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      素數(shù)與孿生素數(shù)邏輯解的幾個方法初探

      2014-12-13 09:48:50
      江蘇科技信息 2014年7期
      關(guān)鍵詞:尾數(shù)合數(shù)質(zhì)數(shù)

      葉 笛

      (江蘇省建湖縣岡東供銷社,江蘇 建湖 224732)

      0 引言

      素數(shù)的混堆式及縱堆式合因子解法,側(cè)重于對合數(shù)的計算過程,并由合數(shù)成因條件揭示真正的素因素(素因子)為4 大尾數(shù)——1,3,7,9 的奇數(shù),即真正決定素數(shù)生成的內(nèi)在條件是4 個特定的尾數(shù)值——1,3,7,9。只有這些尾數(shù)加上了某個10進(jìn)位數(shù)后,才有可能成為素數(shù)。那么,素數(shù)及孿生素數(shù)公式都離不開這4 大因子——1,3,7,9 尾數(shù)。

      1 素數(shù)的兩種合因子互積計算法

      1.1 混堆式合因子互積式

      1.1.1 基本定義

      合數(shù)(不含5 尾合數(shù))一般是由4 個不同尾數(shù)的小質(zhì)數(shù)互積構(gòu)成的,只要按小質(zhì)數(shù)量值大小順序互積,就可得到有順序排列的合數(shù),這里的小質(zhì)數(shù)稱為合因子數(shù)。而在一定量值范圍內(nèi)解得合數(shù),就可解得該值區(qū)內(nèi)所有的質(zhì)數(shù)。這一方法主要用于數(shù)值區(qū)間分解,對于個值計算比較費(fèi)力,但作為一種方法是存在的。

      1.1.2 公式運(yùn)用

      第1 步:設(shè)立計算對象及數(shù)值區(qū)間m 值。第2 步:確定該值區(qū)最小合因子的積值。第3 步:計算由小到大排列的小質(zhì)數(shù)互積因子值,直至到達(dá)m 值,即獲得該值區(qū)內(nèi)全部合數(shù)。第4步:列出m 值區(qū)內(nèi)4 大尾數(shù)—1,3,7,9 質(zhì)因子數(shù)。第5 步:在質(zhì)因子數(shù)中減去合數(shù)即得素數(shù)。

      例1:計算m=101~300 內(nèi)的全部素數(shù)。

      第1 步:計算出m=101~300 內(nèi)數(shù)值的最小質(zhì)數(shù)積,即3×37,同理,按量值大小逐次算出小質(zhì)數(shù)間的互積值合數(shù)。即:

      第2 步:將m=101~300 內(nèi)質(zhì)因子數(shù)——1,3,7,9 結(jié)尾的奇數(shù)按順序列出,并標(biāo)注合數(shù)值。

      第3 步:將m=101~300 內(nèi)沒有小質(zhì)數(shù)互積因子的數(shù)列出,即為所解質(zhì)數(shù):101,103,107,109,113,127,131,137,139,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293

      1.2 縱堆式合因子互積式

      1.2.1 基本定義

      指在計算合數(shù)過程中,只按照某個相同尾數(shù)值內(nèi)進(jìn)行縱向的合因子互積計算,而不考慮橫向的其他尾數(shù)值的因子關(guān)系。此法可提供一種清晰的邏輯化途徑,它一般適宜小值區(qū)m 的全解,對大值區(qū)m 全解需取出全部可倍的合因子值,計算量很大。

      1.2.2 公式運(yùn)用

      第1 步:設(shè)立計算對象及值區(qū)m 的值。第2 步:列出質(zhì)因子數(shù)。第3 步:計算值,保證得到一個m 值內(nèi)最大合因子數(shù)y(y2≤m)。第4 步:分別計算4 個質(zhì)因子數(shù)——1,3,7,9中合因子數(shù)——3,7,11……y 的一個合數(shù)位。第5 步:以已取得的3,7,11……y 的合數(shù)位為準(zhǔn),分別在同一尾數(shù)內(nèi)縱向向上、向下數(shù)出某個合數(shù)值的合數(shù)位。例如:11 的合數(shù),則數(shù)出上、下各第11 位的那個數(shù),且連續(xù)不斷,這些數(shù)即是11 的合數(shù)(此法又稱數(shù)位法)。第6 步:合數(shù)取得后,剩下的即為質(zhì)數(shù)。

      例2:求解:m=1932749~1933000 內(nèi)的質(zhì)數(shù)(隨機(jī)取值,本例解未作全解,僅從第一合因子3 解至11 的合數(shù)位,因具體計算過于復(fù)雜)。

      第1 步:根據(jù)m 值列出1,3,7,9 尾數(shù)值作質(zhì)因子數(shù),并分別計算1,3,7,9 尾數(shù)中3,7,11 的3 個整除位作相應(yīng)的合數(shù)位(其中3 的合數(shù)用“O”表示,7 的合數(shù)用“——”表示,11 的合數(shù)用“﹏﹏”表示)。

