王少平

數(shù)學(xué)概念的形成是對(duì)“一類”數(shù)學(xué)實(shí)例的共同特征的歸納、概括、抽象，進(jìn)而獲得其本質(zhì)屬性，形成概念。在對(duì)具體的數(shù)學(xué)實(shí)例進(jìn)行歸納時(shí)，如果具有豐富的直觀背景，不僅有利于學(xué)生對(duì)本質(zhì)特征的獲取，同時(shí)也利于學(xué)生形成清晰且豐富的概念意象。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：向?qū)W生提供一定量的直觀背景比直接向?qū)W生呈現(xiàn)概念定義更利于學(xué)生表征概念。但是，如果直觀背景選擇不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生分散注意力，誤將直觀背景的非本質(zhì)特征當(dāng)作本質(zhì)特征。筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)為直觀背景的選擇應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

一、 選擇典型性直觀背景，形成感知

在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的初期階段，具體材料的典型性，有助于學(xué)生揭示概念的本質(zhì)特征。直觀材料作為概念的實(shí)物原型，其中融入了概念的本質(zhì)屬性，其直觀形象性便于學(xué)生感知概念的表面特征，利于形成直觀表象。

例如，“角的認(rèn)識(shí)”教學(xué)伊始，教師出示剪刀、三角尺、鬧鐘等實(shí)物，讓學(xué)生指認(rèn)角在哪兒。學(xué)生指認(rèn)之后，教師又問：“你還能在哪些物體上找到角呢？”接著學(xué)生們?cè)跁嫔?、黑板上、門框上……找到了角。這里所呈現(xiàn)的實(shí)物中，包含了角的一般屬性，學(xué)生在指認(rèn)角的過程中初步感知了“角”，并在頭腦中初步形成角的直觀表象，使直觀材料與概念原型、表象與概念之間發(fā)生關(guān)聯(lián)。

再例如，“百分?jǐn)?shù)”的教學(xué)開始，以投籃比賽的情境為載體，在圍繞解決“誰投籃最準(zhǔn)”的問題中，學(xué)生通過討論交流，不斷尋求解決問題的辦法，由起初的僅僅根據(jù)“投中個(gè)數(shù)”的多少作為不充分的判斷依據(jù)，到后來的依據(jù)“投中的比率”作為判斷的依據(jù)，這一過程中，學(xué)生通過不斷地否定自我，使原有認(rèn)識(shí)不斷被打破，迫使他們?cè)趯で罂茖W(xué)的解決問題辦法的過程中，經(jīng)歷百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程，感受百分?jǐn)?shù)的客觀存在性，形成對(duì)百分?jǐn)?shù)的初步感知，使得“百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)量之間的比率”這一本質(zhì)根植于學(xué)生的頭腦之中。

二、 選擇正例性直觀背景，建立表象

任何一個(gè)概念的建立，都應(yīng)有豐富的正例作為支撐，同時(shí)為了幫助學(xué)生正確地理解概念，不至于將概念的認(rèn)識(shí)停留在以形象性為主的直觀背景上，教師應(yīng)借助豐富的直觀背景材料幫助學(xué)生形成正確的概念表象，并使之成為后一階段深入學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

例如，在進(jìn)行“乘法分配律”的教學(xué)中，教師引領(lǐng)學(xué)生在一組問題情境中通過“一題兩解”的方式發(fā)現(xiàn)形如“（a+b）×c=a×c+b×c”的等式，緊接著又讓學(xué)生舉出很多這樣的等式，并逐一加以檢驗(yàn)。教學(xué)至此，一個(gè)準(zhǔn)確、清晰的規(guī)律表象已形成，至于下一步揭示規(guī)律、建立概念已水到渠成。

再例如，教學(xué)“倒數(shù)”時(shí)，教師以計(jì)算引入，通過給計(jì)算過的一組算式進(jìn)行分類，找出乘積是“1”的一組算式，并列舉大量的乘積是“1”的算式，再通過觀察此類算式的特點(diǎn)幫助學(xué)生建立起“倒數(shù)”的表象，為概念的揭示做好鋪墊。

三、 選擇相異性直觀背景，深化理解

諸多教學(xué)實(shí)踐表明，愈是具有相異性的學(xué)習(xí)材料，愈容易區(qū)分概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。因此，運(yùn)用有差異的學(xué)習(xí)材料來揭示概念，有助于深化對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解，使概念的形成愈發(fā)清晰。

