利用對稱求最短距離

楊思偉

曾經(jīng)有一名學(xué)生問過我這樣一個問題：已知有一個圓C： （x-3）2+（y-4）2=5，直線L：5x+3y-10=0 ，點P與圓C的圓心O點關(guān)于直線L對稱，N點是X軸上一動點，求 |PN|+|ON|的最小值。向我提出問題的學(xué)生運算能力強，但基礎(chǔ)不牢、分析問題的能力較一般。

我看完題后，問他：“你怎么看？有思路嗎？”

“老師，我一點思路也沒有?！?/p>

我又問：“你能把圖形畫出來嗎？”

他說：“能?！?/p>

說完，他就在草稿紙上將圖1畫了出來。

我問他：“現(xiàn)在有思路了嗎？”

他搖搖頭，我繼續(xù)問：“你要求 |PN|+|ON|的最小值，就是求什么？”

“點N到點P的距離加上點N到點O的距離最短。”

“首先得知道什么？”

“點P、O、N的坐標(biāo)。”

“你現(xiàn)在能求什么？”

“O點和P點的坐標(biāo)?！?/p>

“怎么求？”

“根據(jù)圓的方程知道，圓心坐標(biāo)為（3，4），因為點P與點O關(guān)于直線L對稱，可設(shè)點P坐標(biāo)為（x，y），則OP中點的坐標(biāo)為（，） ，因為OP中點在直線L上，將坐標(biāo)帶入直線L的方程，整理得到方程①： 5x+3y+7=0，直線L的斜率為 -，因為直線OP與直線L垂直，所以直線OP的斜率與直線L的斜率乘積為 -1，即直線OP的斜率為 ，根據(jù)斜率公式得到方程②：= 。將①②聯(lián)立方程組，解得 x=-2，y=1，即P點坐標(biāo)為 （-2，1）。到這我就沒有思路了，我不知道N點坐標(biāo)為多少時，到點O和點P的距離最短？”

我聽完后，沒有立刻為他解答，而是告訴他：“這個題目咱們先放一放，先來看一道初中的題目。在河兩岸，有A、B兩個生活區(qū)，要在河邊建立一個自來水公司，向兩個生活區(qū)輸送自來水，建造在哪個位置可以使輸送管道最短？最短距離是多少？”

學(xué)生說：“連接AB，最短距離是|AB| 。”

我問：“如果是在河流的一側(cè)呢？（如圖2）”

他思考了一會兒，說道：“先做A點關(guān)于河流的對稱點 A′，然后連接 A′B，應(yīng)該建造在與河流的交界處C點， |A′B|是最短距離，如圖3?！?/p>

“對，現(xiàn)在回到剛才的題目，有思路了嗎？”

“有了，把P和O看作是兩個生活區(qū)，再把X軸看作是河流，先找到點P關(guān)于X軸的對稱點P′（-2，-1），連接 P′O，則|P′O|就是|PN|+|ON| 的最小值。利用兩點間距離公式，可以得到 |P′O|= 5，所以|PN|+|ON| 的最小值為 5。這里就不需要求N點坐標(biāo)了?！?/p>

“完全正確。以后再遇到這樣的問題自己能解決了嗎？”

“能?！?/p>

“怎么解決？”

“在兩側(cè)時，利用兩點之間線段最短進行求解；在一側(cè)時，先利用對稱性，找出其中一個的對稱點，然后再利用兩點之間線段最短來求解?！?/p>

“總結(jié)得非常好?！?/p>

高中數(shù)學(xué)課程是義務(wù)教育后普通高級中學(xué)的一門主要課程，它包含了數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)的基礎(chǔ)課程。很多學(xué)生感覺數(shù)學(xué)難，是因為對基礎(chǔ)知識掌握得不扎實，對知識的考察切入點不熟悉，對知識的前后聯(lián)系不緊密。所以，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，我建議學(xué)生熟記基本概念、公理和定理，多做習(xí)題，理解和鞏固基礎(chǔ)知識；及時總結(jié)，熟悉知識考察的切入點，使知識融會貫通。萬丈高樓平地起，只有基礎(chǔ)知識掌握得牢固，熟悉知識考察的切入點，才能將數(shù)學(xué)這座美麗的大廈建立在自己的腦海中。

（責(zé)任編輯 馮 璐）