李 倩 ，孫 楓 奔粵陽 于 飛

（1.哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，哈爾濱 150001；2.哈爾濱工程大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150001）

基于橫坐標(biāo)系的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)極區(qū)導(dǎo)航方法

李 倩1，2，孫 楓1，奔粵陽1，于 飛2

（1.哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，哈爾濱 150001；2.哈爾濱工程大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150001）

現(xiàn)有慣性導(dǎo)航系統(tǒng)機(jī)械編排在極區(qū)(特別是地理極點附近)不適用。針對該問題，提出了適用于捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)極區(qū)使用的橫坐標(biāo)系導(dǎo)航方法。構(gòu)建出橫坐標(biāo)系參考框架，推導(dǎo)出橫坐標(biāo)系和常規(guī)坐標(biāo)系之間位置、速度和姿態(tài)信息的轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立了橫坐標(biāo)系捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的機(jī)械編排，并在此基礎(chǔ)上分析其誤差傳播特性。仿真分析表明：橫坐標(biāo)系可以解決采用現(xiàn)有機(jī)械編排時，極區(qū)經(jīng)線圈快速匯聚和地理極點附近無北向基準(zhǔn)所引起的問題，從而滿足極區(qū)導(dǎo)航要求；同時，仿真結(jié)果驗證了橫坐標(biāo)系捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中位置和航向誤差漂移的特性。

捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)；極區(qū)；橫坐標(biāo)系；誤差特性

基于極區(qū)工作環(huán)境特殊，以及水下潛器自主性和隱蔽性要求的考慮，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（Inertial Navigation System，INS）應(yīng)作為極區(qū)水下潛器導(dǎo)航設(shè)備的核心[1-4]。目前，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)普遍采用的機(jī)械編排是當(dāng)?shù)厮街副狈轿粰C(jī)械編排，即采用東-北-天(ENU)地理坐標(biāo)系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系。對于平臺式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，這種機(jī)械編排下的導(dǎo)航系y軸要始終指向真北。當(dāng)水下潛器通過地理極點附近時，真北很快變化180°，此時導(dǎo)航系y軸指向變化的速率將會無窮大[5-6]。對于捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)，則在地理極點處存在計算溢出的問題。所以，這種機(jī)械編排不適用于在極區(qū)工作，而只能工作在南北緯度70° 以內(nèi)。針對當(dāng)?shù)厮街副狈轿粰C(jī)械編排在高緯度地區(qū)存在的問題，游動方位慣導(dǎo)系統(tǒng)和自由方位慣導(dǎo)系統(tǒng)被提出[7-8]。它們可以解決慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在極區(qū)遇到的部分問題，但由于極區(qū)經(jīng)線圈的快速匯聚會使得系統(tǒng)導(dǎo)航精度隨緯度的升高而下降。同時在地理極點附近，由于真北方向失去定義導(dǎo)致自由方位角和游動方位角失去定義，航向無法給出，即采用這兩種機(jī)械編排的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)在地理極點附近仍然無法導(dǎo)航。

為了解決上述機(jī)械編排在極區(qū)遇到的問題，國外首先提出了橫坐標(biāo)系的概念[9-10]，國內(nèi)文獻(xiàn)也指出橫坐標(biāo)系可以應(yīng)對慣性導(dǎo)航系統(tǒng)高緯度工作的問題[11]。但他們沒有對橫坐標(biāo)系下慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的機(jī)械編排、誤差分析進(jìn)行詳細(xì)的論述，同時，也未考慮到系統(tǒng)極區(qū)橫坐標(biāo)系和常規(guī)系導(dǎo)航參數(shù)切換的問題。針對上述問題，對基于橫坐標(biāo)系的捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)極區(qū)工作方法進(jìn)行深入研究。

