基于穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘的點云數(shù)據(jù)平面擬合*

歐江霞 李明峰 王永明 徐 燕

1)南京工業(yè)大學(xué)地球空間信息研究中心，南京 210009

2)武漢大學(xué)測繪學(xué)院，武漢 430079

基于穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘的點云數(shù)據(jù)平面擬合*

歐江霞1)李明峰1)王永明2)徐 燕1)

1)南京工業(yè)大學(xué)地球空間信息研究中心，南京 210009

2)武漢大學(xué)測繪學(xué)院，武漢 430079

針對經(jīng)驗權(quán)值偏差及掃描數(shù)據(jù)異常點對傳統(tǒng)加權(quán)整體最小二乘點云數(shù)據(jù)平面擬合精度的影響，提出既可自適應(yīng)修正觀測向量權(quán)值及系數(shù)矩陣權(quán)值，又能剔除異常數(shù)據(jù)的穩(wěn)健加權(quán)整體最小二乘算法。將新算法應(yīng)用于擬合不同掃描距離獲取的點云數(shù)據(jù)，算例表明，與常規(guī)方法相比，該算法的單位權(quán)中誤差較小，平面擬合精度較優(yōu)。

點云數(shù)據(jù);平面擬合;最小二乘;穩(wěn)健估計;權(quán)值

在點云數(shù)據(jù)平面擬合過程中，若僅觀測向量含有隨機(jī)誤差，則可通過建立高斯-馬爾科夫模型，采用最小二乘(least squares，LS)法求取平面參數(shù)的最或然值。由于受觀測條件、儀器精度等各種因素的影響，參與平面參數(shù)解算的所有觀測值均含有一定的隨機(jī)誤差，此時可采用顧及觀測向量誤差與系數(shù)矩陣誤差的總體最小二乘(total least squares，TLS)方法［1－4］。若獲取的觀測向量精度不等，則可根據(jù)每個觀測向量的精度確定其相對權(quán)值，并引入加權(quán)總體最小二乘(weighted total least squares，WTLS)方法［5－7］進(jìn)行參數(shù)解算，提高參數(shù)的精確度。傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘模型中的權(quán)值根據(jù)經(jīng)驗設(shè)定，缺乏嚴(yán)密性。對此，本文提出基于穩(wěn)健估計的加權(quán)總體最小二乘(robust weighted total least squares，RWTLS)點云數(shù)據(jù)平面擬合算法，即在模型參數(shù)的迭代解算過程中自適應(yīng)地修正觀測向量權(quán)值與系數(shù)矩陣權(quán)值，使各觀測向量的權(quán)值趨于合理，提高權(quán)值的可靠性，同時以3倍距離標(biāo)準(zhǔn)差為閾值，剔除異常數(shù)據(jù)，提高數(shù)據(jù)的可信度。將新算法應(yīng)用于三維激光掃描點云數(shù)據(jù)平面擬合，驗證了其適用性。

1 穩(wěn)健加權(quán)最小二乘平面擬合算法

1.1 加權(quán)最小二乘基本原理

點云數(shù)據(jù)平面擬合函數(shù)模型為:

式中，a、b、c為待求平面擬合參數(shù)。顧及觀測向量誤差與系數(shù)矩陣誤差的EIV(errors-in-variable)模型為:

式中，Z為含有隨機(jī)誤差ez的n×1維觀測向量，A是含有隨機(jī)誤差EA的n×m維系數(shù)矩陣，ξ為待估參數(shù):

隨機(jī)誤差ez與EA的統(tǒng)計性質(zhì)如下:

式中，“?”為Kronecker積，vec()為矩陣?yán)弊儞Q，σ20為未知方差分量，QZ、QA為ez與eA的對稱、非奇異協(xié)因數(shù)陣，且有:

式中，PZ為觀測值權(quán)陣，PA為系數(shù)陣A的權(quán)陣，P0、PXY分別為系數(shù)陣A的行向量權(quán)陣及列向量矩陣。

加權(quán)總體最小二乘的參數(shù)估計準(zhǔn)則為:

1.2 定權(quán)準(zhǔn)則

由于系數(shù)矩陣A第三列為常數(shù)，不需要修正，則A的列向量權(quán)陣為:

入射角越小時，點云數(shù)據(jù)的點位精度越高;反之，精度越低。因此，可將入射角余弦值cosθi作為每個點云數(shù)據(jù)相應(yīng)的權(quán)值［8－10］。若點云數(shù)據(jù)在x、y、z三個方向等精度獲取，則觀測值權(quán)陣PZ及系數(shù)陣A的行向量權(quán)陣PXY定義如下:

1.3 穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘參數(shù)解算

參照非線性最小二乘的牛頓-高斯迭代算法，式(2)可改寫成如下形式:

式中，λ為n×1維拉格朗日乘數(shù)，通過對式(9)求導(dǎo)、求極值可計算出λ及ξ的值。結(jié)合文獻(xiàn)［5－6］中WTLS迭代算法與穩(wěn)健估計的選權(quán)迭代思想［11］，并顧及點云數(shù)據(jù)的特點，提出穩(wěn)健加權(quán)總體最小二乘算法。具體解算過程如下:

1)在利用總體最小二乘法求得平面參數(shù)估值的基礎(chǔ)上，計算各點的入射角余弦初始值cosθi(0)，并根據(jù)式(6)、(7)設(shè)定A的列向量權(quán)陣P0及A的行向量初始權(quán)陣PXY(0)、觀測值初始權(quán)陣PZ(0);

2)求取參數(shù) ξ =［a，b，c］T的迭代初始值:

式中，Q0為 P0的廣義逆［5，10］;

6)計算點至平面的距離di、距離標(biāo)準(zhǔn)差σ:

式中，n為總觀測數(shù)。若di＞3σ，則認(rèn)為該點為異常點，刪除;反之，保留;

8)計算單位權(quán)中誤差及平面擬合精度:

2 算例分析

利用徠卡C10三維激光掃描儀分別掃描距其20、30 m的標(biāo)準(zhǔn)反射板(反射率為90%)，獲得兩組點云數(shù)據(jù)(圖1)。

分別利用 LS、TLS、WTLS及 RWTLS法對兩個樣本點云數(shù)據(jù)進(jìn)行平面擬合。本文采用奇異值分解(SVD)求解 TLS 參數(shù)估值［1，3］;依據(jù)式(6)、(7)設(shè)定WTLS中A的列向量權(quán)陣P0及A的行向量權(quán)陣PXY、觀測值權(quán)陣PZ，并將其作為RWTLS中對應(yīng)權(quán)陣的初始值。各方法計算得到的平面參數(shù)及精度評定因子如表1、2所示。

圖1 實驗樣本的點云數(shù)據(jù)Fig.1 Point clouds in the experiments

表1中，各方法求得的擬合參數(shù)差異較小，其中，由于未顧及各觀測值的點位精度，TLS法的單位權(quán)中誤差及平面擬合精度最大，擬合效果最差;而WTLS以各點入射角為權(quán)值，建立加權(quán)解算模型，得到較合理的平面參數(shù)解;RWTLS在WTLS的基礎(chǔ)上，在解算過程中自適應(yīng)地修正觀測向量權(quán)值及系數(shù)矩陣權(quán)值，同時以3倍距離標(biāo)準(zhǔn)差為閾值，剔除掃描數(shù)據(jù)中的異常點，通過迭代計算，獲得最優(yōu)參數(shù)解，其精度相對LS法、TLS法及WTLS法分別提高了57%、62%、12%。

由表2可知，由于掃描距離較遠(yuǎn)，掃描數(shù)據(jù)受入射角及外界信號干擾等因素的影響也隨之增加，各方法求得的平面參數(shù)差異較大，總體擬合精度較低。其中，WTLS法的單位權(quán)中誤差及平面擬合精度最大，表明根據(jù)先驗知識設(shè)定的權(quán)值與實際權(quán)值存在較大偏差，且一旦賦予了錯誤的權(quán)值進(jìn)行參數(shù)解算，所求參數(shù)解的可信度較低，擬合精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于其他各種方法。而RWTLS法在解算過程中根據(jù)數(shù)據(jù)特點不斷修正權(quán)值，獲得了最精確的平面參數(shù)解及最好的擬合效果。

表1 20 m處點云數(shù)據(jù)擬合精度比較Tab.1 Comparison of fitting accuracy with the point clouds from 20 m

表2 30 m處點云數(shù)據(jù)擬合精度比較Tab.2 Comparison of fitting accuracy with the point clouds from 30 m

3 結(jié)語

顧及觀測向量誤差及系數(shù)矩陣誤差的WTLS點云數(shù)據(jù)平面擬合法，在基于合理權(quán)值的前提下，可獲得比LS法、TLS法更好的擬合效果;而當(dāng)權(quán)值存在偏差時，若不能得到修正，其擬合精度將大大降低。RWTLS法對所有誤差進(jìn)行了最小化約束，并根據(jù)數(shù)據(jù)特點，不斷修正觀測向量權(quán)值及系數(shù)矩陣權(quán)值，同時在擬合過程中設(shè)置閾值，剔除異常數(shù)據(jù)，最終獲得最為精確的平面參數(shù)解，體現(xiàn)了該方法在點云數(shù)據(jù)平面擬合中較好的適用性。