例如，教學(xué)“百分?jǐn)?shù)”中，在感知百分?jǐn)?shù)是表示兩個(gè)量之間的比率關(guān)系后，教師出示了一個(gè)問題情境“一堆煤■噸，運(yùn)走了它的■”，讓學(xué)生判斷那個(gè)分?jǐn)?shù)可以改寫成百分?jǐn)?shù)。學(xué)生在思辨中明確了百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的不同，從而理解了百分?jǐn)?shù)是表示兩個(gè)量之間的關(guān)系這一本質(zhì)。

再如，學(xué)習(xí)“角的認(rèn)識(shí)”中，在形成感知、建立表象之后，為了幫助學(xué)生深入認(rèn)識(shí)角，教師出示了這樣一組圖，要求學(xué)生判斷哪些是角，哪些不是角，為什么？

圖①、③是一組肯定例證，圖②、④是一組否定例證。通過這組相異的材料，突出了肯定例證中無關(guān)特征的變化和否定例證中本質(zhì)特征的變化，讓學(xué)生在辨析中深刻感悟到概念的外在形式的可變性與內(nèi)在本質(zhì)屬性的不變性，從而深入理解了概念的本質(zhì)屬性。

四、 選擇創(chuàng)造性直觀背景，發(fā)展能力

教學(xué)中提供直觀背景的目的，是為了讓學(xué)生在接受這些材料刺激時(shí)，借助這些材料進(jìn)行思維活動(dòng)，以便在揭示概念的本質(zhì)屬性時(shí)，很快經(jīng)歷由抽象到具體的過程，發(fā)展學(xué)生的想象力，提高理解及運(yùn)用概念的能力。因此，提供的直觀材料本身必須具有潛在的啟發(fā)性、想象性和創(chuàng)造性。

例如，認(rèn)識(shí)“立方米”后，教師讓學(xué)生交流自己對(duì)“立方米”的認(rèn)識(shí)，學(xué)生的回答可謂五花八門：“1立方米的空間大約可容納8位同學(xué)。”“講桌所占有的空間大約是1立方米。”“我們教室的空間大約是140立方米。”……

再如，學(xué)習(xí)了“正比例”之后，教師出示了一組汽車行駛時(shí)間、行駛路程、耗油量、尾氣排放量的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生判斷，哪兩個(gè)量成正比例（汽車行駛時(shí)間分別與耗油量、尾氣排放量成正比例），并請(qǐng)學(xué)生根據(jù)這一現(xiàn)象發(fā)表自己的看法。（學(xué)生自然想到應(yīng)倡導(dǎo)綠色出行，注意環(huán)保。）

這樣，在概念形成的各個(gè)階段都注重選擇與之相適應(yīng)的直觀背景，既切合學(xué)生不同階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的特征，又可讓學(xué)生在直觀材料和直觀活動(dòng)中經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程，增加學(xué)習(xí)體驗(yàn)，形成鮮明的感知和表象，利于概念的透徹理解。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】endprint

數(shù)學(xué)概念的形成是對(duì)“一類”數(shù)學(xué)實(shí)例的共同特征的歸納、概括、抽象，進(jìn)而獲得其本質(zhì)屬性，形成概念。在對(duì)具體的數(shù)學(xué)實(shí)例進(jìn)行歸納時(shí)，如果具有豐富的直觀背景，不僅有利于學(xué)生對(duì)本質(zhì)特征的獲取，同時(shí)也利于學(xué)生形成清晰且豐富的概念意象。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：向?qū)W生提供一定量的直觀背景比直接向?qū)W生呈現(xiàn)概念定義更利于學(xué)生表征概念。但是，如果直觀背景選擇不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生分散注意力，誤將直觀背景的非本質(zhì)特征當(dāng)作本質(zhì)特征。筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)為直觀背景的選擇應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

一、 選擇典型性直觀背景，形成感知

在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的初期階段，具體材料的典型性，有助于學(xué)生揭示概念的本質(zhì)特征。直觀材料作為概念的實(shí)物原型，其中融入了概念的本質(zhì)屬性，其直觀形象性便于學(xué)生感知概念的表面特征，利于形成直觀表象。

