淺談不定積分

惠麗萍

【文章摘要】

不定積分是高等數(shù)學(xué)---微積分中的重要內(nèi)容之一，本文從不定積分的定義入手，剖析定義，歸納和總結(jié)了不定積分的直接積分法、第一類換元積分法、第二類換元積分法、分部積分法。

【關(guān)鍵詞】

不定積分；高等數(shù)學(xué)；積分法

正確理解高等數(shù)學(xué)---微積分中的不定積分的概念，淺談不定積分的幾種求法以便于學(xué)生能靈活應(yīng)用這幾種方法解題，有利于學(xué)生提高學(xué)習(xí)不定積分的興趣， 將為學(xué)好高等數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1 不定積分的概念

1.1定義

設(shè)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)（即：），則的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記作，即.

注：⑴上式中的“”稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，稱為積分常數(shù)。

⑵積分號(hào)“”是一種運(yùn)算符號(hào)，它表示對(duì)已知函數(shù)求其全部原函數(shù)，所以在不定積分的結(jié)果中必須加上任意常數(shù)。

⑶求積分和求導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算。

1.2不定積分的性質(zhì)

⑴性質(zhì)1 。

⑵性質(zhì)2 。

注：性質(zhì)2 可推廣到有限個(gè)函數(shù)的和差。

1.3不定積分的幾何意義

在直角坐標(biāo)系中，的任意一個(gè)原函數(shù)的圖形是一條曲線，這條曲線上任意點(diǎn)處的切線的斜率恰為函數(shù)值，稱這條曲線為的一條積分曲線。的不定積分則是一個(gè)曲線族，稱為積分曲線族。

平行于軸的直線與族中每一條曲線的交點(diǎn)處的切線斜率都等于，因此積分曲線族可以由一條積分曲線通過上下平移得到。（圖1）

2 直接積分法

求不定積分時(shí)，常常要將被積函數(shù)通過恒等變形并進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為基本積分公式中的被積函數(shù)的代數(shù)和的形式，再運(yùn)用基本積分公式直接求出。

例1：求

分析：被積函數(shù)恒等變形，化為基本積分公式中的情形（化為冪函數(shù)），再利用性質(zhì)逐項(xiàng)積分。

例2：求⑴

分析：被積函數(shù)恒等變形（分子的各項(xiàng)除以分母），化為冪函數(shù)的代數(shù)和的形式，再利用性質(zhì)逐項(xiàng)積分。

例3：求

分析：當(dāng)被積函數(shù)是分式有理數(shù)時(shí)，常常將它拆成分母較簡(jiǎn)單、易于積分的分式之和。

例4：求

分析：用三角恒等式把被積函數(shù)化為基本積分公式中的情形。

3 第一類換元積分法（即湊微分法）

3.1定理

設(shè)具有原函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)，則。

簡(jiǎn)單證明：

這種先“湊”微分，再作變量代換的方法，稱為第一類換元積分法，也稱為湊微分法；它分為四步：湊微分，換元，積分，代回；關(guān)鍵是第一步湊微分。

3.2在教學(xué)中歸納總結(jié)一些類型為

⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

⑹

例5：

熟記常用的微分公式，能夠加快解題速度。

4 第二類換元積分法

4.1定理

函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且，又有原函數(shù)，則。

這種方法稱為第二類換元積分法。

注：使用第二類換元積分法的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇變換函數(shù)。對(duì)于，要求其導(dǎo)數(shù)連續(xù)，，且其反函數(shù)存在。

4.2第二類換元積分法可分為

⑴當(dāng)被積函數(shù)中含有時(shí)，可令，消除根號(hào)，從而求得積分。這種代換稱為根式代換。

例6：求

⑵被積函數(shù)含有被開方因式為二次根式的情況，一般地，當(dāng)被積函數(shù)含有①，可作代換； ②，可作代換； ③，可作代換；這種代換稱為三角代換。

⑶當(dāng)被積函數(shù)分母中自變量的冪較高于分子中的自變量的冪時(shí)，且積分還不能直接用公式積出時(shí)，令，這種方法稱倒代換法。

5 分部積分法

（1）設(shè)函數(shù)，具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)乘積微分公式有

，

兩邊積分得，該公式稱為分部積分公式。

在求不定積分前要充分理解不定積分的定義和性質(zhì)，不能把在極限計(jì)算和求導(dǎo)計(jì)算中學(xué)過的函數(shù)乘積的極限和求導(dǎo)計(jì)算公式遷移到不定積分計(jì)算中來，否則會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果，解題時(shí)具體問題具體對(duì)待，靈活選用積分法，所以平時(shí)要多思、多記、多做、多總結(jié)。這樣才能為學(xué)好高等數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，才能在浩瀚的數(shù)學(xué)知識(shí)海洋中自由的遨游。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.《高等數(shù)學(xué)》.同濟(jì)第六版.高等教育出版社.2007-4-1.

[2]駢俊生主編.《高等數(shù)學(xué)》.高等教育出版社.2012-09.

[3]李以渝主編.《高等數(shù)學(xué)》.北京理工大學(xué)出版社.2011-06.