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(浙江師范大學(xué)婺州外國語學(xué)校 浙江金華 321025)

“綜合與實(shí)踐”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的一個(gè)重要領(lǐng)域，其綜合性、活動(dòng)性、趣味性等特點(diǎn)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)與方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，積累學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力具有重要作用[1].然而，由于教材中“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容編排量較少，教師從內(nèi)容選擇開始就感到無所適從；對(duì)綜合與實(shí)踐活動(dòng)如何組織和實(shí)施，缺乏成功經(jīng)驗(yàn)的指導(dǎo)，容易流于形式[2]，“綜合與實(shí)踐”仍沒有發(fā)揮出其巨大的教育價(jià)值.這就需要我們積極探索“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的組織形式和實(shí)施途徑，以開發(fā)出更多高質(zhì)量的綜合與實(shí)踐活動(dòng)案例.目前，已有一些學(xué)者、同行對(duì)此進(jìn)行了探索，比如張奠宙等人從數(shù)學(xué)本質(zhì)的維度把“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容分為綜合應(yīng)用型、操作活動(dòng)型、數(shù)學(xué)欣賞型、數(shù)學(xué)文化型、數(shù)學(xué)素養(yǎng)型，并提供了一些的案例[3]，這有助于我們對(duì)綜合與實(shí)踐活動(dòng)的類型作出合理的定位；義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組則將綜合與實(shí)踐活動(dòng)的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)成“選題—開題—做題—結(jié)題”的“微科研”過程，看似簡單明了，實(shí)則可操作性較低.臺(tái)灣地區(qū)的課程標(biāo)準(zhǔn)中也有和“綜合與實(shí)踐”相類似的領(lǐng)域“聯(lián)結(jié)”，其外部聯(lián)結(jié)具有“覺察—轉(zhuǎn)化—解題—溝通—評(píng)析”的開展流程，與“微科研”的操作流程相比，雖然內(nèi)涵相差無幾，但可操作性更強(qiáng).我們可以借鑒這一流程來開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)，本文也將在這一流程的指導(dǎo)下，開發(fā)出一則“操作活動(dòng)型”的綜合與實(shí)踐活動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)案例.

1 教學(xué)背景

經(jīng)過對(duì)筆者所任教2個(gè)班級(jí)的生的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：幾乎所有學(xué)生都認(rèn)為數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中具有重要的作用，然而再進(jìn)一步讓他們舉出數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活的具體事例，能舉出3個(gè)或3個(gè)以上的學(xué)生很少，且舉出的事例大多與商品價(jià)格計(jì)算等有關(guān)，視野比較狹窄；再讓他們?cè)囍鉀Q一些綜合性的開放題目，能夠解出的學(xué)生更是寥寥無幾.這與學(xué)生的生活閱歷、知識(shí)儲(chǔ)備、知識(shí)的靈活應(yīng)用等有很大的關(guān)系，在一定程度上說明了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的認(rèn)識(shí)不夠深刻，也反映出以往我們的教學(xué)過于注重形式化的計(jì)算、推理，而忽略了對(duì)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)、問題解決能力的培養(yǎng).基于這樣的調(diào)查結(jié)果，教師應(yīng)試圖從教學(xué)內(nèi)容的選擇、組織等方面改進(jìn)教學(xué)，特別是在教學(xué)內(nèi)容的選擇方面，要貼近學(xué)生的生活實(shí)際，有利于學(xué)生的體驗(yàn)與理解、思考與探索.基于這樣的認(rèn)識(shí)，恰逢筆者所在的學(xué)校剛剛舉行了游園活動(dòng)，而筆者所任教的班級(jí)承辦了“定點(diǎn)射球”(站在0.5米寬的門框外指定的1.5米、3米、4.5米處，朝框內(nèi)踢足球，射入分別得1,2,3分，射不進(jìn)得0分，且只有在1.5米處射進(jìn)才能有機(jī)會(huì)在3米處射，同樣只有前2次射進(jìn)了，才能在4.5米處射)，筆者將這個(gè)游戲進(jìn)行設(shè)計(jì)，以開發(fā)出綜合與實(shí)踐的教學(xué)設(shè)計(jì)案例.

2 教學(xué)過程

2.1 覺察

所謂的覺察就是能覺察或知道數(shù)學(xué)與生活、自然科學(xué)或社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域以及人類文化發(fā)展之間的聯(lián)系，相當(dāng)于解決問題過程中的發(fā)現(xiàn)問題，當(dāng)然這些被發(fā)現(xiàn)的問題是與數(shù)學(xué)相關(guān)聯(lián)的.

