程建筑材料的技術；研制了一批性能優(yōu)異，施工便利的高性能建筑材料，并在新安江水電站、龍灘水利水電工程及南水北調中線工程中得到成功運用；促進了我國建筑材料防護性能的提升，提高了我國建筑材料的環(huán)保性能，為建設環(huán)境友好型水利工程提供了支撐。

為了盡量減小標定對測量系統(tǒng)引入的誤差，用高次多項式擬合法標定該三維位移測量系統(tǒng)的x和y方向位移測量模型．標定過程如下：利用定位精度為1,μm的三維位移臺為基準位移臺，旋轉拋物面基準件固定在該位移臺上，基準件在位移臺的驅動下分別在x和y方向以10,μm為間隔移動，測量系統(tǒng)在全量程范圍內測量基準件位移，得到多個測量點的信息(ix，iy)，其中ix、iy分別表示第i個測量點測量系統(tǒng)的輸出值和位移真值．為降低擬合誤差，一般取已知點的個數大于待定系數的個數，故設定m個測量點(m＞k+1，k為多項式擬合的最高次數)．多項式擬合方法如下所述．

對于任意的變量y和x，y可表示為

因此矩陣Y為

求得系數矩陣A為

系統(tǒng)的估計誤差平均值為

式中：ka、1ka-、…、0a為擬合多項式各階次項系數；N、A和Y分別為擬合方程中測量點的測量值矩陣、系數矩陣和測量點位移真值矩陣；kQ為系統(tǒng)估計誤差平均值；?iy為通過擬合方程求得的第i個測量點位移．

為了分析測量系統(tǒng)自身不穩(wěn)定性產生的最大測量誤差，分別在6個測量點進行了5次重復測量．測量結果如圖10所示，圖中6條曲線分別表示6個不同測量點5次重復測量的結果，經過誤差分析得到本系統(tǒng)x和y方向位移測量的最大誤差為±2.8,μm．

圖10 多次重復測量曲線Fig.10 Repeated measurement curve

為簡化計算，在滿足擬合要求的同時，盡可能降低多項式階數，k應選取在滿足Qk≤2.8μm 時擬合方程的最小次數．通過對數據點的擬合計算得出當k= 7時即可滿足要求，因此用7次多項式擬合x和y方向測量的數學模型方程．x和y方向擬合曲線以及測量點擬合值與真實值的偏差曲線如圖11所示．

圖11 x和y方向擬合曲線以及測量點擬合值與實際值的偏差曲線Fig.11 Fitting curves of x and y direction measurement and the curve of the error between fitted values and the true value of x，y direction measurement

在實驗過程中發(fā)現(xiàn)，受到四象限光電二極管(QPD)探測特性的影響，當光斑中心偏離四象限光電二極管(QPD)中心的距離較大時，四象限光電二極管(QPD)非線性輸出嚴重．經過多次實驗，舍去測量系統(tǒng)的非線性測量區(qū)域，得到單個拋物面的測量量程為1.8,mm．

2.2 測量系統(tǒng)測量精度驗證實驗

標定完該三維位移測量系統(tǒng)后，需使用更高精度的位移系統(tǒng)來檢驗該測量系統(tǒng)標定結果的正確性和測量的準確性．本次使用的基準位移臺是定位誤差為1,nm的nanotech 250,UPL車床．由于nanotech 250,UPL車床不具備y軸，因此只能實現(xiàn)對該測量系統(tǒng)的x方向位移測量的誤差分析．x和y方向位移測量具有相同的原理，共用同一光路系統(tǒng)和探測器件，所以x和y方向位移測量的誤差表現(xiàn)形式基本相同．因此，只需分析x方向位移測量精度即可獲得y方向位移測量精度．

