高三數(shù)學復習用好教材的三步曲

教材是高考試題的主要來源，重視教材的基礎性和示范性，是高考命題的方向.縱觀目前高三數(shù)學復習的狀況，基本采用“三輪復習法”，第一輪基礎知識和基本技能復習，第二輪是專題復習，第三輪是綜合模擬練習.以上三輪復習基本上沒有用到教材，有的教師認為教材簡單沒有什么好講，學生也覺得沒什么題好做，事實上，很多教師和學生并不是不重視教材，而是不知道如何使用教材.本人結合自己多年從事高三數(shù)學教學的體會，談談高三數(shù)學復習用好教材的三步曲，供參考.

1 將教材呈現(xiàn)的知識形成知識網絡

教師要認真鉆研教材，用好教材，將教材呈現(xiàn)的知識構建知識網絡.需要注意的是，回歸教材并不等于簡單重復，而是要站在整體高度審視教材，做到層次分明，結構清晰，讓不同領域的知識交匯成為系統(tǒng).如教材中基本初等函數(shù)、導數(shù)及其應用是以單獨的版塊呈現(xiàn)在必修1，選修2-2，但有其內在聯(lián)系，因此，在復習時將分散在教材中的知識構建知識網絡.

利用教材梳理知識要防止走形式，要注意展示知識發(fā)生、發(fā)展過程，一方面幫助學生查漏補缺，另一方面為學生構建牢固的知識網絡，使相關知識在解決數(shù)學問題時被有效調用.比如：復習空間垂直位置關系，可以先讓學生回顧教材有關知識點，爾后形成知識鏈條：直線與直線垂直（定義、判定、性質）→直線與平面垂直（定義、判定、性質）→平面與平面垂直（定義、判定、性質）.

感悟由線線垂直到線面垂直，再到面面垂直的知識發(fā)展過程，以及三種垂直關系之間蘊含的結構聯(lián)系，從而使學生清晰地認識到：欲證面面垂直需找線面垂直，欲證線面垂直需找線線垂直.這種完整的知識網絡，具有牽一發(fā)而動全身的效能，使得大腦的信息容易被具體情境激活.2 將教材中的特例推廣為一般結論

挖掘教材中典型例習題的潛在價值，就是將其推廣到一般情形，而得到用途較廣的定理、公式，形成相對固定的解題方法，使得一些高考題迎刃而解.當然，我們不能直接將這些“結論和方法”強加給學生，而是引導學生進行探究性學習，從而自然得出“結論和方法”.

比如，（人教高中《數(shù)學》A版選修2-1第41頁例3）設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-49，求點M的軌跡方程.

高二上新課時已經講過這道題，因此，在高三復習時，教師首先提出問題1：設點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-b2a2（a>；0，b>；0），求點M的軌跡方程.當學生得到軌跡方程為x2a2+y2b2=1（x≠±a）后，再請學生探究問題2：設點A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）上關于坐標原點O的對稱兩點，點M在橢圓上且異于點A，B，記直線AM，BM的斜率分別為k1，k2，問k1k2是否為定值？

引導學生探究：由題意可設點A（x1，y1），B（-x1，-y1），M（x0，y0），則k1k2=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21，因為點A，B，M在橢圓上，所以x21a2+y21b2=1 ① x20a2+y20b2=1 ②，①-②并化簡得：y20-y21x20-x21=-b2a2，則k1k2=-b2a2為定值.對于雙曲線有類似結論.

總結得定理1：設點A，B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）上關于坐標原點O的對稱兩點，點M在橢圓上且異于點A，B，記直線AM，BM的斜率分別為k1，k2，則k1k2=-b2a2.

例1 （2011年高考數(shù)學江蘇卷第18題）在平面直角坐標系xOy中，M，N分別是橢圓x24+y22=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.

（Ⅰ）（Ⅱ）略

（Ⅲ）對任意k>；0，求證：PA⊥PB.

證明 由題意可設點P（x0，y0），A（-x0，-y0），B（x1，y1）.記直線BA，BP的斜率分別為k1，k2，由定理1得k1k2=-12，因為點C（x0，0），所以k1=y02x0，則k2=-x0y0，又k=y0x0，故kk2=-1，從而PA⊥PB.

又如，利用課本介紹的“點差法”很容易得到定理2：直線PQ與橢圓x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）相交于P，Q兩點，線段PQ中點為A，O為坐標原點，記直線PQ，OA的斜率分別為k1，k2，則k1k2=-b2a2，對于雙曲線有類似結論.

例2 （2014年高考數(shù)學江西卷理科第15題）過點M（1，1）作斜率為-12的直線與橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>；b>；0）相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于 .