例如，“角的認(rèn)識(shí)”教學(xué)伊始，教師出示剪刀、三角尺、鬧鐘等實(shí)物，讓學(xué)生指認(rèn)角在哪兒。學(xué)生指認(rèn)之后，教師又問：“你還能在哪些物體上找到角呢？”接著學(xué)生們?cè)跁嫔?、黑板上、門框上……找到了角。這里所呈現(xiàn)的實(shí)物中，包含了角的一般屬性，學(xué)生在指認(rèn)角的過程中初步感知了“角”，并在頭腦中初步形成角的直觀表象，使直觀材料與概念原型、表象與概念之間發(fā)生關(guān)聯(lián)。

再例如，“百分?jǐn)?shù)”的教學(xué)開始，以投籃比賽的情境為載體，在圍繞解決“誰投籃最準(zhǔn)”的問題中，學(xué)生通過討論交流，不斷尋求解決問題的辦法，由起初的僅僅根據(jù)“投中個(gè)數(shù)”的多少作為不充分的判斷依據(jù)，到后來的依據(jù)“投中的比率”作為判斷的依據(jù)，這一過程中，學(xué)生通過不斷地否定自我，使原有認(rèn)識(shí)不斷被打破，迫使他們?cè)趯で罂茖W(xué)的解決問題辦法的過程中，經(jīng)歷百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程，感受百分?jǐn)?shù)的客觀存在性，形成對(duì)百分?jǐn)?shù)的初步感知，使得“百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)量之間的比率”這一本質(zhì)根植于學(xué)生的頭腦之中。

二、 選擇正例性直觀背景，建立表象

任何一個(gè)概念的建立，都應(yīng)有豐富的正例作為支撐，同時(shí)為了幫助學(xué)生正確地理解概念，不至于將概念的認(rèn)識(shí)停留在以形象性為主的直觀背景上，教師應(yīng)借助豐富的直觀背景材料幫助學(xué)生形成正確的概念表象，并使之成為后一階段深入學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

例如，在進(jìn)行“乘法分配律”的教學(xué)中，教師引領(lǐng)學(xué)生在一組問題情境中通過“一題兩解”的方式發(fā)現(xiàn)形如“（a+b）×c=a×c+b×c”的等式，緊接著又讓學(xué)生舉出很多這樣的等式，并逐一加以檢驗(yàn)。教學(xué)至此，一個(gè)準(zhǔn)確、清晰的規(guī)律表象已形成，至于下一步揭示規(guī)律、建立概念已水到渠成。

再例如，教學(xué)“倒數(shù)”時(shí)，教師以計(jì)算引入，通過給計(jì)算過的一組算式進(jìn)行分類，找出乘積是“1”的一組算式，并列舉大量的乘積是“1”的算式，再通過觀察此類算式的特點(diǎn)幫助學(xué)生建立起“倒數(shù)”的表象，為概念的揭示做好鋪墊。

三、 選擇相異性直觀背景，深化理解

諸多教學(xué)實(shí)踐表明，愈是具有相異性的學(xué)習(xí)材料，愈容易區(qū)分概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。因此，運(yùn)用有差異的學(xué)習(xí)材料來揭示概念，有助于深化對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解，使概念的形成愈發(fā)清晰。

例如，教學(xué)“百分?jǐn)?shù)”中，在感知百分?jǐn)?shù)是表示兩個(gè)量之間的比率關(guān)系后，教師出示了一個(gè)問題情境“一堆煤■噸，運(yùn)走了它的■”，讓學(xué)生判斷那個(gè)分?jǐn)?shù)可以改寫成百分?jǐn)?shù)。學(xué)生在思辨中明確了百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的不同，從而理解了百分?jǐn)?shù)是表示兩個(gè)量之間的關(guān)系這一本質(zhì)。

再如，學(xué)習(xí)“角的認(rèn)識(shí)”中，在形成感知、建立表象之后，為了幫助學(xué)生深入認(rèn)識(shí)角，教師出示了這樣一組圖，要求學(xué)生判斷哪些是角，哪些不是角，為什么？

圖①、③是一組肯定例證，圖②、④是一組否定例證。通過這組相異的材料，突出了肯定例證中無關(guān)特征的變化和否定例證中本質(zhì)特征的變化，讓學(xué)生在辨析中深刻感悟到概念的外在形式的可變性與內(nèi)在本質(zhì)屬性的不變性，從而深入理解了概念的本質(zhì)屬性。

四、 選擇創(chuàng)造性直觀背景，發(fā)展能力

教學(xué)中提供直觀背景的目的，是為了讓學(xué)生在接受這些材料刺激時(shí)，借助這些材料進(jìn)行思維活動(dòng)，以便在揭示概念的本質(zhì)屬性時(shí)，很快經(jīng)歷由抽象到具體的過程，發(fā)展學(xué)生的想象力，提高理解及運(yùn)用概念的能力。因此，提供的直觀材料本身必須具有潛在的啟發(fā)性、想象性和創(chuàng)造性。