      第2 步:在“3”的1,3,7,9 尾數(shù)的合數(shù)位上,分別縱向向上、向下每隔3 位即得一個3 的合數(shù)。同理,在“7”“11”的1,3,7,9 尾數(shù)的合數(shù)位上分別向上、向下間隔7 或11 位即可得到7 或11 的合數(shù)。依此類推,可繼續(xù)以此法得到13,17,19,23,29……小質(zhì)數(shù)的合數(shù)(凡數(shù)位法所得合數(shù)用“√”表示)。

      第3 步:余下的質(zhì)因子1,3,7,9 結(jié)尾的大奇數(shù),一般情況下則可采用現(xiàn)行素數(shù)公式求得(數(shù)位法也可直接作公式用,只是對個值計算太難)。

      1.3 簡單結(jié)論

      由2 個新的素數(shù)計算方法可知:質(zhì)因子數(shù)是固定的,每10位數(shù)里產(chǎn)生4 個,即縱向的每個尾因子都以均勻的十進(jìn)位方式不斷生成,而阻止它生成的條件只有一個合數(shù),而合數(shù)是小質(zhì)數(shù)互積堆壘而成的,它的進(jìn)位是不均勻的,雖然各尾數(shù)擁有同樣的合因子,但位置卻不同,這造成了不同尾類間的差異性,由于小質(zhì)數(shù)間的頻率高是主宰合數(shù)生成的主要因素,就一個大質(zhì)數(shù)而言對某一數(shù)段內(nèi)質(zhì)數(shù)分布的影響是微弱的、不連續(xù)的。那么光憑小質(zhì)數(shù)互積數(shù)是永遠(yuǎn)無法達(dá)成10 進(jìn)位的均勻性分布要求的,所以質(zhì)數(shù)是無窮大的、抽象化的。但由縱堆式合因子法可知:在同一個10 進(jìn)位的4 大尾數(shù)中,它們擁有的素數(shù)個數(shù)總體上是相等的,其少數(shù)誤差是由首末位置等因素造成的。原因是它們擁有相同的合因子數(shù)。顯示了素數(shù)總量分布的潛規(guī)則——對稱性、均勻性。假如合數(shù)分布無位置差異,可斷言,大多數(shù)的素數(shù)都會以孿生方式顯現(xiàn)的(除了3,7 尾數(shù)間)。

      2 孿生素數(shù)的兩種計算方法

      2.1 剩位法計算公式

      2.1.1 基本定義

      根據(jù)質(zhì)因子——1,3,7,9 的內(nèi)在結(jié)構(gòu)可以看出,它們相互間先天性存在3 個孿生因子,即表示為S1、3S7、9S9、1三大類,如非合數(shù)干擾,則此3 類可一直存在下去。那么基于此,在任一類孿生素數(shù)中,先算出最大可能存在的孿生素數(shù)值,然后以此為條件建立計算方法。具體為:分別在1,3,7,9 尾位上計算最大可能出現(xiàn)的3 的合數(shù)值,因在每一孿生位置上3 的合數(shù)位是挫開的,即表明縱向3 個連續(xù)位置中只有1 個剩余位,且每隔3位都是這樣的,用口訣表示這個剩位為1,7 尾前,3,9 尾后和9前1 后。表明S1、3S7、9中1,7 尾中被3 整除數(shù)的前一位是剩位,3,9 尾中被3 整除數(shù)的后一位是剩位,在S9、1中剩位是9 前1后。因此這個剩位才是孿生的,圍繞這才可能算出某值區(qū)的孿生素數(shù)。

      2.1.2 公式運(yùn)用

      第1 步:設(shè)立計算對象及數(shù)值區(qū)間m 值。計算m 決定的最大合因子y(y 指m 值區(qū)可容納的最大合數(shù)積因子:y≤)。

      第2 步:將質(zhì)因子數(shù)按孿生尾數(shù)順序排列S1、3S7、9S9、1。

      第3 步:分別將S1、3S7、9S9、1的3 的“剩位”確立下來。

      第4 步:逐次算出7,11,13……y 在“剩位”上的合數(shù)項。

      第5 步:得到最后的“剩位”即為孿生素數(shù)。

      例3:解m=101~300 的孿生素數(shù)。

      ②列出3 類剩位孿生因子項(用“____”表示)。

      ③列出剩位孿生因子合數(shù)項(合數(shù)用“√”表示)。

      從7,11,13 直至17 的合因子數(shù),分別找出剩位上的一個合數(shù)值,其中各個因子項可采用定位關(guān)系取得(對于同一個合因子數(shù),1,3 尾、7,9 尾、9,1 尾間位置是固定的。例如,7 的合因子項1 尾中“161”,由第1 個1 尾“7”的合數(shù)21,與第1 個3 尾“7”的合數(shù)63 可知,縱向相差4 位數(shù),則由此推算本例3 尾中“203”是7 的合數(shù)等)。用定位法解得:1 尾合數(shù)121,161,221;3 尾合數(shù)133,253;7 尾合數(shù)167,287;9 尾合數(shù)119,169,209,259,299。

