徐芳

【摘 要】數(shù)學(xué)思想既是研究數(shù)學(xué)所依賴的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓。數(shù)學(xué)基本思想的形成需要經(jīng)歷一個(gè)從朦朧到明晰、從理解到應(yīng)用，循環(huán)往復(fù)的發(fā)展過程。唯有讓學(xué)生親身經(jīng)歷這樣的過程，才能逐步“悟”出數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含的深刻“思想”。

【關(guān)鍵詞】經(jīng)歷 思想 推理 抽象 模型

數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵十分豐富，其中最基本的是數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)學(xué)模型的思想。面對“既是數(shù)學(xué)之‘冠，又是數(shù)學(xué)之‘根”，“既有隱形之能，又具顯性之神”的數(shù)學(xué)思想，我們需要的不僅是行動者的勇氣，更需要思想者的睿智。下面結(jié)合課堂教學(xué)，談?wù)劰P者的感悟。

一、豐富感知，領(lǐng)悟推理思想

說起推理，許多人在認(rèn)識上存在著局限性，認(rèn)為對學(xué)生推理能力的培養(yǎng)就是加強(qiáng)邏輯證明能力的訓(xùn)練，其實(shí)不然。課標(biāo)提出，要通過多樣化的活動來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。第一學(xué)段應(yīng)著重“在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單的猜想”，在此過程中感悟推理的思想。

【案例1】蘇教版三年級下冊《認(rèn)識小數(shù)》

創(chuàng)設(shè)穿越時(shí)光隧道回到原始部落結(jié)繩計(jì)數(shù)的情境，這個(gè)部落一共獲得了124只獵物，請?jiān)凇坝?jì)數(shù)器”上畫珠子表示。

教師設(shè)疑：部落里又逮到了1只獵物，他們想把這只獵物平均分成10份，其中的9份用來招待客人，那剩下的一份在繩子上又該怎么表示呢？

小組討論后展示設(shè)計(jì)作品，并請?jiān)瓌?chuàng)者交流。主要有三種觀點(diǎn)：（1）一只獵物平均分成10份，其中的9份用來招待客人，那剩下的一份不能畫得和“1只”一樣長，應(yīng)該短一點(diǎn)。（2）因?yàn)椴粷M一只，所以要作個(gè)記號，把它和前面的“124”隔開，這樣看得清楚一些。教師順勢追問：這一份畫在這根繩子的左邊還是右邊呢？學(xué)生表示畫在右邊，這樣數(shù)位越往右，表示的數(shù)就越小。

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生嘗試在計(jì)數(shù)器上表示出這一份。作品一：在“個(gè)位”的右邊添加一豎線，畫一顆珠子表示；作品二：在“個(gè)位”的右邊畫一個(gè)圓點(diǎn)，再添加一豎線，畫一顆珠子表示；作品三：在“個(gè)位”的右邊畫一個(gè)圓點(diǎn)，再添加一豎線，畫一顆珠子表示，并在該豎線下面標(biāo)注“十分位”。

教師追問：為什么把這個(gè)數(shù)位叫做“十分位”？學(xué)生回答是媽媽教的。教師在肯定的同時(shí)，提問為什么稱為“十分位”？

同桌交流后分享：因?yàn)樗硎景岩恢猾C物平均分成10份，所以叫“十分位”。在上面畫一顆珠子就表示1份，是十分之一；畫兩顆珠子就表示2份，是十分之二。隨后學(xué)生在“計(jì)數(shù)器”下寫出這個(gè)數(shù)并自學(xué)書本，了解小數(shù)的讀法及各部分名稱。

小數(shù)的產(chǎn)生有兩個(gè)原因：一是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法擴(kuò)展完善的需要，二是分?jǐn)?shù)書寫形式的優(yōu)化改進(jìn)。小數(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著十進(jìn)制計(jì)數(shù)法從整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)，使分?jǐn)?shù)與整數(shù)在形式上獲得了統(tǒng)一。上述片段中，教師善于對素材進(jìn)行加工，學(xué)生“從頭想起”，由整數(shù)數(shù)位猜想小數(shù)數(shù)位，不知不覺中用歸納推理引申出“十分位”的概念。

二、逐層推進(jìn)，領(lǐng)悟抽象思想

抽象是一個(gè)去生活化、去情境化的過程，就是把生活中與數(shù)量、圖形有關(guān)的東西抽象成概念，并用符號表達(dá)。既要關(guān)注知識的來龍去脈，還要讓學(xué)生知道知識“從哪里來”到“哪里去”，這就需要教師提供知識產(chǎn)生的背景材料。

【案例2】蘇教版四年級下冊《折線統(tǒng)計(jì)圖》

出示書本主題圖，學(xué)生交流從“某地5月21日白天室外氣溫情況統(tǒng)計(jì)表”中獲得的信息。討論得出：通過觀察統(tǒng)計(jì)表，我們可以清楚地了解到每個(gè)時(shí)刻的氣溫。除了制作統(tǒng)計(jì)表，制作統(tǒng)計(jì)圖同樣可以獲得這些信息。

出示條形統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)生比較兩者，說說條形統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)勢，交流從該圖上獲得的信息。