解 由題意得直線OM的斜率kOM=1，又直線AB的斜率為-12，則由定理2得1×（-12）=-b2a2，即a2=2b2=2a2-2c2，則a2=2c2，故橢圓離心率e=22.

對于選擇題和填空題，我們所得到的“結論和方法”可以直接使用，對于解答題，不宜直接使用，而應把定理推導重寫一遍，既使這樣也比常規(guī)方法簡單的多.教學實踐證明，對教材中一些典型例題和習題的結論進行推廣，既可以培養(yǎng)學生的探究能力，又可以提高學生高考數(shù)學成績.3 將通法提升為思想方法

提升學生解題能力是高三數(shù)學復習的重要任務，當前，中學所流行的做法是讓學生做大量的練習題，企圖用題海戰(zhàn)術來提升學生解題能力.多年高考實踐表明，平時練過多次的題目，高考只要稍有改造，由于學生沒有把握該題型的數(shù)學本質，還是敗下陣來.因此，題海戰(zhàn)術是不可取的.正確的做法是將教材中解決一類問題的常規(guī)做法即通法，提升為數(shù)學思想方法，學生就可以用數(shù)學思想方法解決各種數(shù)學問題，真正做到以不變應萬變.比如，解答絕對值問題的常用方法就是要分類討論去掉絕對值符號，再根據題目的其它條件繼續(xù)解題.

例3 （2014年高考數(shù)學浙江卷理科第22題）已知函數(shù)fx=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）設b∈R，若[f（x）+b]2≤4對x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

解 對于第（Ⅰ）問，由于函數(shù)fx含有絕對值，就必須分類討論去掉絕對值，得分段函數(shù)，再求fx在-1，1上的最大值和最小值.對第（Ⅱ）問只要利用第（Ⅰ）問求出的M（a），m（a），問題就迎刃而解了.

（Ⅰ）當a≤-1時，f（x）=x3+3x-3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2+3>；0，所以f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)，則M（a）=4-3a，m（a）=-4-3a，故M（a）-m（a）=8.

當a≥1時，f（x）=x3-3x+3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）≤0，所以f（x）是[-1，1]上的減函數(shù)，則M（a）=2+3a，m（a）=-2+3a，故M（a）-m（a）=4.

當-1<；a<；1時，f（x）=x3+3x-3a，a≤x≤1，

x3-3x+3a，-1≤x≤a.由此可知，f（x）是[a，1]上的增函數(shù)，且在[a，1]上的最大值為4-3a，最小值為a3；f（x）是[-1，a]上的減函數(shù)，且在[-1，a]上的最大值為2+3a，最小值為a3；則當-1<；a≤13時，M（a）=4-3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3-3a+4.

當13<；a≤1時，M（a）=2+3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3+3a+2.綜上得：

M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1<；a≤13，

-a3+3a+2，13<；a<；1，

4，a≥1.

（Ⅱ）若[f（x）+b]2≤4對x∈[-1，1]恒成立-2≤f（x）+b≤2對x∈[-1，1]恒成立M（a）+b≤2，

m（a）+b≥-2.于是根據（Ⅰ）所求出的M（a），m（a），并結合有關知識易得3a+b的取值范圍是[-2，0].

可以看出，即使是高考壓軸題，用的也是課本中出現(xiàn)的通性通法，因此，一些最基本的解題策略在高三復習時應高度重視，并通過課本例題和習題的改造、引申、拓展的教學，使通法提升為思想方法，學生一旦掌握了數(shù)學方法，形成了數(shù)學思想，提升了數(shù)學能力，那么高考數(shù)學一定能取得好成績.

作者簡介 郭勝光，男，1963年9月生，福建邵武人，中學高級教師，全國模范教師，福建省特級教師，福建省中學數(shù)學教學學科帶頭人.主要從事數(shù)學教育、中學數(shù)學以及高考命題研究.多篇論文在數(shù)學雜志發(fā)表，多篇論文被人民大學《高中數(shù)學與教學》復印并全文轉載.

例3 （2014年高考數(shù)學浙江卷理科第22題）已知函數(shù)fx=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）設b∈R，若[f（x）+b]2≤4對x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

解 對于第（Ⅰ）問，由于函數(shù)fx含有絕對值，就必須分類討論去掉絕對值，得分段函數(shù)，再求fx在-1，1上的最大值和最小值.對第（Ⅱ）問只要利用第（Ⅰ）問求出的M（a），m（a），問題就迎刃而解了.

（Ⅰ）當a≤-1時，f（x）=x3+3x-3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2+3>；0，所以f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)，則M（a）=4-3a，m（a）=-4-3a，故M（a）-m（a）=8.