      ④m=101~300 的孿生素數(shù)。

      2.2 綜合試算式

      2.2.1 基本定義

      在“剩位法”當(dāng)中全解一個較大的值的孿生素數(shù)是很難的,要從最小合因子一直解至最大合因子y,為了結(jié)合現(xiàn)行素數(shù)公式優(yōu)點,將兩種方法的優(yōu)點結(jié)合起來運(yùn)用。即任何一個大數(shù)值m,它最易成為小合因子的合數(shù),只要盡可能將小合因子的合數(shù)去除后,剩下的數(shù)成為質(zhì)數(shù)或?qū)\生質(zhì)數(shù)的可能較大,對剩下的數(shù)再以現(xiàn)行素數(shù)公式求解即可。

      2.2.2 公式運(yùn)用

      第1 步:設(shè)立計算對象及值區(qū)m 的值。

      第2 步:按“3”的剩位口訣,列出剩位孿生因子數(shù)。

      第3 步:分別計算7,11,13 至某個適宜的合因子為止,并列出去掉的一部分剩位因子。

      第4 步:對最后的剩位因子逐一按現(xiàn)行公式試解。

      例4:求解m=80~120 間孿生素數(shù)。

      ①列出孿生質(zhì)因子數(shù)。

      ②按3 的剩位口訣,1、7 尾前,3、9 尾后及9 尾前1 尾后得,剩位孿生因子為:89,91,101,103,107,109。

      ③代入7,去掉一個合因子項91(89,91)。

      ④對余下的101,103,107,109 再按現(xiàn)行素數(shù)公式求解(由于120 的最大合因子就是y=7,故本例已全解,提出此解是針對大數(shù)值區(qū)而言)。

      2.3 簡單結(jié)論

      在二公式中,對孿生素數(shù)起主要作用的是兩點:其一,在1,3,7,9 結(jié)尾的4 大素因子數(shù)中,已構(gòu)成3 個先天性的孿生因子——S1、3S7、9S9、1。其二,小合因子數(shù)3 的主導(dǎo)合因子作用,因任一相鄰的2 個孿生因子中,被3 整除的數(shù)是挫開的,這樣每3 位數(shù)中注定有2 位是不能成為孿生因子的,即因“3”的作用,最大孿生素數(shù)總量占m 值的,那么這個表現(xiàn)在位置上為3 的合數(shù)的“剩位”關(guān)系。確立了“剩位”因子就等于節(jié)約了的計算總量。由“剩位”特征可知,在任一相鄰2 個尾數(shù)的孿生因子中不可能出現(xiàn)2 個及以上的連續(xù)孿生素數(shù),其最小間距每3 位數(shù)一個。其次,孿生素數(shù)的變化趨勢同于素數(shù)的基本趨勢,因其本質(zhì)上的成因條件是一致的,孿生性只是一般素數(shù)間的分布結(jié)構(gòu)特征,在一般性中具有偶然性,因只有當(dāng)相鄰兩尾素數(shù)間不但擁有相同的合因子數(shù),其合數(shù)所在位置完全一致時,才可能保證所有素數(shù)間為孿生素數(shù)。而事實上只擁有基本一致的合因子數(shù),而位置都是挫開的,這表明絕大多數(shù)素數(shù)非孿生態(tài)是必然現(xiàn)象。第三,如果使數(shù)值到達(dá)n 值不再產(chǎn)生孿生素數(shù),它的必要條件是所有除了“3”以后的合數(shù)因子遞進(jìn)位剛好滿足因“3”的剩位留下的間隔為3 的這種遞進(jìn)速度才行,且保持連續(xù)不斷。而已知的7,11,13,17……在小量值里都是定位相關(guān)的,只有出現(xiàn)3 與這些合因子數(shù)具互積關(guān)系時如:3×7,3×11……才重合。小的合數(shù)因子達(dá)不到每3 位就可干擾一次的速度。而對于較大的合因子數(shù),如例2 中,y=1381,這樣的數(shù)要每隔1381 位才會出現(xiàn)一次,其與3 的間隔更不可能產(chǎn)生持續(xù)的位置平衡。就是說:只要合數(shù)因子總和無法完成每3 位數(shù)且均勻生成一個合數(shù)的要求,那么孿生素數(shù)就必然不斷生成。第四,就歐拉關(guān)于質(zhì)數(shù)無窮大采用的推定方法提出一點商榷:即,這個表達(dá)式應(yīng)是遞減式,趨勢值接近0 而不等于0,屬于發(fā)散的。然而我們知道,0.333……當(dāng)轉(zhuǎn)換成分式和為雖然也是發(fā)散的,卻是一個有限值,其問題取決于發(fā)散度或發(fā)散率。正如孿生素數(shù)的倒數(shù)和得到一個常數(shù)一樣??墒窃?~1 之間就可分解無窮多個分?jǐn)?shù),這意味著有限數(shù)值內(nèi)也可產(chǎn)生無窮個數(shù)。就質(zhì)數(shù)與孿生質(zhì)數(shù)無窮大證明問題,主要還是從實際的邏輯條件及性質(zhì)入手,取得一個一般性證明方法,或理論推定即可。

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