“整式的乘法與因式分解”概念解讀

尹永洲

本章的主要內(nèi)容是整式的乘法運(yùn)算、因式分解.內(nèi)容建立在學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算、列簡(jiǎn)單的代數(shù)式、一次方程及不等式、整式的加減運(yùn)算等知識(shí)的基礎(chǔ)上.整式的乘法運(yùn)算和因式分解是基本而重要的代數(shù)初步知識(shí)，這些知識(shí)是以后學(xué)習(xí)分式和根式運(yùn)算、函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ).

一 、整式的乘法

整式的乘法是整式四則運(yùn)算的重要組成部分.其中之前所學(xué)習(xí)的冪的運(yùn)算性質(zhì)，即同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎(chǔ).整式乘法具體內(nèi)容包括單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘 把他們的系數(shù)相乘，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式 就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.依據(jù)是

.

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

二 .乘法公式

乘法公式是整式乘法的特殊情形.運(yùn)用乘法公式能迅速而簡(jiǎn)潔地進(jìn)行一些整式相乘的運(yùn)算.

平方差公式：

注意：平方差公式展開(kāi)只有兩項(xiàng).

公式的特征：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù).

完全平方公式：

完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，首尾2倍中間放，符號(hào)和前一個(gè)樣.

三. 因式分解

因式分解是多項(xiàng)式的一種恒等變形.因式分解不但在解方程等問(wèn)題中極其重要，在數(shù)學(xué)科學(xué)其他問(wèn)題和一般科學(xué)研究中也具有廣泛應(yīng)用，是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)必須能夠弄清兩者的區(qū)別和聯(lián)系.

分解因式基本概念：

※把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

※因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.

因式分解的思路與解題步驟：

（1）看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有，先提取公因式；

（2）再看能否使用公式法；

（3）因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積，否則不是因式分解；

（4）因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.

因式分解的基本方法

Ⅰ提公因式法

概念：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如：

概念內(nèi)涵：

（1）因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”；

（2）公因式可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式；

（3）提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律，即：

方法：

（1）找多項(xiàng)式中的公因式；公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)----各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母----各項(xiàng)含有的相同字母；③指數(shù)----相同字母的最低次數(shù)；

（2）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來(lái)檢驗(yàn)是否漏項(xiàng).

（3）注意點(diǎn)①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式②如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的.

易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：

（1）注意項(xiàng)的符號(hào)與冪指數(shù)是否搞錯(cuò)；

（2）公因式是否提“干凈”；

（3）多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式，提出后，括號(hào)中這一項(xiàng)為+1，不漏掉.

Ⅱ公式法

運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是：把乘法公式反過(guò)來(lái)使用.常用的公式：

①平方差公式：

（應(yīng)是二項(xiàng)式，且每項(xiàng)（不含符號(hào)）都是一個(gè)整式的平方；二項(xiàng)是異號(hào).）

②完全平方公式： 、

（應(yīng)是三項(xiàng)式；其中兩項(xiàng)同號(hào)，且各為一整式的平方； 還有一項(xiàng)可正負(fù)，且它是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的2倍.）

因式分解中需要注意的幾個(gè)問(wèn)題

1.分解的對(duì)象是多項(xiàng)式.而對(duì)于 的變形過(guò)程，是利用了因式分解的方法和形式，而不能叫因式分解.

2. 要把結(jié)果化為幾個(gè)因式的積，而不是把部分化為積的形式.有些同學(xué)在分解因式時(shí)，容易出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤

= ，

它不符合因式分解的定義，應(yīng)分解為 =

3.不要分解后又乘回來(lái)

有些同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式因式分解后，又按整式乘法把它變成一個(gè)多項(xiàng)式，這是同學(xué)們因式分解時(shí)易犯錯(cuò)誤.