黃開志 陳小亮 鄭安節(jié)
(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院,重慶 401331)
一些文獻[1-4]采用了統(tǒng)一的計算模型,得到了傳統(tǒng)意義上常見的各種細長壓桿臨界壓力計算公式。工程實際中,為了增加壓桿的穩(wěn)定性,常在壓桿中部適當(dāng)位置附加某些約束。對這類壓桿,材料力學(xué)教材僅針對在壓桿中點加固的某些特殊情況,予以了極為簡單有限的介紹,沒有建立各種常見約束情況下,在壓桿中部任意位置加固時,臨界壓力的統(tǒng)一求解方法,給工程應(yīng)用帶來諸多不便。文獻[5-6]雖有研究,但研究的類型也極單一,難以為工程實際提供更高的使用價值。
本文擬對中部任意位置增加一個鉸支加固的9種細長壓桿,建立臨界壓力特征方程,求解長度因數(shù)的數(shù)值解,并確定中部支承的合理位置及最小長度因數(shù)。
設(shè)長為l、中部任意位置x處鉸支加固的細長壓桿的抗彎剛度為EI,其處于微彎曲平衡狀態(tài),其受力和變形情況如圖1所示。
圖1 整體微彎曲平衡狀態(tài)
1.1.1 變形方程
AB段即0≤x1≤x時,彎矩方程:
撓曲線近似微分方程:
1.1.2 變形邊界條件
令式(1)、(2)中的x1=0,則壓桿A端的變形滿足
壓桿在B點滿足w1(x)=0,即令式(1)中的x1=x,得:
壓桿在B點轉(zhuǎn)角連續(xù),即w′1(x)-w′2(x)=0,由式(2)、(4)得:
壓桿在B點滿足w2(x)=0,即令式(3)中的x2=x,得:
令式(3)、(4)中的x2=l,則壓桿C端的變形滿足
各種支承情況下的變形約束條件見表1。
1.2.1 靜力平衡方程
1.2.2 靜力約束條件
各種支承情況下的靜力約束條件見表1。
表1 各種支承情況下的變形約束條件和靜力約束條件
根據(jù)表 1所述的不同約束情況,a、b、c、d和表1中的4個“?”共8個初參數(shù),可由式(5)—(12)求解,在求解時應(yīng)注意表1中為零的條件。
1.3.1 固支 —鉸支 —固支
結(jié)合表1,由式(5)—(12)確定了一個關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、MeA/F、FC/F、MeC/F 的齊次線性方程組,其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零,即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:
1.3.2 固支 —鉸支 —鉸支
結(jié)合表1,由式(5)—(12)確定了一個關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、MeA/F、FC/F、w′2(l) 的齊次線性方程組,其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零,即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:
1.3.3 固支 —鉸支 —定向
定向支承僅對壓桿在支承處的轉(zhuǎn)角作剛性約束,即在該支承處壓桿的轉(zhuǎn)角必為零,而不限制壓桿的撓度和軸向位移。
結(jié)合表1,由式(5)—(12)確定了一個關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、MeA/F、MeC/F、w2(l) 的齊次線性方程組,其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零,即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:
1.3.4 固支 —鉸支 —自由
結(jié)合表1,由式(5)—(12)確定了一個關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、MeA/F、w2(l) 、w′2(l) 的齊次線性方程組,其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零,即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:
1.3.5 鉸支 —鉸支 —鉸支
結(jié)合表1,由式(5)—(12)確定了一個關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、FC/F、w′1(0)、w′2(l) 的齊次線性方程組,其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零,即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:
1.3.6 鉸支 —鉸支 —定向
結(jié)合表1,由式(5)—(12)確定了一個關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、MeC/F、w′1(0)、w2(l) 的齊次線性方程組,其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零,即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:
1.3.7 鉸支 —鉸支 —自由
結(jié)合表1,由式(5)—(12)確定了一個關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、FA/F、w′1(0)、w2(l) 、w′2(l) 的齊次線性方程組,其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零,即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:
1.3.8 定向 —鉸支 —定向
結(jié)合表1,由式(5)—(12)確定了一個關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、MeA/F 、MeC/F、w1(0) 、w2(l) 的齊次線性方程組,其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零,即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:
借助軟件化簡得:sin kl=0
1.3.9 定向 —鉸支 —自由
結(jié)合表1,由式(5)—(12)確定了一個關(guān)于初參數(shù) a、b、c、d、MeA/F 、w1(0) 、w2(l) 、w′2(l) 的齊次線性方程組,其有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零,即求解壓桿臨界壓力的特征方程為:
借助軟件化簡得:cos kl=0
對1.3.1 —1.3.7節(jié)中的支承情況處理如下:
(a)在上述的特征方程中令x=ml,用軟件如maple12等展開,得到僅含參數(shù)m和kl的隱式方程f(m,kl)=0。
(b)繪制f(m,kl)=0曲線,則0≤m≤1且kl為最小正數(shù)段曲線即為所求m-kl曲線,結(jié)果見圖2。
圖2 特征方程曲線
顯然,1.3.8 節(jié)、1.3.9 節(jié)中的長度因數(shù)與 m 取值無關(guān),分別為1和2。
表2 不同m值對應(yīng)的長度因數(shù)μ
壓桿的臨界狀態(tài)本質(zhì)是微彎曲平衡狀態(tài),在推導(dǎo)上述特征方程時,把約束反力和相應(yīng)的變形同時作為初參數(shù),對整個壓桿建立了統(tǒng)一的變形方程和靜力平衡方程,符合壓桿處于臨界狀態(tài)的真實情況。
本文全面系統(tǒng)地給出了在中部任意位置增加一個鉸支加固時,共9種常見細長壓桿的臨界壓力的特征方程。借助軟件,求得了長度因數(shù)的數(shù)值解,確定了中部支承的合理位置及最小長度因數(shù)。
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