淺談利用線性目標函數與非線性目標函數的幾何意義求最值

胡立新

在高三數學復習線性規(guī)劃的時候，我對與此節(jié)內容有關的高考試題進行了一些小結與整理，發(fā)現了一個規(guī)律：你只要找到目標函數的幾何意義，計算往往是簡單的。我有以下小結，供同學們參考。

一、線性目標函數的幾何意義可以是在y（或x）軸上的截距的實數倍，這是課本上介紹的主要的方法。

例題1. 已知實數x、y滿足約束條件x+y≥0x-y+5≥0x≤3，則z=2x+4y的最小值為（ ）

A.5 B.-6 C.10 D.-10

解析：由實數x、y滿足的約束條件，作可行域如圖所示：

當一組平行直線L經過圖中可行域三角形ABC區(qū)域的點C時，在y軸上的截距最小，又C（3，-3），故z=2x+4y的最小值為zmin=2×3+4×（-3）=-6，答案選B。

類似習題：

習題1（08福建）設變量x，y滿足約束條件x+y≥3x-y≥-12x-y≤3，則z=2x+3y的最大值為（ ）

A.6 B.7 C.8 D.23

習題2.（09陜西） 若實數x，y滿足x-y+1≥0x+y≥0x≥0，則z=3x+2y的最小值是（ ）

A.0 B.2 C.3 D.9

二、分式目標函數的斜率意義（非線性）：目標函數形如z=y-bx-a，z的幾何意義是：平面區(qū)域內的動點（x，y）與定點（a，b）連線的斜率。

例題2.（08福建） 若實數x，y滿足x-y+1≤0x>0，則yx的取值范圍是（ ）

A.（0，1） B.（0，1] C.（1，+∞） D.[1， +∞）

畫個草圖，很快就得可行域內的點與原點斜率范圍為C

三、 目標函數形如：z=（x-a）2+（y-b）2，z的幾何意義是：平面區(qū)域內的動點（x，y）與定點（a，b）的距離的平方。（非線性）

例題3.已知實數x、y滿足x+y-1≤0x-y+1≥0y≥-1 ，則w=x2+y2-4x-4y+8的最大值為 。

解析：目標函數w=x2+y2-4x-4y+8=（x-2）2+（y-2）2，其含義是點（2，2）與可行域內的點的距離的平方。由實數x、y所滿足的不等式組作可行域如圖所示：

可行域為圖中△ABC內部（包括邊界），易求B（-2，-1），結合圖形知，點（2，2）到點B的距離為其到可行域內點的最大值，wmax=（-2-2）2+（-1-2）2=25。

四、點到直線的距離型。（非線性）

例4.已知實數x、y滿足2x+y≥1，求u=x2+y2+4x-2y的最小值。

解析：目標函數u=x2+y2+4x-2y=（x+2）2+（y-1）2-5，其含義是點（-2，1）與可行域內的點的最小距離的平方減5。由實數x、y所滿足的不等式組作可行域如圖（直線右上方）：

點（-2，1）到可行域內的點的最小距離為其到直線2x+y=1的距離，由點到直線的距離公式可求得d=|2×（-2）+1-1|5=455，故d2-5=165-5=-95

五、法向量法：因線性目標函數的法向量為（A，B），它垂直于目標函數直線的向量。當目標函數的等值線沿目標函數法向量方向平移時，目標函數值逐步增加，與可行區(qū)域最后（最先）相交的點上取最大值（最小值）；當等值線沿目標函數法向量反方向平行移動時，目標函數值逐步減少，與可行區(qū)域最后（最先）相交的點上取最小值（最大值）。

例5.點P（x， y）在以A（2， 1）、B（–1， –6）、C（–3， 2）為頂點的三角形區(qū)域（包括邊界）內，求z= 4x–3y的最大值與最小值。

解：目標函數z= 4x–3y的法向量為（4，-3），目標函數的直線沿法向量的方向平移時，最先與可行域在C點上相交，最后在B點上相交（因為目標函數的等值線從左上角平移過來）。所以目標函數在點C（-3，2）上取最小值zmin=4×（-3）-4×2=-18，在點B（-1，-6）上取最大值zmax=4×（-1）-4×（-6）=14。

法向量法雖然直觀、形象，它容易使人具體地認識線性規(guī)劃模型的求解過程，但是，這里難點至少有二：一是必要考慮y的系數b的正負，否則容易得出反相的結論；二是要注意直線束的傾斜程度。為此，下面介紹通過向量數量積解決線性規(guī)劃問題的方法，這種方法盡量避開以上兩個難點，使解法更直觀，更簡單，更不易出錯。

六、向量數量積法（線性目標函數）。把z=Ax+By看成平面內的向量OM=（A，B）與ON=（x，y）的數量積，即z=OM·ON=|OM||ON|cos=Ax+By。因為|OM|為定值，所以當且僅當|ON|cos取最大值（最小值）時，z取最大值（最小值），即當且僅當ON在OM上的射影取最大值（最小值）時，z取最大值（最小值）

注意：在OM正方向上的射影是正值，在OM負方向上的射影是負值）。這樣目標函數z=Ax+By在約束條件下的最大值（最小值）問題，就轉化為研究點O與可行域內的任意一點N所組成的向量ON在OM上的射影的最大值（最小值）問題。即線性規(guī)劃最大值（最小值）問題就轉化為一向量在另一向量上的射影的最大值（最小值）問題。

例6.若實數x，y滿足x+y-2≥0

x≤4y≤5，求z=-x+y的最小值。

解：設z=-x+y是向量OM=（-1，1）與ON=（x，y）的數量積。因為|OM|=2，所以當且僅當|ON|cos取最小值時z取最小值，即當且僅當ON在OM上的射影OP取最小值時，取得最小值。如圖，當點N與點B（4，-2）重合時，ON在OM負方向上的射影OP取最小值，所以最小值為zmin=-4-2=-6。

七、（線性目標函數）頂點法。目標函數的最優(yōu)解肯定在可行區(qū)域的頂點上（這個命題可以證明）。因此，首先求約束表示的可行區(qū)域頂點的坐標，代入目標函數，然后從計算出來的幾個函數值里面選最大（或最小）的即可。把約束條件中的每兩個不等式組成一個方程組，方程組的解是兩條邊界線的交點。有些交點可能不屬于可行區(qū)域，所以每個交點必須代入約束條件檢驗不等式是否成立。若不成立排除這個交點（它不屬于可行區(qū)域）；若成立它是可行區(qū)域的頂點。

例7.求滿足線性約束條件2x+y=≤3x+2y≤3x≥0y≥0的目標函數z=x+y的最大值和最小值。

解：先找出約束條件表示的可行區(qū)域的頂點。

2x+y=3x+2y=3，2x+y=3x=0

，2x+y=3y=0，x+2y=3x=0，x+2y=3y=0，x=0y=0的解分別為A（1，1），B（0，3），C（32，0），D（0，32），E（3，0），F（0，0）。其中B和E不滿足約束條件，所以排除。可行區(qū)域是以點A，C，D，F為頂點的四邊形。

ZA=1+1=2，ZC=32+0=32，ZD=0+32=32，ZF=0+0=0

所以，目標函數z=x+y在A（1，1）上取最大值zmax=1+1=2，在F（0，0）上取最小值zmin=0+0=0。