WTLS法及RWTLS法中權(quán)值的設(shè)置缺少統(tǒng)一的原則，往往通過經(jīng)驗確定，RWTLS法雖在迭代過程中修正權(quán)值，但也增加了運算次數(shù)。因此，如何獲取較精確合理的權(quán)陣初始值還需進(jìn)一步研究。

1 魯鐵定，陶本藻，周世健.基于整體最小二乘法的線性回歸建模和解法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報:信息科學(xué)版，2008，33(5):504 － 507.(Lu Tieding，Tao Benzao，Zhou Shijian.Modeling and algorithm of linear regression based on total least squares［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2008，33(5):504 －507)

2 魯鐵定，周世健.總體最小二乘的迭代解法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報:信息科學(xué)版，2010，35(11):1 351 －1 354.(Lu Tieding ，Zhou Shijian.An iterative algorithm for total least squares estimation［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2010，35(11):1 351 －1 354)

3 官云蘭，劉紹棠，周世健.基于整體最小二乘的穩(wěn)健點云數(shù)據(jù)平面擬合［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2011(5):80－ 83.(Guan Yunlan，Liu Shaotang，Zhou Shijian.Robust plane fitting of point clouds based on TLS［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2011(5):80 －83)

4 Burkhard S，Yaron A F.On the multivariate total leastsquares approach to empirical coordinate transformations［J］.Journal of Geodesy.2008，82(7):373 －383.

5 Burkhard S，Andreas W.On weighted total least-squars adjustment for linear regression［J］.Journal of Geodesy，2008，82(6):415－421.

6 Shen Y Z，Li B F，F(xiàn)elus Y A.An iterative solution of weighted total least-squares adjustment［J］.Journal of Geodesy，2010，85(4):229 －238.

7 楊仕平，范東明，龍玉春.加權(quán)總體最小二乘算法的改進(jìn)［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2013(1):48 －52.(Yang Shiping，F(xiàn)an Dongming，Long Yuchun.An improved weighted total least squares algorithm［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2013(1):48 － 52)

8 Bucksch A，Lindenbergh R C，Van R J.Error budget of terrestrial laser scanning:influence of the intensity remission on the scan quality［R］.Novosibirsk:III International Scientific Congress Geo-Siberia，2007.

9 Soudarissanane S，Lindenbergh R，Menenti M.Teunissen.Incidence angle influence on the quality of terrestrial laser scanning points［C］.ISPRS Workshop Laserscanning，Paris，2009.

10 袁慶，樓立志，陳瑋嫻.基于加權(quán)整體最小二乘的點云數(shù)據(jù)平面擬合法［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2011(6):1－ 3.(Yuan Qing，Lou Lizhi，Chen Weixian.Applying weighted total least-squares to the plane point cloud fitting of terrestrial laser scanning［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2011(6):1 －3)

11 王新洲，陶本藻，邱衛(wèi)寧.高等測量平差［M］.北京:測繪出版社，2006.(Wang Xinzhou，Tao Benzao，Qiu Weining.Advanced surveying adjustment［M］.Beijing:Survey and Mapping Press，2006)

PLANE FITTING OF POINT CLOUDS BASED ON ROBUST WEIGHTED TOTAL LEAST SQUARES

Ou Jiangxia1)，Li Mingfeng1)，Wang Yongming2)and Xu Yan1)
1)Institute of Geo-Spatial Information，Nanjing University of Technology，Nanjing 210009
2)School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan430079

A method of conventional weighted total least squares was proposed based on the robust weighted total least squares for eliminating the influences of point clouds anomalous points in laser scanning data on fitting precision.The method can be used to correct adaptively the weight of observation vector and and coefficient matrix，and remove anomalous data.The result of fitting analysis with the point clouds from different distances shows that the fitting accuracy with the method is better than the conventional methods.

point clouds;plane fitting;least square;robust estimation;weight

P207

A

1671-5942(2014)03-0160-04

2013-11-04

國家自然科學(xué)基金項目(41274009);江蘇省研究生科研創(chuàng)新計劃項目(CXLX13_422);南京市科技計劃項目(201101069);江蘇省測繪科研項目(JSCHKY201108)。

歐江霞，男，1989年生，碩士生，主要研究方向:大地測量數(shù)據(jù)處理方法研究。E－mail:oujx0512@163.com。