李樹榮,馬慧超

(1.中國石油大學(xué)信息與控制工程學(xué)院,山東青島266580；2.中石化天津液化天然氣有限責(zé)任公司,天津300457)

在使用機(jī)械臂執(zhí)行去毛刺、拋光等任務(wù)時，機(jī)械臂終端執(zhí)行器的運(yùn)動受到接觸環(huán)境約束，此時不僅要控制其跟蹤給定的軌跡，而且還要控制它與環(huán)境之間的相互作用力，滿足一定的生產(chǎn)要求。針對這一問題，Raibert等[1]提出了位置/力混合控制，其主要思想是將任務(wù)空間分解到兩個正交的子空間，分別設(shè)計獨(dú)立的位置和力控制器；Lu等[2]提出了阻抗控制思想來解決接觸力問題，它通過調(diào)整參考位置間接地實現(xiàn)力控制，其控制精度依賴于對環(huán)境知識的了解程度，而在實際應(yīng)用中，對環(huán)境的了解常常是很不精確或無法知道的，這導(dǎo)致了阻抗控制有很大的力誤差；Su等[3]提出了降階狀態(tài)位置/力控制策略，結(jié)合環(huán)境約束，利用坐標(biāo)變換得到降階的位置/力模型，其策略特點(diǎn)是與環(huán)境剛度無關(guān)。建模時忽略的干擾和參數(shù)的不確定性對控制品質(zhì)有較大影響，這使得魯棒控制在機(jī)械臂中廣泛應(yīng)用，現(xiàn)已取得豐碩成果[4-7]；周芳等[8-9]則利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能控制技術(shù)。在以往的研究中很少涉及電機(jī)模型，而未建模的驅(qū)動電機(jī)是高頻干擾的主要來源，特別是在高速高精度的應(yīng)用場合，實際應(yīng)用效果不好[10]。此外，機(jī)械臂和電機(jī)的動力學(xué)模型存在的相互作用不能忽略，更為重要的是系統(tǒng)的不確定性不僅包含在機(jī)械臂動力學(xué)模型中，還存在于驅(qū)動電機(jī)的控制空間。筆者借鑒文獻(xiàn)[3]的思想，考慮驅(qū)動電機(jī)模型，提出一種新的基于反步法的魯棒自適應(yīng)控制器設(shè)計方案。

1 受約束機(jī)械臂描述

1.1 動力學(xué)模型

考慮一個n關(guān)節(jié)位置受限機(jī)械臂，定義q∈Rn表示機(jī)械臂的關(guān)節(jié)坐標(biāo)，則機(jī)械臂終端運(yùn)動受到的環(huán)境空間約束可表示為方程

式中，Φ(q)∈Rm。假定約束曲面光滑連續(xù)，定義J(q)= ?Φ(q)/?qT∈ Rm×n。此時機(jī)械臂動力學(xué)方程[11]可描述為

式中，M(q)∈Rn×n為慣性矩陣，C(q，)∈Rn×n是與位置和速度有關(guān)的向心力和哥氏力矩陣，F(xiàn)(q，)∈Rn是與摩擦力和重力有關(guān)的矩陣項，τ∈Rn控制力矩，λ∈Rm是約束平面法線方向上的廣義力。環(huán)境約束的存在使得系統(tǒng)的階次可以降到n-m維，也就是說可以用n-m個關(guān)節(jié)變量來描述受約束系統(tǒng)的位置。記q=[q1，q2]T，q1∈Rn-m，q2∈Rm。因Φ(q)是滿秩的，由隱函數(shù)存在定理可知，二者的關(guān)系可表示為q2=Ω(q1)。假設(shè)q1中的元素是選取q中前n-m部分，如果不符合這種假設(shè)，則可以通過重新整理式(2)變量的順序得到符合假設(shè)的排列。定義H(q1)=[In-m，?ΩT(q1)/?q1]T，則有

將式(3)代入式(2)中，則可改寫為

式(4)兩邊左乘HT，得

定義(q1)=HT(q1)M(q1)H(q1)。式(5)描述的動力學(xué)系統(tǒng)具有如下性質(zhì)[10-11]。

性質(zhì)1：J(q1)H(q1)=HT(q1)JT(q1)=0。

性質(zhì)2：-2HTC1為斜對稱矩陣，即pT(-2HTC1)p=0，?p∈ Rn。

性質(zhì)3：存在參數(shù)線性化關(guān)系

其中Y(q1，1，u，)∈Rn×k為關(guān)節(jié)變量函數(shù)的回歸矩陣；θ∈Rk是描述機(jī)械臂的質(zhì)量特性的未知定常參數(shù)向量。

