王賀元,高焱

(1.遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,遼寧錦州121001;2.遼寧石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院,遼寧錦州121001)

同心球間流動(dòng)三模類Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及數(shù)值仿真

王賀元1,高焱2

(1.遼寧工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,遼寧錦州121001;2.遼寧石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院,遼寧錦州121001)

討論了同心球間旋轉(zhuǎn)流動(dòng)的類Lorenz型方程組的動(dòng)力學(xué)行為及其數(shù)值模擬問(wèn)題,求出了該方程組平衡點(diǎn),并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了分析,證明了該方程組吸引子的存在性,對(duì)類Lorenz方程組的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了數(shù)值模擬,數(shù)值試驗(yàn)表明此類Lorenz型方程組存在極限環(huán)和奇怪吸引子.

Navier-Stokes方程;球Couette流;Lorenz系統(tǒng)

1 引言

兩個(gè)同心旋轉(zhuǎn)球之間的流動(dòng)簡(jiǎn)稱為球Couette流動(dòng),作為一個(gè)簡(jiǎn)單的模型,研究它能夠?yàn)榻沂玖鲃?dòng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)捩至湍流這一重大理論課題的規(guī)律提供線索.由于球Couette流動(dòng)更象全球大氣流動(dòng),研究它也能成為研究大氣物理提供一個(gè)粗略的模型,并提供一些理論指導(dǎo).因此,球Couette流動(dòng)的研究有很大的理論價(jià)值,長(zhǎng)期以來(lái)它一直是人們普遍關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題,相關(guān)文獻(xiàn)非常豐富[1-7].文獻(xiàn)[2-3]通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),在低Reynolds數(shù)下的球Couette流是軸對(duì)稱和關(guān)于赤道反射對(duì)稱的,當(dāng)內(nèi)外球之間的間隙η介于(0.12,0.24)時(shí)(這里的間隙是指：通過(guò)無(wú)量綱化而使內(nèi)球半徑化為1后,內(nèi)外球之間的距離),球Couette流在子午面上存在三種形式,即0-渦,1-渦和2-渦.文獻(xiàn)[4-5]利用擬譜方法和配置法驗(yàn)證了前面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.文獻(xiàn)[6]的實(shí)驗(yàn)首次驗(yàn)證了球Couette并不是η和Reynolds的唯一函數(shù),流動(dòng)的最終的平衡狀態(tài)還依賴于流動(dòng)的過(guò)去狀態(tài),特別是在趨向最終狀態(tài)時(shí)的內(nèi)球加速度.文獻(xiàn)[2-3,6]中發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)臨界Reynolds數(shù)Rec,當(dāng)Re≥Rec時(shí)才會(huì)出現(xiàn)Taylor渦,文獻(xiàn)[7]進(jìn)一步利用各種方法,如具有差分,擬譜或配置法的弧長(zhǎng)連續(xù)算法分別得到:當(dāng)η=0.18時(shí),Rec1=645±0.05, Rec2=740±0.05,即當(dāng)ReRec時(shí),出現(xiàn)2-Taylor渦,如圖1所示.綜上可以看出,對(duì)兩同心旋轉(zhuǎn)球間流動(dòng)的研究一直還停留在實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬上,由于該問(wèn)題雖是軸對(duì)稱的,但它畢竟還是一個(gè)三維問(wèn)題,而且在球坐標(biāo)系下的Navier-Stokes方程非常復(fù)雜,所以理論上探討同心旋轉(zhuǎn)球間流動(dòng)的Navier-Stokes方程解的存在,唯一及正則性等問(wèn)題極為困難.

圖1 Couette流

文獻(xiàn)[1]對(duì)同心旋轉(zhuǎn)球間流動(dòng)的Navier-Stokes方程譜展開后進(jìn)行三模態(tài)截?cái)?得到一個(gè)類似于Lorenz系統(tǒng)[8-9]的類Lorenz方程組,討論了這個(gè)類Lorenz方程組的靜態(tài)分叉問(wèn)題,給出其奇異點(diǎn)存在的條件,并計(jì)算出了解分支.本文選取不同的截?cái)嗄Ｊ?獲得一個(gè)新三模類Lorenz方程組,給出該方程組平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的討論,證明了該方程組吸引子的存在性,數(shù)值模擬了雷諾數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時(shí)類Lorenz方程組的動(dòng)力學(xué)行為.

2 三模類Lorenz型方程組的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析

為獲得流體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,對(duì)其進(jìn)行低模分析是非常有意義的.作為較早發(fā)現(xiàn)的混沌模型Lorenz系統(tǒng)只包含三個(gè)模態(tài),但它的形式簡(jiǎn)單,內(nèi)容豐富,不僅開辟了數(shù)學(xué)上一些振奮人心的新領(lǐng)域,而且還與湍流現(xiàn)象密切相關(guān).由于它是非線性的,純粹分析還是困難的,許多結(jié)果是通過(guò)數(shù)值分析在計(jì)算機(jī)上算出來(lái)的.對(duì)兩球間的旋轉(zhuǎn)流動(dòng),也存在類似于Lorenz方程組的典型方程組,即在譜展開式中,取少數(shù)幾個(gè)主要模式(基函數(shù)),得到一個(gè)類Lorenz型方程組,進(jìn)而討論其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、吸引子的存在性、分歧、混沌等非線性現(xiàn)象.本文選取如下截?cái)嗄Ｊ?

