黃紅成

數(shù)學，能夠賦予兒童什么？改變兒童什么？這個問題，筆者一直在探尋。曾經(jīng)的認識是，數(shù)學是人類建構(gòu)的產(chǎn)物。“學習就是在作結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。”作為工具性學科，數(shù)學教學常常展現(xiàn)出其工具作用的一面：傳授數(shù)學知識，讓兒童形成數(shù)學技能，積累數(shù)學活動經(jīng)驗和數(shù)學思想，學生在知識體系、認知能力、語言表達等“認知結(jié)構(gòu)”方面得到建立和發(fā)展。然而在《乘法分配律》的教學研討中，讓筆者又有了新的感悟：數(shù)學教學，在改變兒童的內(nèi)部世界（認知結(jié)構(gòu)、認識觀、價值觀等）的同時，也需要影響兒童的生活世界。

一、 常規(guī)教學及困惑

關于《乘法分配律》的教學，教師一般結(jié)合買服裝的例題，讓學生得出算式（65+45）×5=65×5+45×5，簡單比較后，再讓學生舉例、交流，進而借助多組算式的分析凸顯算式的特征和個中隱藏的規(guī)律，最后讓學生感悟和總結(jié)出“兩個數(shù)的和乘第三個數(shù)，可以把這兩個數(shù)分別乘第三個數(shù)，再把兩個積加起來”，并用符號和字母來表示，使乘法分配律的教學由圖象性表征過渡到符號性表征。

作為一種關系結(jié)構(gòu)，乘法分配律的兩邊是以不同數(shù)量的節(jié)點（具體的數(shù)或項）和聯(lián)線（運算）組合而成。在特定的情境中，沒有其他關系或結(jié)構(gòu)的影響下，表示乘法分配律的關系結(jié)構(gòu)一般是相對穩(wěn)定的。但是如果受乘法交換律之類的關系結(jié)構(gòu)的影響，由于兩個關系結(jié)構(gòu)的節(jié)點的數(shù)量和聯(lián)結(jié)的方式比較相似，所以學生很容易將乘法分配律的關系結(jié)構(gòu)納入到乘法交換律的結(jié)構(gòu)中去，造成關系結(jié)構(gòu)的錯亂和混淆。比如把（4×12）×25錯誤地與4×25+12×25等同起來。而且時間間隔得越長，學生在常規(guī)學習中獲得的一點點感悟，就會逐漸變得模糊起來，以致出現(xiàn)“張冠李戴”的錯誤。

二、 教學改進及思考

如何避免“感悟”式教學帶來的缺憾，幫助學生牢固而清晰地掌握乘法分配律，筆者進行了下面的實踐探索。

改進教學一：

1.出示問題一：王大伯家有兩塊長方形菜地，第一塊長10米，寬6米；第二塊長8米，寬6米。兩塊菜地共多少平方米？

學生列式，說明兩種不同算法的意義。

師：這種先分別求出兩塊菜地的面積，再算出共有多少平方米的思路，老師把它稱為分著算。既然有分著算，你肯定會聯(lián)想到什么算？怎樣合著算呢？

生：合著算，不知道。

課件動畫演示兩個長方形合并成一個長方形的過程。如下圖1和圖2。

圖1 圖2

師：為什么能夠合成一個大長方形？

生：因為兩個長方形的寬是相同的。

師：從圖中能看出兩種列式思路嗎？這兩種列式的結(jié)果怎樣？

學生回答。

板書：10×6+8×6=（10+8）×6

師：借助大長方形咱們找到解決問題的新思路，而且也能看出兩道算式的結(jié)果是相等的。

2.出示例題（已改為“問題二”，如圖3）。

學生分析、列式，得出：（65+45）×25=65×25+45×25。

師：通過計算或根據(jù)算式的意義都能說明兩邊的結(jié)果是相等的。不過，同學們有沒有想過，能不能結(jié)合剛才的長方形來說明兩種思路，判斷結(jié)果的大小呢？

依次出示圖4中的兩個長方形。

師：老師這兒有兩個長方形。第一個長方形長45，寬是25，45×25算的是什么？長方形的面積就可以表示45×25的積。那么65×25可以用一個怎樣的長方形面積來表示呢？