例如，認(rèn)識(shí)“立方米”后，教師讓學(xué)生交流自己對(duì)“立方米”的認(rèn)識(shí)，學(xué)生的回答可謂五花八門：“1立方米的空間大約可容納8位同學(xué)?！薄爸v桌所占有的空間大約是1立方米?！薄拔覀兘淌业目臻g大約是140立方米。”……

再如，學(xué)習(xí)了“正比例”之后，教師出示了一組汽車行駛時(shí)間、行駛路程、耗油量、尾氣排放量的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生判斷，哪兩個(gè)量成正比例（汽車行駛時(shí)間分別與耗油量、尾氣排放量成正比例），并請(qǐng)學(xué)生根據(jù)這一現(xiàn)象發(fā)表自己的看法。（學(xué)生自然想到應(yīng)倡導(dǎo)綠色出行，注意環(huán)保。）

這樣，在概念形成的各個(gè)階段都注重選擇與之相適應(yīng)的直觀背景，既切合學(xué)生不同階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的特征，又可讓學(xué)生在直觀材料和直觀活動(dòng)中經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程，增加學(xué)習(xí)體驗(yàn)，形成鮮明的感知和表象，利于概念的透徹理解。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】endprint

數(shù)學(xué)概念的形成是對(duì)“一類”數(shù)學(xué)實(shí)例的共同特征的歸納、概括、抽象，進(jìn)而獲得其本質(zhì)屬性，形成概念。在對(duì)具體的數(shù)學(xué)實(shí)例進(jìn)行歸納時(shí)，如果具有豐富的直觀背景，不僅有利于學(xué)生對(duì)本質(zhì)特征的獲取，同時(shí)也利于學(xué)生形成清晰且豐富的概念意象。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：向?qū)W生提供一定量的直觀背景比直接向?qū)W生呈現(xiàn)概念定義更利于學(xué)生表征概念。但是，如果直觀背景選擇不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生分散注意力，誤將直觀背景的非本質(zhì)特征當(dāng)作本質(zhì)特征。筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)為直觀背景的選擇應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

一、 選擇典型性直觀背景，形成感知

在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的初期階段，具體材料的典型性，有助于學(xué)生揭示概念的本質(zhì)特征。直觀材料作為概念的實(shí)物原型，其中融入了概念的本質(zhì)屬性，其直觀形象性便于學(xué)生感知概念的表面特征，利于形成直觀表象。

例如，“角的認(rèn)識(shí)”教學(xué)伊始，教師出示剪刀、三角尺、鬧鐘等實(shí)物，讓學(xué)生指認(rèn)角在哪兒。學(xué)生指認(rèn)之后，教師又問：“你還能在哪些物體上找到角呢？”接著學(xué)生們?cè)跁嫔?、黑板上、門框上……找到了角。這里所呈現(xiàn)的實(shí)物中，包含了角的一般屬性，學(xué)生在指認(rèn)角的過程中初步感知了“角”，并在頭腦中初步形成角的直觀表象，使直觀材料與概念原型、表象與概念之間發(fā)生關(guān)聯(lián)。

再例如，“百分?jǐn)?shù)”的教學(xué)開始，以投籃比賽的情境為載體，在圍繞解決“誰投籃最準(zhǔn)”的問題中，學(xué)生通過討論交流，不斷尋求解決問題的辦法，由起初的僅僅根據(jù)“投中個(gè)數(shù)”的多少作為不充分的判斷依據(jù)，到后來的依據(jù)“投中的比率”作為判斷的依據(jù)，這一過程中，學(xué)生通過不斷地否定自我，使原有認(rèn)識(shí)不斷被打破，迫使他們?cè)趯で罂茖W(xué)的解決問題辦法的過程中，經(jīng)歷百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程，感受百分?jǐn)?shù)的客觀存在性，形成對(duì)百分?jǐn)?shù)的初步感知，使得“百分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)量之間的比率”這一本質(zhì)根植于學(xué)生的頭腦之中。

二、 選擇正例性直觀背景，建立表象

任何一個(gè)概念的建立，都應(yīng)有豐富的正例作為支撐，同時(shí)為了幫助學(xué)生正確地理解概念，不至于將概念的認(rèn)識(shí)停留在以形象性為主的直觀背景上，教師應(yīng)借助豐富的直觀背景材料幫助學(xué)生形成正確的概念表象，并使之成為后一階段深入學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