1 橫坐標(biāo)系統(tǒng)定義

橫坐標(biāo)系統(tǒng)包括橫地球坐標(biāo)系和橫地理坐標(biāo)系，同時在橫坐標(biāo)系的參考框架下，橫極軸、橫赤道平面、橫本初子午面以及橫經(jīng)緯度都需要重新定義。

在此基礎(chǔ)上，定義指向橫極軸的方向為新北向，則可以建立新的橫地理坐標(biāo)系，即橫東-北-天坐標(biāo)系，其定義如下：

——與軸呈右手定則關(guān)系；

——指向新北向；

——沿垂直方向指向天向；各坐標(biāo)系示意圖如圖1所示。

根據(jù)以上轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以利用方向余弦矩陣推導(dǎo)得到橫地球坐標(biāo)系和原地球坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

圖1 橫坐標(biāo)系統(tǒng)定義Fig.1 Definition of transversal coordinate

2 導(dǎo)航參數(shù)在不同坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換關(guān)系

當(dāng)水下潛器在低緯度地區(qū)航行時，一般仍然使用當(dāng)?shù)厮街副狈轿粦T導(dǎo)系統(tǒng)機(jī)械編排(以下簡稱為常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)械編排)；當(dāng)水下潛器由低緯度地區(qū)向極區(qū)航行時，需要將捷聯(lián)慣導(dǎo)機(jī)械編排切換至橫坐標(biāo)系機(jī)械編排。為了保證系統(tǒng)在機(jī)械編排切換時不發(fā)生超調(diào)現(xiàn)象，使系統(tǒng)在兩種機(jī)械編排間平穩(wěn)過渡，需要將兩種機(jī)械編排中的導(dǎo)航參數(shù)進(jìn)行精確的轉(zhuǎn)化，包括位置信息、速度信息以及姿態(tài)信息。

2.1 位置信息轉(zhuǎn)換

首先分析常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)中的經(jīng)緯度坐標(biāo)(λ，φ)與橫坐標(biāo)系統(tǒng)中的橫經(jīng)度、橫緯度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。圖2為常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)中的經(jīng)緯度定義與橫坐標(biāo)系統(tǒng)中的經(jīng)緯度定義示意圖。

如圖2所示，左圖是常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)中利用經(jīng)緯度坐標(biāo)(λ，φ)表示的載體位置P，載體與地心距離為連線，則在地球坐標(biāo)系中三軸投影為：

圖2 常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)和橫坐標(biāo)系統(tǒng)中的經(jīng)緯度坐標(biāo)Fig.2 Longitude and latitude in normal and transversal coordinate system

將式(2)(3)帶入式(4)得到：

2.2 速度信息轉(zhuǎn)換

由于我們所需的速度信息是相對于地理系而言的，所以速度信息的轉(zhuǎn)換即意味著地理坐標(biāo)系和橫地理坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。這兩個坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以利用方向余弦矩陣表示，進(jìn)一步分解方向余弦矩陣可以得到：

2.3 姿態(tài)信息轉(zhuǎn)換

另外一種更加直觀的姿態(tài)信息轉(zhuǎn)換方式是利用球面三角形相關(guān)理論確定兩個坐標(biāo)系統(tǒng)中姿態(tài)信息的關(guān)系。由于軸和zt軸重合，所以兩個坐標(biāo)系統(tǒng)中的水平姿態(tài)角相同，即

下面通過在地球表面上定義幾個球面角來描述橫坐標(biāo)系統(tǒng)中的航向角和常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)中航向角ψ之間的關(guān)系，如圖3所示。

由圖3可知，由P、A、B三點構(gòu)成的球面三角形中的三個內(nèi)角分別為：

圖3 航向角在兩個坐標(biāo)系統(tǒng)中的關(guān)系Fig.3 Relationship of heading angle between two coordinate systems

