孔華生+王光義

摘 要：混沌系統(tǒng)被廣泛應用于軍事保密通信和信息安全領域，該文在Liu混沌系統(tǒng)基礎上設計了一個新型混沌系統(tǒng)，并重點對新型混沌系統(tǒng)的基本動力學特性進行了分析，包括系統(tǒng)的分岔圖、相圖、Lyapunov指數(shù)圖分析。在保留了Liu混沌系統(tǒng)的優(yōu)點基礎上，增加了參數(shù)個數(shù)，擴大了參數(shù)范圍，最后利用DSP實現(xiàn)了該新型混沌系統(tǒng)，并對Liu混沌系統(tǒng)生成的數(shù)字序列和改進后的序列進行NIST測試，對比測試結果表明改進后的數(shù)字序列性能更優(yōu)。

關鍵詞：動力學分析;李雅普諾夫指數(shù);數(shù)字信號處理;數(shù)字序列性能測試

中圖分類號：TN401 ? ? 文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-1302（2014）12-00-03

0 ?引 ?言

混沌和混沌系統(tǒng)是近代非線性科學領域最重要的發(fā)現(xiàn)之一?；煦缬捎谄鋵Τ踔得舾行?、類隨機性、長期不可預測性等特性被大量應用于軍事保密通信和信息安全加密領域，與傳統(tǒng)的AES加密和DES加密方法比較，混沌加密具有更高的保密性和安全性。新型混沌系統(tǒng)的研究和應用成為當今學術界的研究熱點，Liu混沌系統(tǒng)[1，2]是一個含有平方項的混沌系統(tǒng)，由于其參數(shù)個數(shù)少及參數(shù)范圍小影響了混沌序列的隨機性和安全性。雖然迄今學術界大量的文獻研究新型混沌的構造[3，4]，或者提出改進的混沌系統(tǒng)，但大多數(shù)只是研究混沌系統(tǒng)的基本動力學特性，很少文獻資料基于應用背景研究如何添加混沌系統(tǒng)的參數(shù)個數(shù)和擴展混沌系統(tǒng)的參數(shù)范圍等。本文基于如何添加混沌參數(shù)個數(shù)并擴展參數(shù)范圍在Liu混沌系統(tǒng)的基礎上進行改進獲得一組三維混沌方程，新型混沌方程引入了一個平方項并且添加了三個混沌參數(shù)。分析了該系統(tǒng)的基本動力學特性，包括對稱性、耗散性和穩(wěn)定性，并對系統(tǒng)進行了Matlab仿真，給出了仿真結果。 最后利用DSP處理器實現(xiàn)了該混沌系統(tǒng)，并將改進系統(tǒng)的數(shù)字序列和Liu混沌系統(tǒng)的數(shù)字序列進行了NIST測試，對比測試結果顯示改進后的序列更適合應用于加密系統(tǒng)中。

1 ?新型混沌系統(tǒng)的提出

Liu混沌系統(tǒng)[1]方程如式（1）所示：

（1）

式中（x，y，z）∈R3，當b=25，k=1，c=2.5，h=4，a∈（3.5， 12.5）之間變化，初值?。?.1，0.1，0.1）時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

為了增加參數(shù)，擴展參數(shù)范圍，獲得更好的混沌偽偽隨機序列，在Liu系統(tǒng)的基礎上做了改進，添加了一個平方項和三個混沌參數(shù)，改進后的方程如下：

（2）

式中（x，y，z）∈R3，當a=10，b=25，c=8，d=0.1，k=4，g=0.1，h=2，初值為（0.1，0.1，0.1）時，系統(tǒng)有混沌解，所以系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)?；煦缥訄D及其在相平面的投影如圖1～圖4所示。

圖1 ?混沌吸引子圖 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2 ?x-y平面吸引子圖

圖3 ?y-z平面吸引子圖 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖4 ?x-z平面吸引子圖

2 ?Lyapunov指數(shù)和分岔圖

系統(tǒng)參數(shù)對混沌系統(tǒng)狀態(tài)有非常大的影響，系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變而變化。Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動力學特性[5-6]的重要指標，它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道見收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。分岔圖能夠直觀反應系統(tǒng)參數(shù)和系統(tǒng)變量的變化規(guī)律，因此系統(tǒng)的動力學特性可以通過Lyapunov指數(shù)和分插圖分析。當固定b=25，c=8，d=0.1，k=4，g=0.1，h=2，初值為（0.1，0.1，0.1）時，Lyapunov指數(shù)隨系統(tǒng)參數(shù)a變化的指數(shù)圖譜和變量x隨參數(shù)a變化的分岔圖分別如圖5、圖6所示。