例如，在進(jìn)行“乘法分配律”的教學(xué)中，教師引領(lǐng)學(xué)生在一組問題情境中通過“一題兩解”的方式發(fā)現(xiàn)形如“（a+b）×c=a×c+b×c”的等式，緊接著又讓學(xué)生舉出很多這樣的等式，并逐一加以檢驗(yàn)。教學(xué)至此，一個(gè)準(zhǔn)確、清晰的規(guī)律表象已形成，至于下一步揭示規(guī)律、建立概念已水到渠成。

再例如，教學(xué)“倒數(shù)”時(shí)，教師以計(jì)算引入，通過給計(jì)算過的一組算式進(jìn)行分類，找出乘積是“1”的一組算式，并列舉大量的乘積是“1”的算式，再通過觀察此類算式的特點(diǎn)幫助學(xué)生建立起“倒數(shù)”的表象，為概念的揭示做好鋪墊。

三、 選擇相異性直觀背景，深化理解

諸多教學(xué)實(shí)踐表明，愈是具有相異性的學(xué)習(xí)材料，愈容易區(qū)分概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。因此，運(yùn)用有差異的學(xué)習(xí)材料來揭示概念，有助于深化對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解，使概念的形成愈發(fā)清晰。

例如，教學(xué)“百分?jǐn)?shù)”中，在感知百分?jǐn)?shù)是表示兩個(gè)量之間的比率關(guān)系后，教師出示了一個(gè)問題情境“一堆煤■噸，運(yùn)走了它的■”，讓學(xué)生判斷那個(gè)分?jǐn)?shù)可以改寫成百分?jǐn)?shù)。學(xué)生在思辨中明確了百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的不同，從而理解了百分?jǐn)?shù)是表示兩個(gè)量之間的關(guān)系這一本質(zhì)。

再如，學(xué)習(xí)“角的認(rèn)識(shí)”中，在形成感知、建立表象之后，為了幫助學(xué)生深入認(rèn)識(shí)角，教師出示了這樣一組圖，要求學(xué)生判斷哪些是角，哪些不是角，為什么？

圖①、③是一組肯定例證，圖②、④是一組否定例證。通過這組相異的材料，突出了肯定例證中無關(guān)特征的變化和否定例證中本質(zhì)特征的變化，讓學(xué)生在辨析中深刻感悟到概念的外在形式的可變性與內(nèi)在本質(zhì)屬性的不變性，從而深入理解了概念的本質(zhì)屬性。

四、 選擇創(chuàng)造性直觀背景，發(fā)展能力

教學(xué)中提供直觀背景的目的，是為了讓學(xué)生在接受這些材料刺激時(shí)，借助這些材料進(jìn)行思維活動(dòng)，以便在揭示概念的本質(zhì)屬性時(shí)，很快經(jīng)歷由抽象到具體的過程，發(fā)展學(xué)生的想象力，提高理解及運(yùn)用概念的能力。因此，提供的直觀材料本身必須具有潛在的啟發(fā)性、想象性和創(chuàng)造性。

例如，認(rèn)識(shí)“立方米”后，教師讓學(xué)生交流自己對(duì)“立方米”的認(rèn)識(shí)，學(xué)生的回答可謂五花八門：“1立方米的空間大約可容納8位同學(xué)。”“講桌所占有的空間大約是1立方米?！薄拔覀兘淌业目臻g大約是140立方米?！薄?/p>

再如，學(xué)習(xí)了“正比例”之后，教師出示了一組汽車行駛時(shí)間、行駛路程、耗油量、尾氣排放量的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生判斷，哪兩個(gè)量成正比例（汽車行駛時(shí)間分別與耗油量、尾氣排放量成正比例），并請(qǐng)學(xué)生根據(jù)這一現(xiàn)象發(fā)表自己的看法。（學(xué)生自然想到應(yīng)倡導(dǎo)綠色出行，注意環(huán)保。）

這樣，在概念形成的各個(gè)階段都注重選擇與之相適應(yīng)的直觀背景，既切合學(xué)生不同階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的特征，又可讓學(xué)生在直觀材料和直觀活動(dòng)中經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程，增加學(xué)習(xí)體驗(yàn)，形成鮮明的感知和表象，利于概念的透徹理解。

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