為了測(cè)量的方便，筆者將授課地點(diǎn)安排在操場(chǎng).

活動(dòng)環(huán)節(jié)1游戲——定點(diǎn)射球.將學(xué)生都集中在一起，讓提供這個(gè)游戲的學(xué)生A在操場(chǎng)上給大家布置游戲場(chǎng)所并描述游戲規(guī)則，要求其他學(xué)生認(rèn)真觀看，并認(rèn)真聆聽游戲規(guī)則.隨后教師隨機(jī)派2位學(xué)生協(xié)助學(xué)生A進(jìn)行計(jì)分、統(tǒng)分，將其余學(xué)生分成6個(gè)小組，每個(gè)小組自行安排派2位代表參加比賽.當(dāng)然比賽的結(jié)果是幾位參賽代表從比賽中得到了不同的分?jǐn)?shù).

活動(dòng)環(huán)節(jié)2討論——幾位參賽的代表在比賽中得到了不同的分?jǐn)?shù)，那是為什么呢？有的學(xué)生說是腳法等技術(shù)問題，還有的說是運(yùn)氣，更多的說是因?yàn)樵?米、4.5米處距離門框太遠(yuǎn)較難將球踢進(jìn).

設(shè)計(jì)意圖通過學(xué)生親身經(jīng)歷的游戲作為引入，一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)他們的探究欲，另一方面使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系.

2.2 轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化就是把情境中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并利用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)等將問題表征出來.

活動(dòng)環(huán)節(jié)3探究——距離門框的距離越遠(yuǎn)的確就越難將球踢進(jìn)，那能否說與門框的距離遠(yuǎn)近是能否將球踢進(jìn)的決定性因素呢？學(xué)生們繼續(xù)進(jìn)行激烈地探討，有的學(xué)生說是，有的學(xué)生說不是，也提出了腳法等技術(shù)性原因是決定性因素.

這時(shí)教師順著學(xué)生的思路作出說明：假如拋開所有人為因素，那么什么才是能否將球踢進(jìn)的決定性因素呢？

學(xué)生們陷入了沉思，認(rèn)為距離決定了射入球門的難度.教師繼續(xù)引導(dǎo)：那么請(qǐng)想一下，如果把門框的寬度變大或變小，大家覺得射入的難度會(huì)不會(huì)變化？學(xué)生進(jìn)一步陷入沉思：有變化，門框變寬時(shí)，射入的可能性增大，變窄時(shí)射入的可能性減小.這時(shí)距離不是決定性因素了，那是什么呢？學(xué)生們緊接著喊出是門框的寬度，教師不急于作出回答，一些學(xué)生又想到門框的距離也是一個(gè)影響因素，緊接著大部分學(xué)生認(rèn)為門框?qū)挾群蜕淝蚓嚯x都是直接影響因素.

活動(dòng)環(huán)節(jié)4操作——當(dāng)學(xué)生已經(jīng)想到門框?qū)挾群蜕淝蚓嚯x可能是影響球能否射進(jìn)的決定性因素時(shí)，我們可以將2個(gè)長度都測(cè)量出來，得到幾組數(shù)據(jù)分別為：1米、2米；1.5米、3米；4米、2米，那么又如何知道哪個(gè)射入難度大，哪個(gè)射入難度小呢？

學(xué)生們又陷入了沉思.教師建議大家不妨在紙上畫一畫，在射球位置不變而門框距離變化的情況下，發(fā)生了什么變化？學(xué)生很快得出答案，是射球位置與門框2個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成角的大小變化導(dǎo)致了射球成功率的高低.

設(shè)計(jì)意圖在師生交流的過程中，通過實(shí)物演示、圖形模擬等途徑，使學(xué)生自己通過探究獲得了射球位置與門框2個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成角的大小是射球成功率高低的決定性因素.

2.3 解題

解題就是綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法，得出問題的答案，或驗(yàn)證猜想的正確與否.

活動(dòng)環(huán)節(jié)5繼續(xù)操作——既然學(xué)生們都認(rèn)為射球位置與門框2個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成角的大小變化是導(dǎo)致射球成功率高低的決定性因素，下面驗(yàn)證推斷是否正確.以小組為單位解決以下2個(gè)問題，其中前3個(gè)小組求出在門框?qū)挾葹?米，射球點(diǎn)距離門框的距離分別為1米、2米、3米時(shí)，射球位置與門框2個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成角的大??；后3個(gè)小組測(cè)量射球點(diǎn)距離門框距離為2米，門框?qū)挾确謩e為1米、2米、3米時(shí)，射球位置與門框2個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成角的大小.