將式(13)中第1式代入式(14)得到：

由球面三角形正弦定理可知：

式中，Re為地球半徑。由式(16)可以得到：

將式(18)代入(17)得到：

同理，利用球面三角形余弦定理可知：

由式(19) (21)可以得到：

3 橫坐標(biāo)系捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)機(jī)械編排及誤差分析

在橫坐標(biāo)系捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中，系統(tǒng)機(jī)械編排基本不變。但是由于橫地球坐標(biāo)系和橫地理坐標(biāo)系相對常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)發(fā)生了改變，導(dǎo)致數(shù)學(xué)平臺旋轉(zhuǎn)角速度的計算發(fā)生了改變。

3.1 系統(tǒng)機(jī)械編排及誤差方程

式中，Ω為地球自轉(zhuǎn)角速率。將式(6)代入，得到：

另外，由于地球自轉(zhuǎn)角速度在橫赤道面上，得到：

綜上可得，地球轉(zhuǎn)動引起的橫地理坐標(biāo)系角速度為：

根據(jù)式(28)(29)可以得到橫地理坐標(biāo)系的角速度，即控制數(shù)學(xué)平臺的旋轉(zhuǎn)角速度為：

圖4 橫坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)械編排Fig.4 Mechanization of transversal coordinate system

根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械編排，可以得到靜基座橫坐標(biāo)系捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差方程如下所示：

a.失準(zhǔn)角誤差方程

b.速度誤差方程

c.位置誤差方程

式中，α，β，γ為橫坐標(biāo)系統(tǒng)中的失準(zhǔn)角；為橫坐標(biāo)系統(tǒng)中速度誤差；為橫經(jīng)緯度誤差；分別是陀螺漂移和加速度計零偏在橫地理坐標(biāo)系上的投影分量。

從式(31)～(33)可以看出，與常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)不同，橫坐標(biāo)系統(tǒng)中的經(jīng)度誤差不再是獨立的，而是耦合到其他誤差項中。

3.2 誤差分析

將式(31)～(33)進(jìn)行拉式變換，并寫成矩陣形式，然后計算其行列式特征根為：

從系統(tǒng)特征根可以看出在橫坐標(biāo)系統(tǒng)中，同樣存在舒勒、傅科以及地球三種周期性振蕩。

下面分析誤差源所引起的系統(tǒng)誤差。為簡化分析，這里只考慮陀螺常值漂移為唯一誤差源，以經(jīng)緯度誤差為例。通過解矩陣方程，得到緯度誤差和陀螺漂移之間的關(guān)系為

式中，

式中，sω為舒勒角頻率。

將式(36)～(38)進(jìn)行拉式反變換并將振蕩項去掉，只考慮穩(wěn)態(tài)誤差得到：

同理，可以得到橫經(jīng)度誤差在時域中的穩(wěn)態(tài)值表達(dá)式為：

從式(39)(40)可以看出在橫坐標(biāo)系統(tǒng)中，橫緯度誤差和橫經(jīng)度誤差都是隨時間發(fā)散的，這與常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)中只有經(jīng)度誤差發(fā)散是不同的。同理，利用此方法分析陀螺漂移對橫坐標(biāo)系統(tǒng)中失準(zhǔn)角的影響，發(fā)現(xiàn)方位失準(zhǔn)角也是隨時間發(fā)散的，這與常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)也不一樣。

4 系統(tǒng)誤差的分析比較

第3.2節(jié)分析了橫坐標(biāo)系統(tǒng)中的橫經(jīng)緯度誤差的傳播特性，下面通過將橫經(jīng)緯度誤差轉(zhuǎn)換到常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)中，比較兩個坐標(biāo)系統(tǒng)中導(dǎo)航參數(shù)的誤差傳播特性。由式(6)可知，地理緯度φ和橫緯度φ、橫經(jīng)度λ存在下列關(guān)系：