分析該次測量結果，各測量點的測量誤差如圖12所示，x和y方向位移測量的最大誤差為2.7,μm，且測量誤差集中分布在-2.0～2.0,μm范圍內．

圖12 測量系統(tǒng)精度驗證實驗Fig.12 Measuring system accuracy verification experiment

該三維位移測量系統(tǒng)采用四象限光電二極管(QPD)作為傳感器件，所以它的精度直接決定了測量系統(tǒng)的精度．四象限光電二極管(QPD)的測量精度主要受背景光和暗電流的影響．

背景光的影響采用了補償的方法予以降低，但是暗電流卻很難消除．x和y方向位移測量的數學模型要求四象限光電二極管(QPD)感光平面和成像透鏡主平面平行，但由于安裝誤差的存在，無法保證上述分析中的幾何關系，這也是產生測量誤差的主要原因之一．

2.3 三維位移測量實驗

在完成了x和y方向位移測量的標定實驗、x和y方向位移測量精度驗證實驗后，結合激光三角測距儀，實現(xiàn)三維位移測量．如圖13所示，實驗時將旋轉拋物面固定在定位精度為1,μm的三維位移臺上，將拋物面的斜率零點(四象限光電二極管(QPD)輸出xout、yout為零的位置)設為坐標零點，通過三維位移臺三維移動確定被測點坐標真值，再利用本測量系統(tǒng)對任意給定點的坐標位置進行測量．測量誤差曲線如圖14所示．

圖13 三維位移測量實驗Fig.13 Photo of of three-dimensional displacement measurement experiments

圖14 三維位移測量誤差曲線Fig.14 Error curve of three-dimensional displacement measurement

實驗使用美國MTI公司的激光三角測距儀實現(xiàn)z方向位移測量，得到z方向位移誤差分布在±1,μm以內，測量結果符合實驗中使用的位移臺的精度標準．x和y方向位移測量誤差分布在±2.9,μm以內．

3 結 語

本文設計了一種基于光學自由曲面的三維位移測量系統(tǒng)．通過設計光學自由曲面基準件，并完成相關實驗，得到該測量系統(tǒng)的最高精度可達2.8,μm，并可用于三維位移測量．配以相應的誤差辨識手段，該測量系統(tǒng)可實現(xiàn)普通機床、位移臺等多軸裝置誤差檢測，相較現(xiàn)有的多軸裝置誤差測量手段，該測量系統(tǒng)成本低廉，具有很好的推廣和使用價值．

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(責任編輯：趙艷靜)

Three-Dimensional Displacement Measurement System Based on Optical Free-Form Surface

Fang Fengzhou，Wan Yu，Zhu Pengzhe，Cheng Ying
(State Key Laboratory of Precision Measuring Technology and Instruments，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

In the displacement measurement of multi-axis systems such as computer numerical control(CNC)machine tools and multi-axis translation stages，there exist many problems. For example，the detection methods are complicated and the cost is high. Regarding these problems，full use was made of the advantages of great design freedomof optical freeform surface to simplify the system and improve system performance. A method of non-contact threedimensional displacement measurement based on an optical free-form surface was proposed to detect the accuracy of multi-axis systems such as general CNC machine tools. The optical free-form surface used as datum was designed. The experimental platform was built and the mathematical model of measurement system was established. Then，the system was calibrated and its accuracy was tested. Finally，three-dimensional displacement measurement experiments were carried out. Results show that the accuracy of the measurement system was up to 2.8,μm，and the measurement system can be applied to the three-dimensional displacement measurement of multi-axis systems.

optical free-form surface；three-dimensional displacement measurement；mathematical model calibration；multi-axis systems

TK448.21

A

0493-2137(2014)10-0934-09

10.11784/tdxbz201306055

2013-06-25；

2013-11-18.

國家重點基礎研究發(fā)展計劃(973計劃)資助項目(2011CB706703).

房豐洲（1963— ），男，長江學者特聘教授，博士生導師，fzfang@gmail.com.

朱朋哲，pengzhezhu@gmail.com.

時間：2014-01-07.

http：//www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20140107.0900.001.html.