對于三維自治系統(tǒng)，當有一個Lyapunov指數(shù)為零，其他為負時系統(tǒng)是周期的;當兩個Lyapunov指數(shù)為零，其他為負時系統(tǒng)是擬周期的;當有一個Lyapunov指數(shù)為正時系統(tǒng)是混沌狀態(tài)的;當有兩個Lyapunov指數(shù)為正時系統(tǒng)是超混沌狀態(tài)的。

圖5 ?參數(shù)a李雅普諾夫指數(shù)圖

由圖5可發(fā)現(xiàn)，在a∈（8， 10）時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有一個為負，一個有時為正有時為零，一個有時為負有時為零，所以該系統(tǒng)在區(qū)間（8，10）之間不斷的在混沌、周期和擬周期之間切換;在a∈（10， 21）時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有兩個為負，一個為正，并且存在兩個周期窗口。由觀察發(fā)現(xiàn)Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖的變化相對應，所以該系統(tǒng)在區(qū)間（10， 21）之間是出于混沌狀態(tài)的。

圖6 ?x隨a變化的分插圖

固定參數(shù)a=11，c=8，h=2，k=4，d=0.1，g=0.1，初值取為（0.1，0.1，0.1）時，Lyapunov指數(shù)隨系統(tǒng)參數(shù)b變化的指數(shù)圖譜如圖7所示，變量x隨參數(shù)b變化的分岔圖如圖8所示，系統(tǒng)參數(shù)b在區(qū)間（8.4，22.4）變化時，系統(tǒng)不斷在混沌狀態(tài)和擬周期狀態(tài)之間變化，當b>22.4時，系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)的。固定參數(shù)a=11，b=25，h=2，k=4，d=0.1，g=0.1，初值取為（0.1，0.1，0.1）時，Lyapunov指數(shù)隨系統(tǒng)參數(shù)c變化的指數(shù)圖譜如圖9所示，變量x隨參數(shù)c變化的分岔圖如圖10所示，圖5、圖7和圖9中另一條指數(shù)圖一直是負數(shù)，未在圖中顯示，系統(tǒng)參數(shù)c在區(qū)間（0，2.3）和（9，11）區(qū)間變化時，系統(tǒng)在混沌狀態(tài)和擬周期狀態(tài)間變化，當系統(tǒng)參數(shù)c∈（2.3，9）時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖7 ?參數(shù)b李雅普諾夫指數(shù)圖

圖8 ?x隨b變化的分插圖

圖9 ?參數(shù)c李雅普諾夫指數(shù)圖

2 ?混沌系統(tǒng)數(shù)字化實現(xiàn)

要使連續(xù)混沌系統(tǒng)能夠在數(shù)字信號處理器中實現(xiàn)，首先要對連續(xù)混沌系統(tǒng)進行離散化。本文采用差商逼近法對連續(xù)混沌系統(tǒng)離散化處理，差商逼近法是采用適當?shù)牟钌瘫平鼘?shù)使連續(xù)系統(tǒng)離散化的方法[3]，由定義公式：

（3）

可得：

（4）

式中τ為離散時間間隔，所以將改進后的三維連續(xù)混沌方程（2）離散化后表示為：

（5）

圖10 ?x隨c變化的分插圖

當離散系統(tǒng)中的τ足夠小時，連續(xù)混沌系統(tǒng)和其離散后的混沌系統(tǒng)序列具有相同的動力學特性。在本論文中取τ=0.008，將式（5）作為循環(huán)體進行迭代求解生成混沌實值序列，至此便完成了連續(xù)混沌系統(tǒng)的離散化處理。