1.2 驅(qū)動電機(jī)模型

假設(shè)機(jī)械臂的驅(qū)動電機(jī)采用具有相同的性能參數(shù)的直流電機(jī)，減速齒輪具有相同的減速比n。直流電機(jī)電壓平衡方程為

式中，U為電樞電壓；L和R分別為電樞電感和電樞電阻；Ke為電機(jī)反動勢常數(shù)；Δ表示參數(shù)不確定性，d(t)表示不確定干擾，ω表示電機(jī)軸角位置。ω與機(jī)械臂關(guān)節(jié)角變量q的關(guān)系為

電機(jī)轉(zhuǎn)矩與電流的關(guān)系為

式中，Kt為電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)。將式(7)、(8)代入式(6)并把不確定項合并為總的不確定項D(t)，則電機(jī)模型為

其中，，Kc=nKeIn，In表示n維單位矩陣。由式(9)可知，機(jī)械臂和電機(jī)動力學(xué)存在聯(lián)系，通過1可以影響電機(jī)的動力學(xué)特性，所以考慮驅(qū)動電機(jī)模型是合理的。

1.3 系統(tǒng)描述

機(jī)械臂是典型的非線性系統(tǒng)，聯(lián)合式(4)、式(9)得到帶有驅(qū)動電機(jī)的系統(tǒng)模型，描述如下：

本文中提出的控制器分成3步實現(xiàn)，首先將式(4)中的力矩τ作為理想的期望力矩τd，采用自適應(yīng)策略進(jìn)行設(shè)計；然后完成期望力矩的實現(xiàn)，即電機(jī)控制器的設(shè)計，這部分利用了魯棒控制；最后給出閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析。

2 基于反步法的位置 /力控制

反步法在非線性控制中被廣泛研究，該方法將復(fù)雜非線性系統(tǒng)分解為多個子系統(tǒng)，針對機(jī)械臂將控制器分解為動力學(xué)控制器以及電機(jī)控制器級聯(lián)的形式，分別設(shè)計各個子系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，最終確保整個閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的[12]。

受約束機(jī)械臂的控制目標(biāo)就是讓機(jī)械臂跟隨期望軌跡運(yùn)動的同時其終端執(zhí)行器要與接觸環(huán)境表面維持一個期望力[11]。為了進(jìn)行控制器的設(shè)計，首先做如下假設(shè)和說明：

(1)假設(shè)電機(jī)模型的不確定性是有界的，即。

(2)表示向量的歐幾里德范數(shù)。

(3)算子λmin(·)為取矩陣的最小特征值。

2.1 動力學(xué)控制器的設(shè)計

定義符號如下：

式中，em、、q1r、s分別為位置誤差、力誤差、輔助變量和過濾后的位置誤差；Λ為正定對稱矩陣。上述定義滿足當(dāng)時，em和m將以指數(shù)收斂到零。同樣，提出了一種非線性力濾波器，其形式如下：

式中，ef為過濾后的力誤差；Λf為正定對稱矩陣；γ為正實數(shù)。控制器的設(shè)計目標(biāo)是使位置誤差和力誤差跟隨s→0和ef→0而趨于零。將式(11)代入式(4)中可以推導(dǎo)出：

設(shè)計如下控制律：

式中，τd為機(jī)械臂的期望輸入轉(zhuǎn)矩，由于電機(jī)動力學(xué)特性的存在，電機(jī)實際輸出轉(zhuǎn)矩τ并不能完全等于τd，這也是設(shè)計電機(jī)控制器的必要性；為未知定常參數(shù)θ的估計值；km和kf分別為位置誤差和力誤差的正實數(shù)增益。動力學(xué)控制器表達(dá)式中Y(q1，1，q1r，1r)項的存在使控制器具有較好的自適應(yīng)性，能克服模型的不確定性和干擾等；kmHs項的存在使得系統(tǒng)具有較好的動態(tài)特性，km越大，s收斂到零的速度越快；kfef項的存在使得力誤差可以達(dá)到任意小，滿足允許的誤差范圍，只要選取足夠大的kf。將式(14)代入式(13)中，得

式中，為估計誤差。式(15)兩邊同乘HT，并應(yīng)用性質(zhì)1，推導(dǎo)出：

設(shè)計參數(shù)θ的適應(yīng)律如下：

式中，Γ為正定對稱矩陣，即Γ=ΓT＞0。

令λmin(Λf)＞γ。定義Lyapunov函數(shù)為

式(18)對時間求導(dǎo)，并將式(16)代入，得

將式(12)、式(17)代入并應(yīng)用性質(zhì)2，得

當(dāng)=s=ef=0，任意時，1=0。由ef≡0可導(dǎo)出f=0，代入式(12)，得到=0。故當(dāng)且僅當(dāng)=s=ef==0，1≡0。