生：用長65、寬25的長方形面積表示。

師：把這兩個積相加，求出兩個長方形的面積共是多少，這是分著算。能合著算嗎？把這兩個長方形怎樣變化就能得到另一種思路??？

生：合起來。

師：把什么重合？因為兩個長方形的寬是？

生：相等的。

師：合起來怎么算？65+45在哪兒？就是大長方形的什么？25是什么？兩個長方形的面積有沒有變？面積的和會不會變？所以兩道算式的結(jié)果？（出示圖5）

師：借助長方形，不計算，咱們得到了兩種解題思路，都能看出結(jié)果是相等的。

……

教學改進二：

練習環(huán)節(jié)，出示下圖：

窗戶 廣告牌

冰箱 地磚

師：生活中也有乘法分配律，你找到了嗎？

學生結(jié)合圖片中的圖形解釋乘法分配律。

如果把兒童的數(shù)學學習看成是一種教師伴隨的旅行，每天的數(shù)學學習看作是茫茫旅行中的一段。那么，兒童的學習行為可以看成是旅行中的行走方式，學生之于其中的“改變、豐富、發(fā)展”可以看作行走的“成效”，兩者的表現(xiàn)就成為教學效果的呈現(xiàn)方式。從上面的教學中我們可以看出，數(shù)學教學不僅改變了兒童內(nèi)在的認知結(jié)構(gòu)，而且影響了兒童的數(shù)學行走方式和生活世界。

改變一：用模型思想觀照數(shù)學。數(shù)學模型是一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。一個概念，就是若干對象由某種特定關系結(jié)合組成的結(jié)構(gòu)。而且在學生的知識體系和認知結(jié)構(gòu)中，數(shù)學概念和結(jié)構(gòu)常以符號、圖式、模型等方式存在于兒童的頭腦中?？梢?，數(shù)學概念教學的效果取決于是否建立了有助于兒童數(shù)學理解的數(shù)學模型，和特定關系組成的結(jié)構(gòu)是否清晰、穩(wěn)固。如果教學方式不妥、教學手段單一，學生對概念的感知不夠深刻，很難準確把握對象的本質(zhì)特征，建構(gòu)起清晰的認知結(jié)構(gòu)。在上面的教學中，筆者采用了幫助學生建構(gòu)數(shù)學模型的方式展開教學，學生借助直觀的圖形演示，發(fā)現(xiàn)乘法分配律兩邊的特征，通過溝通知識間聯(lián)系的形式建立節(jié)點間的關系，借助符號和圖式等方式固化學生的認知結(jié)構(gòu)，并能長時間地儲存在記憶中。

改變二：用數(shù)學感覺意識生活。認知結(jié)構(gòu)除了有助于信息的存貯、記憶和操作處理外，還有促進理解的功能。學習一個數(shù)學概念、原理、法則、性質(zhì)、規(guī)律，如果在心理上組織起適當?shù)摹⒂行У恼J知結(jié)構(gòu)，并使之成為個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡的一部分，就實現(xiàn)理解了?！俺朔ǚ峙渎伞钡膶W習的混淆與運用的偏差，本質(zhì)上說就是學生沒有理解這一運算規(guī)律。上述教學中，學生之所以能深刻地掌握乘法分配律，是因為筆者并沒有將教學停止于幫助學生建構(gòu)數(shù)學模型，也沒有局限在單一的書本練習，而是在運用中，適時地讓學生反復再現(xiàn)能夠表示乘法分配律的模型，并結(jié)合生活中窗子、冰箱、和指示牌上的圖案，讓學生感悟生活中的“乘法分配律”。這樣，就可以刺激學生有意識地從眾多的生活對象中尋找數(shù)學規(guī)律，以致能夠自覺地運用個體數(shù)學感覺來意識生活中的事物。試想，有了這樣的學習方式，學生還會把乘法分配律與其他規(guī)律混淆嗎？還不會運用規(guī)律正確解決問題嗎？

豐富了兒童的認知結(jié)構(gòu)，也影響兒童的生活世界！這不僅是數(shù)學教學的目標，也是數(shù)學教學的至高追求，更應該是數(shù)學饋贈給兒童的最好“禮物”！