由于DSP數(shù)字信號處理器具有處理速度快、可編程性強，抗干擾性高和易于實現(xiàn)浮點運算等優(yōu)點，所以本文選用DSP數(shù)字信號處理器對混沌系統(tǒng)離散化處理，抽取混沌實值序列每個浮點型數(shù)據(jù)小數(shù)點后第五位，并將其與0x01相與，得到連續(xù)混沌系統(tǒng)離散后的二值序列，序列波形圖輸入示波器得到輸出入圖11所示。將DSP生成的二值序列經過數(shù)模轉換得到混沌吸引子相圖分別如圖12～圖14所示。由圖可知，DSP生成的混沌信號在相同的系統(tǒng)參數(shù)和初值下和Matlab仿真結果相吻合，實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的數(shù)字化。

圖11 ?混沌數(shù)字序列

圖12 ?x-y平面混沌吸引子

圖13 ?y-z平面混沌吸引子

圖14 ?x-z平面混沌吸引子

4 ?混沌數(shù)字序列性能分析

隨機序列性能測試程序包（Statistical Test Suite）是由美國國家技術與標準局開發(fā)推出的對隨機序列性能測試的軟件包，是目前所有隨機序列測試工具中最權威的一種。該工具從不同角度檢驗被測序列在統(tǒng)計特性上相對于理想隨機序列的偏離程度。本文采用STS 2.1.1測試軟件包對改進系統(tǒng)的數(shù)字序列和Liu混沌系統(tǒng)的數(shù)字序列進行測試，測試結果如表1所示。

NIST偽隨機序列發(fā)生器的隨機性測試標準共包含15項核心測試，序列測試通過率（PROPORTION）是反應序列測試通過的百分比，是衡量序列性能的重要指標，對比測試結果可知改進后的混沌系統(tǒng)的序列每一項測試通過率都高于Liu混沌系統(tǒng)的序列，表明改進后的序列通過序列測試的百分比更高，性能更優(yōu)。序列的均勻分布率測試（P-VALUE）中頻率測試是測試序列中0和1出現(xiàn)的概率是否和隨機序列0和1出現(xiàn)的概率相等，若測試是隨機的則0和1是等概率出現(xiàn)的，對比測試結果改進后的序列的0和1出現(xiàn)的概率更隨機，分塊頻率測試（Block Frequency）是測試M-bits塊中1出現(xiàn)的概率是否近似等于1/2，由測試結果發(fā)現(xiàn)改進后的序列測試值更接近1/2。綜上所述改進后的序列隨機性[7]更優(yōu)，更適合應用于加密領域。

5 ?結 ?語

本文在Liu系統(tǒng)的基礎上提出了一個新型混沌系統(tǒng)方程，利用Matlab分析了系統(tǒng)參數(shù)對混沌系統(tǒng)狀態(tài)的影響，得出了在特定系統(tǒng)參數(shù)范圍內系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)的，并且分析了系統(tǒng)的分插圖和Lyapunov指數(shù)圖。然后用DSP利用實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的數(shù)字化，其與連續(xù)混沌的Matlab仿真結果一致。最后分析了混沌系統(tǒng)產生的數(shù)字序列對其進行NIST測試，測試結果表明序列性能良好，改進后的混沌序列更適合應用于混沌加密系統(tǒng)。

參考文獻

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[8]王瑩，王光義.混沌PN序列的DSP實現(xiàn)及其性能分析[J]. 杭州電子科技大學學報，2012，32（1）：1-5.

A new chaotic system and its DSP realization

KONG Hua-sheng， WANG Guang-yi

（School of Electronic Information， Hangzhou Dianzi University， Hangzhou 310018， China）

Abstract： Chaotic system is widely used in fields of military secure communication and information security. A new chaotic system based on Liu chaotic system is designed and the basic dynamics characteristics of this system are analyzed， including bifurcation diagram， phase diagram and Lyapunov exponents diagram. On the basis of retaining the advantages of Liu chaotic system， the new system increases the number of parameters and extends the range of parameters. Finally the system was realized by using DSP. The sequences generated by the new system and Liu chaotic system were tested by NIST. The result shows that the performances of the improved digital sequence are better.

Keywords： dynamics analysis; Lyapunov exponent; DSP; NIST test

[8]王瑩，王光義.混沌PN序列的DSP實現(xiàn)及其性能分析[J]. 杭州電子科技大學學報，2012，32（1）：1-5.

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Keywords： dynamics analysis; Lyapunov exponent; DSP; NIST test

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Keywords： dynamics analysis; Lyapunov exponent; DSP; NIST test