當a≥1時，f（x）=x3-3x+3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）≤0，所以f（x）是[-1，1]上的減函數(shù)，則M（a）=2+3a，m（a）=-2+3a，故M（a）-m（a）=4.

當-1<；a<；1時，f（x）=x3+3x-3a，a≤x≤1，

x3-3x+3a，-1≤x≤a.由此可知，f（x）是[a，1]上的增函數(shù)，且在[a，1]上的最大值為4-3a，最小值為a3；f（x）是[-1，a]上的減函數(shù)，且在[-1，a]上的最大值為2+3a，最小值為a3；則當-1<；a≤13時，M（a）=4-3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3-3a+4.

當13<；a≤1時，M（a）=2+3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3+3a+2.綜上得：

M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1<；a≤13，

-a3+3a+2，13<；a<；1，

4，a≥1.

（Ⅱ）若[f（x）+b]2≤4對x∈[-1，1]恒成立-2≤f（x）+b≤2對x∈[-1，1]恒成立M（a）+b≤2，

m（a）+b≥-2.于是根據（Ⅰ）所求出的M（a），m（a），并結合有關知識易得3a+b的取值范圍是[-2，0].

可以看出，即使是高考壓軸題，用的也是課本中出現(xiàn)的通性通法，因此，一些最基本的解題策略在高三復習時應高度重視，并通過課本例題和習題的改造、引申、拓展的教學，使通法提升為思想方法，學生一旦掌握了數(shù)學方法，形成了數(shù)學思想，提升了數(shù)學能力，那么高考數(shù)學一定能取得好成績.

作者簡介 郭勝光，男，1963年9月生，福建邵武人，中學高級教師，全國模范教師，福建省特級教師，福建省中學數(shù)學教學學科帶頭人.主要從事數(shù)學教育、中學數(shù)學以及高考命題研究.多篇論文在數(shù)學雜志發(fā)表，多篇論文被人民大學《高中數(shù)學與教學》復印并全文轉載.

例3 （2014年高考數(shù)學浙江卷理科第22題）已知函數(shù)fx=x3+3x-a（a∈R）.

（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（Ⅱ）設b∈R，若[f（x）+b]2≤4對x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍.

解 對于第（Ⅰ）問，由于函數(shù)fx含有絕對值，就必須分類討論去掉絕對值，得分段函數(shù)，再求fx在-1，1上的最大值和最小值.對第（Ⅱ）問只要利用第（Ⅰ）問求出的M（a），m（a），問題就迎刃而解了.

（Ⅰ）當a≤-1時，f（x）=x3+3x-3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2+3>；0，所以f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)，則M（a）=4-3a，m（a）=-4-3a，故M（a）-m（a）=8.

當a≥1時，f（x）=x3-3x+3a，x∈[-1，1]，f′（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）≤0，所以f（x）是[-1，1]上的減函數(shù)，則M（a）=2+3a，m（a）=-2+3a，故M（a）-m（a）=4.

當-1<；a<；1時，f（x）=x3+3x-3a，a≤x≤1，

x3-3x+3a，-1≤x≤a.由此可知，f（x）是[a，1]上的增函數(shù)，且在[a，1]上的最大值為4-3a，最小值為a3；f（x）是[-1，a]上的減函數(shù)，且在[-1，a]上的最大值為2+3a，最小值為a3；則當-1<；a≤13時，M（a）=4-3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3-3a+4.

當13<；a≤1時，M（a）=2+3a，m（a）=a3，M（a）-m（a）=-a3+3a+2.綜上得：

M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1<；a≤13，

-a3+3a+2，13<；a<；1，

4，a≥1.

（Ⅱ）若[f（x）+b]2≤4對x∈[-1，1]恒成立-2≤f（x）+b≤2對x∈[-1，1]恒成立M（a）+b≤2，

m（a）+b≥-2.于是根據（Ⅰ）所求出的M（a），m（a），并結合有關知識易得3a+b的取值范圍是[-2，0].

可以看出，即使是高考壓軸題，用的也是課本中出現(xiàn)的通性通法，因此，一些最基本的解題策略在高三復習時應高度重視，并通過課本例題和習題的改造、引申、拓展的教學，使通法提升為思想方法，學生一旦掌握了數(shù)學方法，形成了數(shù)學思想，提升了數(shù)學能力，那么高考數(shù)學一定能取得好成績.

作者簡介 郭勝光，男，1963年9月生，福建邵武人，中學高級教師，全國模范教師，福建省特級教師，福建省中學數(shù)學教學學科帶頭人.主要從事數(shù)學教育、中學數(shù)學以及高考命題研究.多篇論文在數(shù)學雜志發(fā)表，多篇論文被人民大學《高中數(shù)學與教學》復印并全文轉載.