杜 鵬， 段彩霞， 廖新元

(南華大學 數(shù)理學院, 湖南 衡陽 421001)

0 引言

用常微分方程來分析、研究傳染病的擴散與控制在理論和實踐中都有廣泛應用.在1932年Kermack和McKendrick針對康復后仍不具有免疫力的傳染病提出了SIS模型[1]后，很多學者在此基礎(chǔ)上建立了傳染病模型[2-10]，并研究了人口總數(shù)變化的SIS模型[2]. 針對長時間流行的傳染病種群數(shù)量在不斷變化這一事實，本文提出具logistic出生率的SIS模型[11-15]，即：

(1)

其中S(t)、I(t)分別表示易感染者、感染者在t時刻的總數(shù)，K>0為種群的最大容量，λ>0為種群的內(nèi)稟增長率，β≥0為傳染率，γ>0為恢復率，μ>0為自然死亡率.

對系統(tǒng)(1)作變換dt=K(S+I)dw,仍然記dw為dt，得到系統(tǒng)(2):

(2)

基于系統(tǒng)的生物意義，在區(qū)域G={(S,I)|S≥0,I≥0}中研究問題.

1 平衡點的存在性

定理1系統(tǒng)(2)在G上總存在無病平衡點E0(0,0),E1(K,0)；當

2 解的有界性

對于系統(tǒng)(2)的解的有界性方面我們有下列結(jié)論.

定理2系統(tǒng)(2)的所有正解最終有界.

證明：令V(t)=S(t)+I(t)則沿著系統(tǒng)(1)的全導數(shù)為：

3 無病平衡點的穩(wěn)定性

定理3[11]當β<γ+μ時，無病平衡點E1(K,0)局部漸近穩(wěn)定.

證明：系統(tǒng)(2)在平衡點E1(K,0)處的雅可比矩陣為

所以特征方程為：

|aE-J1|=(a+K2λ)(a-K2(β-γ-μ))=0

故特征根為a1=-K2λ,a2=K2(β-γ-μ). 當β<γ+μ時，a1<0，a2<0，因此無病平衡點E1(K,0)局部漸近穩(wěn)定.

4 地方病平衡點的穩(wěn)定性

證明:系統(tǒng)(2)在E2(S*,I*)處的雅可比矩陣為，

a22=KS*(γ+μ-β)

則相應的特征方程為

|aE-J2|=

a2-(a11+a22)a+a11a22-a21a12=

a2+pa+q=0

其中

3βμ+λβ+2μ2)=

(γ+μ)2+3γ(γ+μ)+β(β-5γ-2μ))>

所以兩個特征根均為負值，故平衡點E2(S*,I*)局部穩(wěn)定.

5 零平衡點的穩(wěn)定性

在E0(0,0)處系統(tǒng)(2)的雅可比矩陣為零，上述方法無法判定其穩(wěn)定性，故用特殊方向和法域來判定E0(0,0)領(lǐng)域內(nèi)的軌線結(jié)構(gòu).

作極坐標變換S=Rcosθ,I=Rsinθ，系統(tǒng)(2)變?yōu)椋?/p>

其中

H(θ)=K(λcosθ(sinθ+cosθ)2+γsinθcosθ(sinθ+cosθ)+βsinθcosθ(sinθ-cosθ)-(γ+μ)sin2θ(sinθ+cosθ)),

G(θ)=Ksinθ(sinθ+cosθ)((β-λ-γ-μ)cosθ-(γ+λ)sinθ).

(1)當β<γ+μ時，((β-λ-γ-μ)cosθ-(γ+λ)sinθ)≠0,sinθ+cosθ≠0示性方程G(θ)=0有唯一解θ=0，H(0)=λK≠0,故θ=0為特殊方向.在θ逆時針經(jīng)過θ=0時，H(0)G(θ)由正變負，故角域N1={(R,θ)|0≤R?1,|θ|?ε}為第Ⅱ型法域，且

則在N1={(R,θ)|0≤R?1,|θ|?ε}內(nèi)軌線的走向如圖1所示.

圖1 軌線的走向

H(θ2)=Kcos3θ2(λ(tanθ2+1)2+βtanθ2(tanθ2-1)+γtanθ2(tanθ2+1)-(γ+μ)tan2θ2(tanθ2+1))=Kcos3θ2(-(γ+μ)tan3θ2+(λ+β+γ)tan2θ2+(2λ-β-μ)tanθ2+λ)

設x=tanθ,f(x)=-(γ+μ)x3+(λ+β+γ)x2+(2λ-β-μ)x+λ,則f′(x)=-3(γ+μ)x2+2(λ+β+γ)x+(2λ-β-μ),

軌線在角域N2的走向如圖3所示.

軌線在角域N2的走向如圖3所示.

圖2 軌線的走向

圖3 軌線的走向

6 閉軌的不存在性

Bendixson-Dulac判別法[3]：若在單連通域G內(nèi)存在函數(shù)B(x,y)∈C1(G)使

且不在G的任意子區(qū)域內(nèi)恒為零，則原系統(tǒng)不存在全部位于G內(nèi)的閉軌線和具有有限個奇點的奇異閉軌線.

定理6系統(tǒng)(2)不存在全部位于G={(S,I)|S≥0，I≥0}內(nèi)的閉軌線和具有有限個奇點的奇異閉軌線.

證明：在G內(nèi)取Dulac函數(shù)

恒負，由Bendixson-Dulac判別法知，系統(tǒng)(2)不存在全部位于G內(nèi)的閉軌線和具有有限個奇點的奇異閉軌線.

7 結(jié)論

8 數(shù)值模擬

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