【責任編輯：陳國慶】endprint

數(shù)學，能夠賦予兒童什么？改變兒童什么？這個問題，筆者一直在探尋。曾經(jīng)的認識是，數(shù)學是人類建構(gòu)的產(chǎn)物?！皩W習就是在作結(jié)構(gòu)的建構(gòu)?！弊鳛楣ぞ咝詫W科，數(shù)學教學常常展現(xiàn)出其工具作用的一面：傳授數(shù)學知識，讓兒童形成數(shù)學技能，積累數(shù)學活動經(jīng)驗和數(shù)學思想，學生在知識體系、認知能力、語言表達等“認知結(jié)構(gòu)”方面得到建立和發(fā)展。然而在《乘法分配律》的教學研討中，讓筆者又有了新的感悟：數(shù)學教學，在改變兒童的內(nèi)部世界（認知結(jié)構(gòu)、認識觀、價值觀等）的同時，也需要影響兒童的生活世界。

一、 常規(guī)教學及困惑

關于《乘法分配律》的教學，教師一般結(jié)合買服裝的例題，讓學生得出算式（65+45）×5=65×5+45×5，簡單比較后，再讓學生舉例、交流，進而借助多組算式的分析凸顯算式的特征和個中隱藏的規(guī)律，最后讓學生感悟和總結(jié)出“兩個數(shù)的和乘第三個數(shù)，可以把這兩個數(shù)分別乘第三個數(shù)，再把兩個積加起來”，并用符號和字母來表示，使乘法分配律的教學由圖象性表征過渡到符號性表征。

作為一種關系結(jié)構(gòu)，乘法分配律的兩邊是以不同數(shù)量的節(jié)點（具體的數(shù)或項）和聯(lián)線（運算）組合而成。在特定的情境中，沒有其他關系或結(jié)構(gòu)的影響下，表示乘法分配律的關系結(jié)構(gòu)一般是相對穩(wěn)定的。但是如果受乘法交換律之類的關系結(jié)構(gòu)的影響，由于兩個關系結(jié)構(gòu)的節(jié)點的數(shù)量和聯(lián)結(jié)的方式比較相似，所以學生很容易將乘法分配律的關系結(jié)構(gòu)納入到乘法交換律的結(jié)構(gòu)中去，造成關系結(jié)構(gòu)的錯亂和混淆。比如把（4×12）×25錯誤地與4×25+12×25等同起來。而且時間間隔得越長，學生在常規(guī)學習中獲得的一點點感悟，就會逐漸變得模糊起來，以致出現(xiàn)“張冠李戴”的錯誤。

二、 教學改進及思考

如何避免“感悟”式教學帶來的缺憾，幫助學生牢固而清晰地掌握乘法分配律，筆者進行了下面的實踐探索。

改進教學一：

1.出示問題一：王大伯家有兩塊長方形菜地，第一塊長10米，寬6米；第二塊長8米，寬6米。兩塊菜地共多少平方米？

學生列式，說明兩種不同算法的意義。

師：這種先分別求出兩塊菜地的面積，再算出共有多少平方米的思路，老師把它稱為分著算。既然有分著算，你肯定會聯(lián)想到什么算？怎樣合著算呢？

生：合著算，不知道。

課件動畫演示兩個長方形合并成一個長方形的過程。如下圖1和圖2。

圖1 圖2

師：為什么能夠合成一個大長方形？

生：因為兩個長方形的寬是相同的。

師：從圖中能看出兩種列式思路嗎？這兩種列式的結(jié)果怎樣？

學生回答。

板書：10×6+8×6=（10+8）×6

師：借助大長方形咱們找到解決問題的新思路，而且也能看出兩道算式的結(jié)果是相等的。

2.出示例題（已改為“問題二”，如圖3）。

學生分析、列式，得出：（65+45）×25=65×25+45×25。

師：通過計算或根據(jù)算式的意義都能說明兩邊的結(jié)果是相等的。不過，同學們有沒有想過，能不能結(jié)合剛才的長方形來說明兩種思路，判斷結(jié)果的大小呢？

依次出示圖4中的兩個長方形。

師：老師這兒有兩個長方形。第一個長方形長45，寬是25，45×25算的是什么？長方形的面積就可以表示45×25的積。那么65×25可以用一個怎樣的長方形面積來表示呢？