教師設(shè)疑：最高氣溫是24℃，除了看數(shù)字，還有什么辦法？學(xué)生認(rèn)為可以看直條的高度。教師建議大家用手勢比劃每個(gè)時(shí)刻的氣溫，然后追問：大家在比劃的過程中看的是每一根直條的哪一部分？學(xué)生異口同聲回答是每一根直條的最高部分。

討論一：既然我們看的是每一根直條的最高部分，那索性將直條隱去，只留一條代表它最高部分的小短橫，這時(shí)我們還能看出每一時(shí)刻的溫度嗎？出示用小短橫代替直條的圖。討論二：繼續(xù)簡化，將小短橫縮小為一個(gè)點(diǎn)，還能看出每一時(shí)刻的溫度嗎？出示用點(diǎn)代替小短橫的圖。隨后全體學(xué)生再次用手勢比劃氣溫的變化，多媒體適時(shí)出現(xiàn)學(xué)生描述的折線變化路徑。教師介紹折線統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)生交流從折線統(tǒng)計(jì)圖上獲得的信息。

本片段中，教師并未急于引入正規(guī)折線統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)，而是巧妙地將條形統(tǒng)計(jì)圖作為“引子”，由“面”抽象出“線”，由“線”抽象出“點(diǎn)”，使學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然。動手比劃氣溫的變化也是匠心獨(dú)運(yùn)，手過雖無痕，但心中已留痕！

三、化繁為簡，領(lǐng)悟模型思想

模型思想是此次修訂課標(biāo)新增的核心概念，學(xué)生對模型思想的感悟通常會經(jīng)歷一個(gè)從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象，逐步積累經(jīng)驗(yàn)、掌握建模方法的過程。建立模型思想的本質(zhì)是使學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。

【案例3】蘇教版五年級下冊《認(rèn)識方程》

多媒體出示天平，學(xué)生說說天平的用途。在天平的左邊放入兩瓶牛奶，天平傾斜；在天平的右邊放入200克砝碼，天平保持平衡，表示兩邊物體的質(zhì)量相等。學(xué)生說一說這一組相等的關(guān)系，即：2瓶牛奶的質(zhì)量=200克。

出示生活中具有相等關(guān)系的五幅圖，思考每一幅圖中存在怎樣的相等關(guān)系？圖片一：一盒鮮莓派138克（23克×6枚）；圖片二：臺秤上四塊月餅共重380克；圖片三：小紅今年身高152厘米，比去年長高8厘米；圖片四：從A地到B地，甲車每小時(shí)行100千米，4小時(shí)到達(dá)，乙車每小時(shí)行80千米，5小時(shí)到達(dá)；圖片五：一支鋼筆35元，是圓珠筆價(jià)格的5倍。

學(xué)生交流，教師在黑板上貼出教學(xué)卡片：6枚鮮莓派的質(zhì)量=138克，4塊月餅的質(zhì)量=380克，去年的身高+8厘米=152厘米，甲車行的路程=乙車行的路程，圓珠筆單價(jià)的5倍=鋼筆的單價(jià)。

教師逐步引導(dǎo)學(xué)生把這些相等的關(guān)系用數(shù)學(xué)的式子來表示。比如，2瓶牛奶的質(zhì)量怎樣表示？“100”告訴我們了嗎？沒有告訴，那怎么表示呢？為什么想到用“x”表示？那鮮莓派呢？此處學(xué)生產(chǎn)生分歧，辯論后達(dá)成共識：每個(gè)鮮莓派的質(zhì)量已經(jīng)告訴我們，應(yīng)該是23×6=138。學(xué)生依次交流余下的幾個(gè)算式：4x=380，x+8=155，100×4=80×5，5x=35，分別說一說x表示什么意思。學(xué)生交流6個(gè)式子的共同點(diǎn)，得出等式的概念。繼續(xù)提問：同為等式，它們之間又有什么不同之處呢？經(jīng)過討論，學(xué)生總結(jié)得出不含x的等式表示的是已知量之間的相等關(guān)系，而含x的等式表示的是已知量和未知量之間的相等關(guān)系，進(jìn)而得出方程的概念。

方程是刻畫數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。本片段中，學(xué)生從相等關(guān)系的視角研究生活現(xiàn)象，在實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而分析已知量與未知量之間的關(guān)系，從而初步建立方程模型。這種在建立模型過程中的整體認(rèn)知，很大程度上將會引領(lǐng)學(xué)生解決問題時(shí)思維方式的轉(zhuǎn)變，那就是“對于數(shù)量關(guān)系的關(guān)注”要優(yōu)于“對于計(jì)算結(jié)果”的關(guān)注。

使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，而數(shù)學(xué)基本思想的形成不是一蹴而就、立竿見影的，它需要經(jīng)歷一個(gè)從朦朧到明晰，從理解到應(yīng)用，循環(huán)往復(fù)的發(fā)展過程。唯有讓學(xué)生親身經(jīng)歷這樣的過程，才能逐步“悟”出數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)涵的深刻“思想”。

（作者單位：江蘇省張家港市江帆小學(xué)）