淺談導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

黃紹東

(河南工業(yè)和信息化職業(yè)學(xué)院，河南 焦作 454000)

導(dǎo)數(shù)知識是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它在自然科學(xué)、工程技術(shù)及日常生活等方面都有著廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)是從生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的需要中產(chǎn)生的，同時(shí)，又促進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展，它不僅在天文、物理、工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及日常生活中也經(jīng)常會(huì)遇到如何才能使“選址最佳”“用料最省”“利潤最大”“效率最高”等優(yōu)化問題．這類問題在數(shù)學(xué)上就是最大值，最小值問題，一般都可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識得到解決．今天我們就導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用簡單探討如下。

1．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，最值

1．1 函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論的問題，是一個(gè)局部概念，函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能不存在。

1．2 函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)處可導(dǎo)，則f＇(x0)=0是x0是極值點(diǎn)的必要不充分條件，但導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。

1．3 最大值，最小值是函數(shù)對整個(gè)定義域而言的，是在整體范圍內(nèi)討論的問題，是一個(gè)整體性的概念。函數(shù)的最大值，最小值最多各有一個(gè)，函數(shù)的最值在極值點(diǎn)或者區(qū)間端點(diǎn)處取得。

2利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的方法與步驟

2．1 首先，通過審題，認(rèn)識問題的背景，抽象出問題的實(shí)質(zhì)。其次，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再求解。這里涉及到建立目標(biāo)函數(shù)，一定要注意確定函數(shù)的定義域，在實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f＇(x0)=0的情形，如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這就是最大(小)值，這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間。

2．2 求最大(小)值應(yīng)用題的一般方法

首先，分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，把實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步。其次，確定函數(shù)的定義域，并求出極值點(diǎn)。最后，比較各極值與定義域端點(diǎn)函數(shù)的大小，結(jié)合實(shí)際，確定最值或最值點(diǎn)。

3導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

根據(jù)實(shí)際意義建立好目標(biāo)函數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

3．1 導(dǎo)數(shù)在生產(chǎn)利潤問題中的應(yīng)用

例1現(xiàn)要生產(chǎn)某種洗衣機(jī)，若已知該洗衣機(jī)的售價(jià)為ρ元，年需求量為q臺則其成本函數(shù)為c(q)=3．9×103q+7×106，經(jīng)過市場研究發(fā)現(xiàn)，這種洗衣機(jī)年需求量q=3．2×105－40ρ，那么銷售量及售價(jià)為多少時(shí)利潤最大。

解:由題意知q=3．2×105－40ρ，則ρ=8×103－0．025q

設(shè)總的利潤函數(shù)為L，總的收入函數(shù)為R

所以若銷售量為q，則銷售函數(shù)為

對(1)式求導(dǎo)

L＇(q)=4．1×103－0．05q

令L＇(q)=0求得q=8．2×104是函數(shù)的唯一駐點(diǎn)，所以q=8．2×104是利潤函數(shù)L(q)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，當(dāng)q=8．2×104時(shí)，最大利潤為

L(q)=4．1×103×8．2×104－0．025×(8．2×104)2－7×106=2．201×108

售價(jià)為ρ=8×103－0．025×8．2×104=5950

則銷售量為8．2×104，售價(jià)為5950時(shí)利潤最大。

3．2 導(dǎo)數(shù)在資源的合理利用中的應(yīng)用

例2某賓館有60間客房，已知每間客房每天100元將全部租出，所租房間店主每天支付10元水電費(fèi)，若每間房每天多收10元，則有一間房間不能租出，試求每天租金定位多少，才能使店主所獲利潤最大?

解 設(shè)每間房每天租金為x元，則成本函數(shù)為

令L＇(x)=0解得x=355所以x=355是函數(shù)的駐點(diǎn)，也是函數(shù)的最大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最大利潤為

所以當(dāng)租金為355元時(shí)所獲利潤最大。

3．3 導(dǎo)數(shù)在器具制造中的應(yīng)用

例3在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角上切去相等的正方形，然后把他的四邊翻轉(zhuǎn)90°角，焊接成一個(gè)無蓋的方底箱子，問箱底的邊長是多少時(shí)箱子的容積最大?最大容積是多少?

分析 可設(shè)箱底邊長為xcm，然后將容積表示成關(guān)于x的函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)求最值。

解得x=40(x=0舍去)

當(dāng)時(shí)x∈(0，40)時(shí)，V＇(x)＞0;

當(dāng)時(shí)x∈(40，60)時(shí)，V＇(x)＜0。

因此，x=40是函數(shù)V(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)。而V(40)=16000cm3，所以當(dāng)箱底的邊長是40cm時(shí)箱子的容積最大，最大容積是16000cm3。

點(diǎn)評 在求面積、容積最大問題時(shí)，要充分利用幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算，計(jì)算時(shí)一定要注意自變量的取值范圍。

3．4 導(dǎo)數(shù)在變路移址中的應(yīng)用

例4 河寬akm，兩岸各有一座城市A與B，A與B的直線距離是bkm，今需在A與B之間鋪設(shè)一條電纜，已知地下電纜的修建費(fèi)是c萬元/km，水下電纜的修建的費(fèi)用是地下的電纜的修建費(fèi)的n(n＞1)倍，假設(shè)河兩岸呈平行直線狀，那么應(yīng)如何鋪設(shè)電纜方使費(fèi)用達(dá)到最省。

解 設(shè)按ADB的路線鋪設(shè)電纜，依題意，點(diǎn)D在BC段，設(shè)CD=xkm，總的施工費(fèi)用為y萬元，依題意

總之，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決顯示生活中的很多問題時(shí)使用非常方便，尤其是可以使用導(dǎo)數(shù)解決生活中的很多優(yōu)化組合的問題，這些問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解，很大程度上簡化了我們的過程，縮短了步驟，起著非常重要的作用。因此，在實(shí)際生活中有非常重要的應(yīng)用。

[1]五年制高等職業(yè)教育文化基礎(chǔ)課教學(xué)用書:數(shù)學(xué)．蘇州大學(xué)出版社

[2]周國球．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題應(yīng)注意幾個(gè)方面．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2006(1)

[3]徐妮．中學(xué)微積分的教與學(xué)研究．湖南師范大學(xué)，2008

[4]李秋鳳．導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的應(yīng)用．中國科技信息，2006(3)133－155

[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析(上冊)．第三版．北京:高等教育出版社，2001．91