由誤差傳遞公式可知，地理緯度誤差和橫經(jīng)緯度誤差之間存在關(guān)系：

將式(39) (40)代入式(42)中，得到：

由式(43)可見，當(dāng)將橫坐標(biāo)系統(tǒng)中的橫緯度轉(zhuǎn)換到常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)中后，轉(zhuǎn)換后的緯度誤差中的隨時間累積項被抵消掉，導(dǎo)致其只存在常值性誤差。為進(jìn)一步比較，同時為簡便分析，令

式中，ψ為常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)中的航向角，δψ為兩坐標(biāo)系統(tǒng)中航向角差值，由式(23)確定。則載體系陀螺漂移和橫地理系陀螺漂移投影存在下面關(guān)系：

將式(46)代入式(43)，得到：

同理，可以得到轉(zhuǎn)換后的經(jīng)度穩(wěn)態(tài)誤差和載體系陀螺漂移之間存在關(guān)系：

由式(49)可見，在將橫經(jīng)度轉(zhuǎn)換到常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)中后，其誤差中仍然包括常值性誤差項和隨時間累積誤差項。

對比常規(guī)當(dāng)?shù)厮街副狈轿唤萋?lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)，其中的經(jīng)緯度穩(wěn)態(tài)誤差和載體系陀螺漂移存在下面關(guān)系：

比較式(47)(49)和(51)(52)可以發(fā)現(xiàn)，在將橫坐標(biāo)系統(tǒng)中的橫經(jīng)緯度轉(zhuǎn)換到常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)后，其誤差與常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng)中的經(jīng)緯度誤差具有相同的傳播形式。特別是z軸陀螺對兩種坐標(biāo)系統(tǒng)影響是一致的，而x，y軸陀螺漂移對經(jīng)緯度誤差的影響和對橫經(jīng)緯度誤差的影響之間只相差一個比例系數(shù)Ki(i=1，2，3)，其大小只與位置有關(guān)。如果，則x，y軸陀螺漂移對轉(zhuǎn)換后的經(jīng)緯度誤差影響較大；如果，則x、y軸陀螺漂移對常規(guī)當(dāng)?shù)厮焦潭ㄖ副狈轿幌到y(tǒng)中的經(jīng)緯度誤差影響較大；如果，則x，y軸陀螺漂移對兩者影響相同。

為進(jìn)一步比較陀螺漂移對兩者影響的關(guān)系，建立極區(qū)附近的一塊矩形區(qū)域網(wǎng)格，其大小為20×179點，分辨率是1o。網(wǎng)格區(qū)域范圍是：

注意，為了保證Ki(i=1，2，3)計算的有效性，沒有包括緯度90°和經(jīng)度180°。在此位置范圍內(nèi)，計算Ki(i=1，2，3)的大小，如圖5～7所示。

圖5 K1取值范圍Fig.5 Value of K1

圖6 K2取值范圍Fig.6 Value of K2

圖7 K3取值范圍Fig.7 Value of K3

從圖5～7可以看出，越接近于極區(qū)，Ki(i=1，2，3)越接近于1，即當(dāng)都以當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系為參考基準(zhǔn)時，兩種坐標(biāo)系統(tǒng)中的位置誤差具有相同的傳播特性。

5 仿真試驗

為驗證基于橫坐標(biāo)系的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)極區(qū)工作性能，進(jìn)行仿真試驗。其中，為避免數(shù)值求解在極區(qū)遇到的問題，在生成仿真軌跡時陀螺和加速度計的輸出通過解析法給出。

