劉 彪， 溫艷華

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601)

0 引言及主要結(jié)果

穩(wěn)定性理論是泛函微分方程的重要理論之一．在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中，穩(wěn)定性是很多系統(tǒng)設(shè)計(jì)者所期望的性質(zhì)．因此判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性是眾多學(xué)者研究的方向之一．線性微分方程

是很典型的時(shí)滯方程，其中a，b是常數(shù)．方程(1)有多種方法判斷其零解的穩(wěn)定性．首先，如果特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，則方程(1)的零解是漸近穩(wěn)定的．但由于方程(2)是超越方程，沒(méi)有好的方法判斷其所有根是否都具有負(fù)實(shí)部，所以這種判斷方具有應(yīng)用上的局限性．

其次，判斷方程(1)零解穩(wěn)定的方法是Lyapunov函數(shù)方法(拉什米辛判別法)．對(duì)于時(shí)滯方程

其特征方程為

該Lambert W －函數(shù)的解W(t)滿足，λr=W(－br)．即λ．由Lambert函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)＜0時(shí)，W(－br)＜0，從而特征根λ＜0，于是方程(3)零解x=0是漸近穩(wěn)定的．

受方程(1)和(3)研究方法啟發(fā)，本文研究如下的變系數(shù)的時(shí)滯微分方程的零解的穩(wěn)定性，其中系數(shù)a(t)，b(t)∈C[0，+∞)，利用李亞普諾夫函數(shù)方法(拉什米辛判別法)可知，當(dāng)a(t)＞|b(t)|時(shí)，方程(5)的零解x=0是漸進(jìn)穩(wěn)定的．事實(shí)上，a(t)＞|b(t)|是方程(5)零解穩(wěn)定性的充分條件，不是必要條件．

1 預(yù)備知識(shí)

定義 1．1 Lambert函數(shù) W(t)是滿足方程[4～5]性質(zhì)

1．1 Lambert函數(shù)W(t)有以下性質(zhì):

(1)在區(qū)間[0，+∞)上，W(t)≥0且單調(diào)增加;

引理1．1 考慮時(shí)滯微分方程

其中f(t，0)=0，f: RR ×C→ RRn把 RR ×(C中的有界集)映入 RRn中的有界集．如果存在K－類函數(shù)u，v∈K，函數(shù)ω: RR+→ RR+連續(xù)和存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)V: RR× RRn→R使得t∈ RR，x∈ RRn時(shí)成立

且存在一個(gè)連續(xù)非減函數(shù)p(s)＞s，其中s＞0，當(dāng)條件 V(t+ θ，φ(θ))≤ p(V(t，φ(0)))，θ∈[－ r，0]成立時(shí)，有

則方程(8)的解x=0 是一致漸近穩(wěn)定的[2，3]．

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中，我們將在較弱的條件下給出方程(6)零解穩(wěn)定的判別法．

定理2．1 考慮時(shí)滯微分方程(5)，當(dāng)條件b(t)＞0且成立時(shí)，方程(5)的解x=0是漸進(jìn)穩(wěn)定的．

證明: 由于a(t)，b(t)是連續(xù)函數(shù)，且t＞0方程(5)的解是可微的，所以當(dāng)t＞r時(shí)成立

于是，當(dāng)t＞r時(shí)，方程(5)可化為

推論2．1 考慮常系數(shù)時(shí)滯微分方程(1)，當(dāng)條件b＞0且r成立時(shí)，方程(1)的零解x=0是漸進(jìn)穩(wěn)定的．

3 例 題

圖1

由圖1可見(jiàn)此時(shí)方程的零解是漸近穩(wěn)定的．

說(shuō)明3．1 容易看出，在例3．1．中，a，b不滿足條件:a＞|b|，但是我們根據(jù)推論1．1．得到常系數(shù)時(shí)滯微分方程(1)的解x=0是漸近穩(wěn)定的．

例子3．2 考慮變系數(shù)時(shí)滯方程

方程(13)(14)的數(shù)值模擬如圖2所示．

圖2

由圖2可見(jiàn)方程(14)的零解是漸近穩(wěn)定的．

[1] 李森林，溫立志．泛函微分方程[M]．湖南:湖南科技出版社，1987，120－158．

[2] 鄭祖庥．泛函微分方程理論[M]．合肥:安徽教育出版社，1994，256 －268．

[3] Jack K．Hale，B．j．Matkowsky，J．T．Stuart．Introduction to Functional Differential Equat－ ion[M]．New York:Spinger－Verlag，1993:151 －166．

[4] YangQuan Chen，Kevin L．Moore．Analytical Stability Bound for a Class of Delayed Fractional－ Order Dynamic Systems[J]．Nonlinear Dynamics，2002(29):191–200．

[5] W．H．Deng，C．P．Li，Q．Guo．Analysis of Fractional Differential Equations with Multipletime Delays[J]．Nonlinear Dynamics，2007，(48):409 －416．