其中a,b,c,d1,d2,e,f,h1,h2,g為譜展開系數(shù),均為正常數(shù).這樣做的意義在于:不但克服了譜方法得到的龐大的常微分方程組性質(zhì)不好把握的困難,而且得到的類Lorenz型方程組包含了非常豐富而有意義的內(nèi)容,這對(duì)探討Navier-Stokes方程的分歧、湍流等非線性現(xiàn)象非常重要.由于采用Stokes算子的特征函數(shù)作為逼近子空間的基函數(shù),因此截?cái)喾ň哂忻黠@的物理意義:每一個(gè)基函數(shù)都可以看成是一種基本的流動(dòng)模式,實(shí)際的流動(dòng)則可以看成是這些基本流動(dòng)模式的迭加.

微分方程組(2.1)的平衡點(diǎn)應(yīng)滿足如下的代數(shù)方程組:

方程組(2.2)有三個(gè)解,

它們就是類Lorenz型方程組(2.1)的平衡點(diǎn),這里Re1,Re2是方程的解, Re1≈3300,Re2≈608700.平衡點(diǎn)(2.3)代表了球Couette流的基本流,平衡點(diǎn)(2.4)式代表了球Couette流的另一種非基本流的流動(dòng)狀態(tài).把方程組(2.1)在平衡點(diǎn)附近線性化,經(jīng)計(jì)算得

其中(X,Y,Z)分別為平衡點(diǎn)的三個(gè)分量.

下面討論平衡點(diǎn)S0,S±的穩(wěn)定性,將平衡點(diǎn)S0的三個(gè)分量(X,Y,Z)代入(2.5)式,則得

到矩陣(2.5)的特征方程:

即

設(shè)Re3,Re4為

的解,且Re3Re4時(shí),方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)部的根,此時(shí)S0穩(wěn)定.

對(duì)S±,將平衡點(diǎn)S±的各個(gè)分量(X,Y,Z)代入矩陣(2.5),與前面的做法相同,通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),?Re>0所有特征值均為負(fù)實(shí)部,因此,平衡點(diǎn)S±穩(wěn)定.

3 吸引子的存在性

為了討論類Lorenz型方程組(2.1)的動(dòng)力學(xué)行為,把它改寫成如下形式:

在以上三個(gè)方程兩邊分別乘以x,y,z相加后得:

利用Young不等式得,

所以,

由于正常數(shù)ε1,ε2可任意選取,故可以選到正數(shù)M0,M1,M2,滿足

即

再取M=min{M0,M1,M2},于是

令

不難驗(yàn)證,|u|是一個(gè)范數(shù),于是從(3.2)-(3.4)式得到:

運(yùn)用Gronwall不等式[11],有

故

不等式(3.5)說(shuō)明,若記B(0,ρ)為H(H一般是Hilbert空間,這里就是普通的三維歐氏空間)中以0為中心,以ρ≥ρ0為半徑的球,則B(0,ρ)是方程組(2.1)的初值問(wèn)題所確定的算子半群S(t)的一個(gè)不變集,即若u0∈B(0,ρ),

故S(t)B(0,ρ)?B(0,ρ).并且當(dāng)ρ>ρ0時(shí),這些球是吸收集,實(shí)際上,任一有界集D,都有

故方程組(2.1)存在吸引子[10-11].

4 數(shù)值模擬

下面對(duì)類Lorenz型方程組(2.1)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行數(shù)值模擬,通過(guò)計(jì)算得方程組(2.1)的系數(shù)如下:

a=309.681,b=3.21,c=1.346,d1=1218.503,d2=1208.771,e=2.744,

h1=1.696,h2=3.305,f=0.11g=1.057.

隨著雷諾數(shù)Re的增大,類Lorenz方程組(2.1)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性發(fā)生了變化,出現(xiàn)了Hopf分岔和混沌等非線性現(xiàn)象.下面數(shù)值模擬系統(tǒng)(2.1)的動(dòng)力學(xué)行為.

1)通過(guò)數(shù)值計(jì)算得方程組(2.1)在Re<7513.95···時(shí),平衡點(diǎn)S0穩(wěn)定,解軌線為螺旋線趨于平衡點(diǎn)S0,見圖2.

2)當(dāng)Re≥7513.95···平衡點(diǎn)S0開始不穩(wěn)定,圍繞平衡點(diǎn)S0出現(xiàn)奇怪吸引子,如圖3,圖4.

圖2 Re=164.58

圖3 Re=194.43

3)當(dāng)Re進(jìn)一步增大時(shí),有一對(duì)特征值實(shí)部接近于0,即出現(xiàn)一對(duì)純虛特征值,系統(tǒng)(2.1)發(fā)生了Hopf分岔.解軌線為單閉軌線,即出現(xiàn)極限環(huán),如圖5.

圖4 Re=7835.76

圖5 Re=8132.69

參考文獻(xiàn)

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The dynamical behavior and the numerical simulation of the Lorenz system of the fl ow between two concentric rotating spheres

Wang Heyuan1,Gao Yan2
(1.School of Sciences,Liaoning University of Technology,Jinzhou121001,China; 2.Department of computer science,Liaoning Petro-Chemical Vocational Technology College, Jinzhou121001,China)

In order to study the problem of rotating fl ow we investigate the dynamical behavior and the numerical simulation of the model system similar to the Lorenz equations of the Navier-Stokes equations for the fl ow between two concentric rotating spheres.Its stationary points and the stability are presented,the existence of attractor is proved.Chaos behavior is simulated numerically by computer with the changing of Reynolds number,Numerical experiments show that the existence of limit cycles and strange attractors.

Navier-Stokes equations,spherical Couette fl ow,the Lorenz system

O357.1;O241.82

A

1008-5513(2014)01-0007-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.002

2013-09-20.

遼寧省教育廳科研基金(L2013248);錦州市科技專項(xiàng)基金(13A1D32).

王賀元(1963-),博士,教授,研究方向：非線性系統(tǒng)分歧混沌理論及其數(shù)值分析.

2010 MSC:65J15,47H15,65M60