一類(lèi)冪形式的非線性Volterra-Fredholm型積分不等式

盧鈺松

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 宜州546300)

0 引言

Volterr型積分不等式在微分方程，積分方程的定性研究中有著非常重要的作用。2004年 Pachpatte[1]研究了一類(lèi)線性 Volterra－Fredholm型積分不等式：

解的估計(jì)。

2008年Ma[2]研究了一類(lèi)非線性Volterra－Fredholm型積分不等式:

解的估計(jì)。

本文研究了一類(lèi)冪形式的非線性Volterra－Fredholm型積分不等式：

解的估計(jì)。

1 主要結(jié)果

本文中 R+=[0，+∞],I∈[t0，T]；Ci（M，S）為定義在（M，S）上的 i次連續(xù)可微的函數(shù)集，其中 i=1,2,… ；令 C0（M，S）=C（M，S）。

定理 令 u（t），f（t），σ1（t）,σ2（t）∈C（I,R+），α∈C1（I，I），α（t）是定義在[t0，T]上的連續(xù)單調(diào)不減函數(shù)且 α（t）≤t。 若 u（t）滿足不等式（3），則有：

其中c11是方程：的解。

2 定理的證明

證明：

且

所以：

不等式兩邊積分：

從而：

由（7）式得：

整理得：

由（5）式可得：0≤k≤t

所以 H（t）為增函數(shù)。

又因?yàn)椋?/p>

所以 H（t）=0 有唯一解 c。

由（9）式得：

H（z（t0））≤0=H（c）

所以：

將上式代入（7）式后再代入（6）得：

定理得證。

［1］B.G.Pachpatte,Explicit bound on a retarded inequality[J].Math Inequal Appl，2004（7）：7-11.

［2］Q.-H.Ma，J.Pecaric,Estimates on solutions of some new nonlinear retarded Volterra-Fredholm type integral inequalities[J].Nonlinear Analysis,2008（69）：393-407.

［3］吳宇，唐敏，周察金.一類(lèi)非線性Volterra-Fredholm型積分不等式得推廣[J].宜賓學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（6）：5-8.