生：用長65、寬25的長方形面積表示。

師：把這兩個積相加，求出兩個長方形的面積共是多少，這是分著算。能合著算嗎？把這兩個長方形怎樣變化就能得到另一種思路??？

生：合起來。

師：把什么重合？因為兩個長方形的寬是？

生：相等的。

師：合起來怎么算？65+45在哪兒？就是大長方形的什么？25是什么？兩個長方形的面積有沒有變？面積的和會不會變？所以兩道算式的結(jié)果？（出示圖5）

師：借助長方形，不計算，咱們得到了兩種解題思路，都能看出結(jié)果是相等的。

……

教學改進二：

練習環(huán)節(jié)，出示下圖：

窗戶 廣告牌

冰箱 地磚

師：生活中也有乘法分配律，你找到了嗎？

學生結(jié)合圖片中的圖形解釋乘法分配律。

如果把兒童的數(shù)學學習看成是一種教師伴隨的旅行，每天的數(shù)學學習看作是茫茫旅行中的一段。那么，兒童的學習行為可以看成是旅行中的行走方式，學生之于其中的“改變、豐富、發(fā)展”可以看作行走的“成效”，兩者的表現(xiàn)就成為教學效果的呈現(xiàn)方式。從上面的教學中我們可以看出，數(shù)學教學不僅改變了兒童內(nèi)在的認知結(jié)構(gòu)，而且影響了兒童的數(shù)學行走方式和生活世界。

改變一：用模型思想觀照數(shù)學。數(shù)學模型是一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。一個概念，就是若干對象由某種特定關系結(jié)合組成的結(jié)構(gòu)。而且在學生的知識體系和認知結(jié)構(gòu)中，數(shù)學概念和結(jié)構(gòu)常以符號、圖式、模型等方式存在于兒童的頭腦中?？梢姡瑪?shù)學概念教學的效果取決于是否建立了有助于兒童數(shù)學理解的數(shù)學模型，和特定關系組成的結(jié)構(gòu)是否清晰、穩(wěn)固。如果教學方式不妥、教學手段單一，學生對概念的感知不夠深刻，很難準確把握對象的本質(zhì)特征，建構(gòu)起清晰的認知結(jié)構(gòu)。在上面的教學中，筆者采用了幫助學生建構(gòu)數(shù)學模型的方式展開教學，學生借助直觀的圖形演示，發(fā)現(xiàn)乘法分配律兩邊的特征，通過溝通知識間聯(lián)系的形式建立節(jié)點間的關系，借助符號和圖式等方式固化學生的認知結(jié)構(gòu)，并能長時間地儲存在記憶中。

改變二：用數(shù)學感覺意識生活。認知結(jié)構(gòu)除了有助于信息的存貯、記憶和操作處理外，還有促進理解的功能。學習一個數(shù)學概念、原理、法則、性質(zhì)、規(guī)律，如果在心理上組織起適當?shù)摹⒂行У恼J知結(jié)構(gòu)，并使之成為個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡的一部分，就實現(xiàn)理解了?！俺朔ǚ峙渎伞钡膶W習的混淆與運用的偏差，本質(zhì)上說就是學生沒有理解這一運算規(guī)律。上述教學中，學生之所以能深刻地掌握乘法分配律，是因為筆者并沒有將教學停止于幫助學生建構(gòu)數(shù)學模型，也沒有局限在單一的書本練習，而是在運用中，適時地讓學生反復再現(xiàn)能夠表示乘法分配律的模型，并結(jié)合生活中窗子、冰箱、和指示牌上的圖案，讓學生感悟生活中的“乘法分配律”。這樣，就可以刺激學生有意識地從眾多的生活對象中尋找數(shù)學規(guī)律，以致能夠自覺地運用個體數(shù)學感覺來意識生活中的事物。試想，有了這樣的學習方式，學生還會把乘法分配律與其他規(guī)律混淆嗎？還不會運用規(guī)律正確解決問題嗎？

豐富了兒童的認知結(jié)構(gòu)，也影響兒童的生活世界！這不僅是數(shù)學教學的目標，也是數(shù)學教學的至高追求，更應該是數(shù)學饋贈給兒童的最好“禮物”！