各個(gè)小組很快就行動(dòng)起來，他們首先按照要求將游戲場(chǎng)景呈現(xiàn)出來，然后利用米尺、細(xì)繩、量角器等工具進(jìn)行測(cè)量，并將測(cè)得的數(shù)據(jù)記錄下來.比較數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：在門框?qū)挾炔蛔兊那闆r下，射球點(diǎn)距離門框的距離越遠(yuǎn)，所構(gòu)成的角越??；在射球點(diǎn)距門框的距離不變的情況下，門框越寬，所構(gòu)成的角越大.從而得出射球位置與門框2個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的角越大時(shí)，越容易將球射進(jìn)，反之，則越難.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生以小組為單位，通過實(shí)際動(dòng)手操作，測(cè)量出各個(gè)角的大小，并通過比較，驗(yàn)證了射球點(diǎn)與門框2個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成角的大小是射球成功率高低的決定性因素.

2.4 溝通

溝通是指與自己或他人溝通解答的過程及其合理性.

活動(dòng)環(huán)節(jié)6回歸——(回到教室)在某些情況下，我們可能會(huì)缺少一些工具.假如說現(xiàn)在沒有大的量角器，但有小的量角器，甚至沒有量角器，上面的問題還能解決嗎？

在只有小的量角器的情形下，引導(dǎo)學(xué)生利用三角形全等和相似的相關(guān)知識(shí)，來驗(yàn)證以上結(jié)論.在沒有量角器的情形下，引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的角的關(guān)系來驗(yàn)證以上結(jié)論.

圖1

在只有小的量角器的情形下，首先利用地圖比例尺讓學(xué)生了解地圖中任意3個(gè)點(diǎn)組成的三角形各邊如果按照比例尺等比例擴(kuò)大就能代表三地實(shí)際的距離.類似地，真實(shí)的三角形按照一定的比例縮小可以畫到紙上，在這個(gè)變換下對(duì)應(yīng)角不會(huì)發(fā)生變化；然后利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，將縮放后的三角形畫到紙上；最后量出所要測(cè)量的角(如圖1所示).在沒有量角器的情況下，根據(jù)上面的步驟將三角形畫出來，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的2個(gè)內(nèi)角之和等性質(zhì)，比較各個(gè)角的大小.

設(shè)計(jì)意圖通過逐步弱化條件，增加了猜想驗(yàn)證的途徑，使學(xué)生的思維不僅僅停留在操作實(shí)踐的層面，更向著抽象的方向發(fā)展.

2.5 評(píng)析

評(píng)析就是通過對(duì)覺察、轉(zhuǎn)化、解題、溝通等一系列環(huán)節(jié)的分析、評(píng)價(jià)與反思，找出解決問題過程中的優(yōu)缺點(diǎn)，以優(yōu)化解決問題的方法，并能促進(jìn)學(xué)生情感方面的發(fā)展.

活動(dòng)環(huán)節(jié)7整理——本節(jié)課共運(yùn)用了幾種方法解決問題？這幾種方法有什么區(qū)別？大致分為(由學(xué)生一一展示或補(bǔ)充)：第1種方法應(yīng)用在可以用大的量角器量角的情況下，可以直接通過測(cè)量進(jìn)行；第2種方法是在只有小的量角器的情況下，利用三角形相似與全等，通過測(cè)量得出；第3種方法是在沒有量角器的情況下，利用三角形的內(nèi)外角關(guān)系等比較出來的.讓學(xué)生各抒己見后，從限制條件出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況作出選擇.這些方法在不同的條件下使用，所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)也不一樣.

活動(dòng)環(huán)節(jié)8作業(yè)——PPT展示(游園活動(dòng)中筆者所教的另一個(gè)班開展的活動(dòng))：跳球進(jìn)筐，即在3米處放一個(gè)長方體紙盒，然后往里面投擲乒乓球，且乒乓球必須通過反彈，球進(jìn)得分，球不進(jìn)不得分.問將乒乓球投擲到哪個(gè)范圍時(shí)可以得分，這個(gè)范圍的面積多大？

設(shè)計(jì)意圖通過提問，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)整節(jié)課進(jìn)行反思.同時(shí)，通過作業(yè)布置，一方面考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的變化，另一方面進(jìn)一步鞏固與提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