仿真參數(shù)設(shè)置如下：初始位置φ=87°，λ=120°，載體勻速航行，速度VE=0 m/s，VN=25 m/s，航向角ψ= 0°，水平姿態(tài)角為0°，即沿著當(dāng)?shù)亟?jīng)線圈航行(注：此處所設(shè)置參數(shù)均相對于常規(guī)坐標(biāo)系統(tǒng))。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)工作在橫坐標(biāo)系機(jī)械編排，載體航行大約3.7 h后穿越極點，仿真時間4 h。誤差源只考慮陀螺常值漂移，設(shè)，仿真結(jié)果如圖8～10所示。由圖8～10可知，在極區(qū)使用橫坐標(biāo)系機(jī)械編排，可以有效的解決極區(qū)經(jīng)線圈快速匯聚所引起的問題，滿足極區(qū)導(dǎo)航要求。另外，在過極點時，橫坐標(biāo)系捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)仍然可以正常工作，無跳變現(xiàn)象發(fā)生。同時，也可以驗證前面分析的結(jié)論，即橫經(jīng)緯度誤差和航向角誤差是發(fā)散的。這也說明，為了保持水下潛器長航時高精度的導(dǎo)航要求，有必要進(jìn)一步利用重調(diào)或組合技術(shù)抑制位置誤差和航向角誤差發(fā)散。

圖8 橫坐標(biāo)系速度誤差Fig.8 Velocity error of transversal coordinate system

圖9 橫坐標(biāo)系位置誤差Fig.9 Position error of transversal coordinate system

圖10 橫坐標(biāo)系姿態(tài)角誤差Fig.10 Attitude error of transversal coordinate system

6 結(jié) 論

橫坐標(biāo)系捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)將極點設(shè)置于赤道平面，從而解決了常規(guī)機(jī)械編排在極區(qū)進(jìn)行導(dǎo)航時遇到的問題（特別是極點附近無北向基準(zhǔn)）。本文給出了導(dǎo)航參數(shù)在橫坐標(biāo)系和常規(guī)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；在建立橫坐標(biāo)系捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)機(jī)械編排的基礎(chǔ)上，對其進(jìn)行了誤差分析，結(jié)果表明在橫坐標(biāo)系捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中經(jīng)緯度誤差和方位失準(zhǔn)角都是發(fā)散的。為了進(jìn)一步比較陀螺漂移對兩種機(jī)械編排的影響，以經(jīng)緯度誤差為例，將橫經(jīng)緯度誤差轉(zhuǎn)換到常規(guī)坐標(biāo)系中，分析結(jié)果顯示它們具有相同的誤差傳播形式。

仿真和分析結(jié)果表明：為保證水下潛器在極區(qū)可以長航時高精度導(dǎo)航，需要利用重調(diào)或組合技術(shù)抑制其誤差發(fā)散，因此，研究橫坐標(biāo)系的組合與重調(diào)是下一步工作的重點。

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Polar navigation of strapdown inertial navigation system based on transversal frame in polar region

LI Qian1，2，SUN Feng1，BEN Yue-yang1，YU Fei2
(1.College of Automation，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China;2.College of Science，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China)

The present mechanizations of inertial navigation system are not suitable for use in polar region，especially at near the geography polar.To solve this problem，a navigation method based on transversal frame is proposed for strapdown inertial navigation system in polar region.The navigation reference framework of the transversal frame is constructed.The parameter transformations from a transversal frame system to a normal system for position，velocity and attitude are deduced.Moreover，the mechanization based on transversal frame for strapdown inertial navigation system is established，and its error propagation characteristics are analyzed.The simulation and analysis results show that this method could solve the problem that longitude circles converges fast in polar region and the north benchmark is invalid，so it can satisfy the requirements of polar navigation.Meanwhile，the simulation results also demonstrate that the yaw and position errors drift with time in the transversal frame of strapdown inertial navigation system.

strapdown inertial navigation system;polar region;transversal frame;error characteristics

U666.1

A

1005-6734(2014)02-0288-08

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.03.003

2013-11-20；

2014-03-28

高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金（20102304110021）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項基金（HEUCF041420）

李倩（1983—），女，博士研究生，從事慣性導(dǎo)航研究。E-mail：liqianheu@163.com

聯(lián) 系 人：孫楓（1964—），男，教授，博士生導(dǎo)師，從事慣性導(dǎo)航研究。E-mail：benpao2002heu407@163.com