現(xiàn)說明動力學(xué)控制器表達(dá)式與Lyapunov函數(shù)選取的關(guān)系。應(yīng)用性質(zhì)3，得到線性化方程：

聯(lián)立公式(4)、(14)、(19)，得

根據(jù) Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性定理可知，有界。由于1一致連續(xù)，根據(jù)Barbalat引理可知，代入式(20)，得

又因ef是過濾后的力誤差，當(dāng)ef=0時，=0。故系統(tǒng)方程獨(dú)立的狀態(tài)變量有、s、ef，則可選取Lyapunov函數(shù)為V1。

2.2 電機(jī)控制器的設(shè)計

將動力學(xué)控制器的輸出作為參考力矩，則電機(jī)轉(zhuǎn)矩誤差記為

定義Lyapunov函數(shù)為

式(22)對時間求導(dǎo)，得

將式(24)代入式(23)中，得

2.3 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性

定義閉環(huán)系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)為：V=V1+V2，求導(dǎo)則有

當(dāng)且僅當(dāng)=s=ef==eτ=0時，=0。定義e=，V→ ∞，故當(dāng)e∈R2n+m+k時系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。

3 仿真結(jié)果

采用二自由度旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)機(jī)械臂進(jìn)行仿真，其終端執(zhí)行器沿約束圓表面運(yùn)動，如圖1所示。

圖1 兩連桿受約束機(jī)械臂Fig.1 Two-link constrained manipulator

機(jī)械臂的動力學(xué)模型如下：

式中，l1=1，l2=0.8，分別為機(jī)械臂兩個關(guān)節(jié)臂的長度。取未知參數(shù)θ=[θ1，θ2，θ3，θ4，θ5]T。環(huán)境約束方程Φ(X)=x2+y2-r2=0，X=[x，y]T。兩連桿機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)方程為

則將約束方程變換到關(guān)節(jié)空間為

所以關(guān)節(jié)變量q2是一常數(shù)解，有

雅克比矩陣為。變換矩陣為H(q)=(1 0)T。期望軌跡和期望力分別為

動力學(xué)控制器中各參數(shù)取為

電機(jī)模型中各參數(shù)標(biāo)稱值[10]取為

設(shè)電機(jī)參數(shù)攝動為標(biāo)稱值的15%，為避免參數(shù)間影響互相抵消，僅考慮電機(jī)參數(shù)存在 ΔL、ΔR、ΔKe。則電機(jī)模型中各參數(shù)實際值為

L=0.115，R=5.75，Ke=0.345，n=1，Kt=2.

圖2是關(guān)節(jié)1位置和速度誤差曲線，圖3是力跟蹤誤差曲線，圖4是參數(shù)的估計值曲線，圖5是魯棒控制器對抑制電機(jī)參數(shù)攝動影響的曲線。

圖2 關(guān)節(jié)1的位置和速度跟蹤誤差Fig.2 Position and velocity errors of the first joint

需要說明的是力誤差曲線的毛刺主要是因為摩擦力的擾動。從圖5可以看出，對于帶有參數(shù)攝動的不確定系統(tǒng)，本文中所提出的魯棒控制器比采用標(biāo)稱值設(shè)計的控制器具有更高的跟蹤精度，有效地抑制了電機(jī)參數(shù)攝動的影響。

圖3 力跟蹤誤差Fig.3 Force tracking error

圖4 參數(shù)估計值Fig.4 Value of estimated parameters

圖5 參數(shù)攝動時魯棒控制曲線Fig.5 Robust control curves with parameter perturbation

4 結(jié)束語

針對受約束機(jī)械臂，提出了一種魯棒自適應(yīng)位置/力控制方案，控制器的設(shè)計考慮了驅(qū)動電機(jī)模型，并基于反步法將控制器分解為動力學(xué)控制器和電機(jī)控制器級聯(lián)的形式，降低了設(shè)計的難度。采用的非線性力濾波器使系統(tǒng)在穩(wěn)定性分析中獲得了有界的力誤差，動力學(xué)控制器中的自適應(yīng)律對動力學(xué)模型的不確定性和擾動是有效的，電機(jī)控制器的設(shè)計方案對電機(jī)模型參數(shù)具有一定的魯棒性。

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