3 對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的反思

此教學(xué)設(shè)計(jì)是在“覺察—轉(zhuǎn)化—解題—溝通—評(píng)析”的流程指導(dǎo)下開發(fā)出來的，表現(xiàn)出了邏輯清晰、可操作性強(qiáng)的特點(diǎn).但是，這5個(gè)環(huán)節(jié)并不是簡單的線性關(guān)系，比如評(píng)析指標(biāo)，具體要求如下：能用解題的結(jié)果闡釋原來的問題情境；能由解題的結(jié)果重新審視情境，提出新的觀點(diǎn)或問題，能經(jīng)常闡釋及審視情境，重新評(píng)估原來的轉(zhuǎn)化是否得宜，并作必要的調(diào)整；能評(píng)析激發(fā)的優(yōu)缺點(diǎn).從這些要求中可以看出，評(píng)析指標(biāo)包含了對(duì)覺察、轉(zhuǎn)化、解題和溝通的要求.而進(jìn)一步分析其余指標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)：后一指標(biāo)包含了對(duì)前面的指標(biāo)要求，這就要求在運(yùn)用這一流程指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)的每一個(gè)環(huán)節(jié)時(shí)，要考慮到利用其余環(huán)節(jié)的要求進(jìn)行分析.這樣作既增加了解決問題的可能性，又降低了解決問題的難度.

在運(yùn)用這一流程開發(fā)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，有2個(gè)問題需要特別注意：一是綜合性與實(shí)踐性如何體現(xiàn)？二是怎樣把握課堂上的熱鬧，而又避免“去數(shù)學(xué)化”的趨勢(shì)？對(duì)于第1個(gè)問題中的“綜合性”，筆者主要通過圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)綜合以及數(shù)學(xué)與游戲的外綜合來予以體現(xiàn)，涉及到了角度的測(cè)量、角度的大小比較、三角形全等與相似、三角形的畫法等知識(shí)點(diǎn).至于“實(shí)踐性”，主要通過學(xué)生的角度測(cè)量、三角形的繪制等來實(shí)現(xiàn).對(duì)于第2個(gè)問題，在游戲的場(chǎng)景中，在學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐下，活躍的課堂氣氛自然不在話下，但是如何避免“去數(shù)學(xué)化”的趨勢(shì)，別把數(shù)學(xué)課變成簡單的操作課，筆者主要通過淡化條件、增加解決問題的難度予以處理.如果本節(jié)課在用大的量角器量角、比較角的大小的環(huán)節(jié)處結(jié)束，那么這節(jié)課充其量是一堂測(cè)量課，而不是一堂綜合與實(shí)踐活動(dòng)課.考慮到授課的對(duì)象是初二學(xué)生，必須在原有的問題情境下，增加問題的難度，筆者發(fā)出了“如果沒有大的量角器，只有小的量角器，甚至沒有量角器，我們還能解決嗎”的追問，將問題的難度增加，學(xué)生也只有在運(yùn)用更多的數(shù)學(xué)知識(shí)的前提下，才能將問題解決.

此外，還應(yīng)該注意一個(gè)問題，學(xué)生在知識(shí)與技能方面的掌握與提高固然重要，但仍要注意學(xué)生在過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀方面的發(fā)展，特別是在情感態(tài)度價(jià)值觀方面的發(fā)展，其重要性在一定程度上甚至超過了知識(shí)與技能的掌握與提高.

以此案例為例，學(xué)生在運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題的過程中，能夠促進(jìn)對(duì)這些知識(shí)與技能的鞏固與提高，但與復(fù)習(xí)課、習(xí)題課相比，效果并不理想.然而，在復(fù)習(xí)課與習(xí)題課上，學(xué)生很難認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，也很難靈活地綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)來解決實(shí)際生活中出現(xiàn)的問題.因此，本節(jié)課布置了2個(gè)課后作業(yè)：一方面讓學(xué)生通過反思，促進(jìn)情感等方面的發(fā)展；另一方面是給學(xué)生進(jìn)一步練習(xí)的機(jī)會(huì).

當(dāng)然這個(gè)案例，也存在一些缺陷，特別是利用地圖比例尺等提前滲透三角形相似，使初二學(xué)生知道“2個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例”這一性質(zhì)，這需要進(jìn)一步的思考與改進(jìn).

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 中國人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012:3-7.

[2] 許衛(wèi)兵.綜合與實(shí)踐：課程改革的一次“撐桿跳”[J].福建教育，2013(4):48-49.

[3] 張奠宙,唐彩斌.例析“綜合與實(shí)踐”課程內(nèi)容[J].福建教育，2013(6):42-44.