【責任編輯：陳國慶】endprint

數(shù)學，能夠賦予兒童什么？改變兒童什么？這個問題，筆者一直在探尋。曾經(jīng)的認識是，數(shù)學是人類建構(gòu)的產(chǎn)物?！皩W習就是在作結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。”作為工具性學科，數(shù)學教學常常展現(xiàn)出其工具作用的一面：傳授數(shù)學知識，讓兒童形成數(shù)學技能，積累數(shù)學活動經(jīng)驗和數(shù)學思想，學生在知識體系、認知能力、語言表達等“認知結(jié)構(gòu)”方面得到建立和發(fā)展。然而在《乘法分配律》的教學研討中，讓筆者又有了新的感悟：數(shù)學教學，在改變兒童的內(nèi)部世界（認知結(jié)構(gòu)、認識觀、價值觀等）的同時，也需要影響兒童的生活世界。

一、 常規(guī)教學及困惑

關于《乘法分配律》的教學，教師一般結(jié)合買服裝的例題，讓學生得出算式（65+45）×5=65×5+45×5，簡單比較后，再讓學生舉例、交流，進而借助多組算式的分析凸顯算式的特征和個中隱藏的規(guī)律，最后讓學生感悟和總結(jié)出“兩個數(shù)的和乘第三個數(shù)，可以把這兩個數(shù)分別乘第三個數(shù)，再把兩個積加起來”，并用符號和字母來表示，使乘法分配律的教學由圖象性表征過渡到符號性表征。

作為一種關系結(jié)構(gòu)，乘法分配律的兩邊是以不同數(shù)量的節(jié)點（具體的數(shù)或項）和聯(lián)線（運算）組合而成。在特定的情境中，沒有其他關系或結(jié)構(gòu)的影響下，表示乘法分配律的關系結(jié)構(gòu)一般是相對穩(wěn)定的。但是如果受乘法交換律之類的關系結(jié)構(gòu)的影響，由于兩個關系結(jié)構(gòu)的節(jié)點的數(shù)量和聯(lián)結(jié)的方式比較相似，所以學生很容易將乘法分配律的關系結(jié)構(gòu)納入到乘法交換律的結(jié)構(gòu)中去，造成關系結(jié)構(gòu)的錯亂和混淆。比如把（4×12）×25錯誤地與4×25+12×25等同起來。而且時間間隔得越長，學生在常規(guī)學習中獲得的一點點感悟，就會逐漸變得模糊起來，以致出現(xiàn)“張冠李戴”的錯誤。

二、 教學改進及思考

如何避免“感悟”式教學帶來的缺憾，幫助學生牢固而清晰地掌握乘法分配律，筆者進行了下面的實踐探索。

改進教學一：

1.出示問題一：王大伯家有兩塊長方形菜地，第一塊長10米，寬6米；第二塊長8米，寬6米。兩塊菜地共多少平方米？

學生列式，說明兩種不同算法的意義。

師：這種先分別求出兩塊菜地的面積，再算出共有多少平方米的思路，老師把它稱為分著算。既然有分著算，你肯定會聯(lián)想到什么算？怎樣合著算呢？

生：合著算，不知道。

課件動畫演示兩個長方形合并成一個長方形的過程。如下圖1和圖2。

圖1 圖2

師：為什么能夠合成一個大長方形？

生：因為兩個長方形的寬是相同的。

師：從圖中能看出兩種列式思路嗎？這兩種列式的結(jié)果怎樣？

學生回答。

板書：10×6+8×6=（10+8）×6

師：借助大長方形咱們找到解決問題的新思路，而且也能看出兩道算式的結(jié)果是相等的。

2.出示例題（已改為“問題二”，如圖3）。

學生分析、列式，得出：（65+45）×25=65×25+45×25。

師：通過計算或根據(jù)算式的意義都能說明兩邊的結(jié)果是相等的。不過，同學們有沒有想過，能不能結(jié)合剛才的長方形來說明兩種思路，判斷結(jié)果的大小呢？

依次出示圖4中的兩個長方形。

師：老師這兒有兩個長方形。第一個長方形長45，寬是25，45×25算的是什么？長方形的面積就可以表示45×25的積。那么65×25可以用一個怎樣的長方形面積來表示呢？

生：用長65、寬25的長方形面積表示。

師：把這兩個積相加，求出兩個長方形的面積共是多少，這是分著算。能合著算嗎？把這兩個長方形怎樣變化就能得到另一種思路啊？

生：合起來。

師：把什么重合？因為兩個長方形的寬是？

生：相等的。

師：合起來怎么算？65+45在哪兒？就是大長方形的什么？25是什么？兩個長方形的面積有沒有變？面積的和會不會變？所以兩道算式的結(jié)果？（出示圖5）

師：借助長方形，不計算，咱們得到了兩種解題思路，都能看出結(jié)果是相等的。

……

教學改進二：

練習環(huán)節(jié)，出示下圖：

窗戶 廣告牌

冰箱 地磚

師：生活中也有乘法分配律，你找到了嗎？

學生結(jié)合圖片中的圖形解釋乘法分配律。

如果把兒童的數(shù)學學習看成是一種教師伴隨的旅行，每天的數(shù)學學習看作是茫茫旅行中的一段。那么，兒童的學習行為可以看成是旅行中的行走方式，學生之于其中的“改變、豐富、發(fā)展”可以看作行走的“成效”，兩者的表現(xiàn)就成為教學效果的呈現(xiàn)方式。從上面的教學中我們可以看出，數(shù)學教學不僅改變了兒童內(nèi)在的認知結(jié)構(gòu)，而且影響了兒童的數(shù)學行走方式和生活世界。

改變一：用模型思想觀照數(shù)學。數(shù)學模型是一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。一個概念，就是若干對象由某種特定關系結(jié)合組成的結(jié)構(gòu)。而且在學生的知識體系和認知結(jié)構(gòu)中，數(shù)學概念和結(jié)構(gòu)常以符號、圖式、模型等方式存在于兒童的頭腦中?？梢?，數(shù)學概念教學的效果取決于是否建立了有助于兒童數(shù)學理解的數(shù)學模型，和特定關系組成的結(jié)構(gòu)是否清晰、穩(wěn)固。如果教學方式不妥、教學手段單一，學生對概念的感知不夠深刻，很難準確把握對象的本質(zhì)特征，建構(gòu)起清晰的認知結(jié)構(gòu)。在上面的教學中，筆者采用了幫助學生建構(gòu)數(shù)學模型的方式展開教學，學生借助直觀的圖形演示，發(fā)現(xiàn)乘法分配律兩邊的特征，通過溝通知識間聯(lián)系的形式建立節(jié)點間的關系，借助符號和圖式等方式固化學生的認知結(jié)構(gòu)，并能長時間地儲存在記憶中。

改變二：用數(shù)學感覺意識生活。認知結(jié)構(gòu)除了有助于信息的存貯、記憶和操作處理外，還有促進理解的功能。學習一個數(shù)學概念、原理、法則、性質(zhì)、規(guī)律，如果在心理上組織起適當?shù)摹⒂行У恼J知結(jié)構(gòu)，并使之成為個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡的一部分，就實現(xiàn)理解了?！俺朔ǚ峙渎伞钡膶W習的混淆與運用的偏差，本質(zhì)上說就是學生沒有理解這一運算規(guī)律。上述教學中，學生之所以能深刻地掌握乘法分配律，是因為筆者并沒有將教學停止于幫助學生建構(gòu)數(shù)學模型，也沒有局限在單一的書本練習，而是在運用中，適時地讓學生反復再現(xiàn)能夠表示乘法分配律的模型，并結(jié)合生活中窗子、冰箱、和指示牌上的圖案，讓學生感悟生活中的“乘法分配律”。這樣，就可以刺激學生有意識地從眾多的生活對象中尋找數(shù)學規(guī)律，以致能夠自覺地運用個體數(shù)學感覺來意識生活中的事物。試想，有了這樣的學習方式，學生還會把乘法分配律與其他規(guī)律混淆嗎？還不會運用規(guī)律正確解決問題嗎？

豐富了兒童的認知結(jié)構(gòu)，也影響兒童的生活世界！這不僅是數(shù)學教學的目標，也是數(shù)學教學的至高追求，更應該是數(shù)學饋贈給兒童的最好“禮物”！

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