密頻結(jié)構(gòu)實模態(tài)參數(shù)的特征曲線法

張 淼

在結(jié)構(gòu)振動分析中，經(jīng)常需要求解廣義特征問題Kφ=λMφ，其中K和M是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣，λ為特征值，φ為特征向量。求解特征值問題，即為求解結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，在工程實際應(yīng)用及求解結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)方面都具有重要的意義［1－2］。特征值即為結(jié)構(gòu)的無阻尼固有頻率(實頻率)，特征向量即為結(jié)構(gòu)的無阻尼固有振型(實模態(tài))，再加上阻尼比，在工程中統(tǒng)稱為實模態(tài)參數(shù)。一個結(jié)構(gòu)的動力特性可以用它的實模態(tài)參數(shù)進行完整的描述，因此對它們的研究伴隨著工程應(yīng)用的設(shè)計、分析、修正、損傷識別等各個環(huán)節(jié)。若特征值和特征向量在設(shè)計參數(shù)的某可行域內(nèi)或局部發(fā)生了轉(zhuǎn)向和彎曲，表明結(jié)構(gòu)對該設(shè)計參數(shù)是敏感的，尤需關(guān)注的是，結(jié)構(gòu)很可能產(chǎn)生密頻或重頻現(xiàn)象［3］，從而為結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性帶來隱患。特征對發(fā)生變化的測量方式之一是其導(dǎo)數(shù)，工程中稱為靈敏度［4］，它們可在數(shù)值上反映變化的位置及彎曲發(fā)生的程度等。因此，特征曲線法的應(yīng)用可以在很大程度上使設(shè)計工作遠離可能產(chǎn)生危險的假定模型，在工程上具有良好的應(yīng)用價值。

1 特征值分析

對N自由度的線性離散振動系統(tǒng)的運動方程為

式中M，C和K∈RN×N分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。作拉普拉斯變換x(t)=uewt=ueiwt(w=iω)代入(1)式可得(w2Mu+wCu+Ku)ewt=0。令C=0，則無阻尼固有頻率與規(guī)范化實模態(tài)為(ω2，φi)(i=1，2，…，N，w2=－ω2=λ)，滿足特征方程

實際上特征方程(2)是關(guān)于矩陣M和K的廣義特征問題。λi為固有頻率(也可稱為特征值)，φi為無阻尼正則實模態(tài)(也可稱為特征向量)。

考慮如下弱耦合系統(tǒng)［5］，這是一個由兩個彈性元件k1和k2及兩個質(zhì)量塊m1和m2構(gòu)成，并用一個弱彈性元件k聯(lián)接的兩自由度系統(tǒng)，假定只在x軸方向上發(fā)生振動，見圖1。

圖1 弱耦合系統(tǒng)示意圖

特征方程

其中 p=m1m2，h=－(k1+k)m2－(k2+k)m1，c=k1k+k1k2+k2k.

令m1=m2=1，k2=1，而取設(shè)計參數(shù)為k1，其變化區(qū)間取為0.6至1.4，分別在k=0.05及k=0.01兩種情況下用MATLAB繪制λ1和λ2關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的關(guān)系圖(圖2)。

圖2 特征值函數(shù)的關(guān)系圖

由圖2分析可知，首先對不同的k值，系統(tǒng)均在k1=1處發(fā)生兩個特征值接近(密頻)的現(xiàn)象，即在k1=1的鄰域內(nèi)出現(xiàn)了密頻現(xiàn)象，而對k=0.01時更加接近一些，這說明更小的值會加重密頻現(xiàn)象的發(fā)生。其次，兩個特征值曲線均在k1=1處發(fā)生了彎曲與轉(zhuǎn)向，k的取值越小，彎曲發(fā)生得越劇烈。

對公式(4)直接求導(dǎo)得兩個特征值的一階靈敏度為

用MATLAB繪制λ1和λ2關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的一階靈敏度關(guān)系圖(圖3)。

圖3 特征值一階靈敏度的關(guān)系圖

由λ1的一階靈敏度分析可知，在k1∈［0.6，0.9］內(nèi)，λ1以幾乎恒定的變化率增加;到k1=1附近時，變化率發(fā)生了較大變動，從1迅速地減少到0左右，其后不再發(fā)生大的變化，說明特征值λ1由與設(shè)計參數(shù)同步增加迅速地轉(zhuǎn)變?yōu)榕c設(shè)計參數(shù)無關(guān)，只穩(wěn)定在固定值。由λ2的一階靈敏度分析可知，在k1∈［0.6，0.9］內(nèi)，λ2變化率幾乎為0，反映了λ2在此范圍內(nèi)不發(fā)生大的變化;到k1=1附近時變化率也發(fā)生了較大變動，從0迅速地增加到1左右，其后不再發(fā)生大的變動，說明λ2由穩(wěn)定值迅速地轉(zhuǎn)變?yōu)榕c設(shè)計參數(shù)的增加而同步增加。以上說明，兩條特征值曲線均在k1∈［0.9，1.1］范圍附近發(fā)生了劇烈的轉(zhuǎn)向和彎曲，而且k的取值越小，彎曲發(fā)生得越劇烈。這一分析與圖2的分析結(jié)果一致，可見靈敏度分析確實能反映系統(tǒng)的原始動特性。

2 特征向量分析

相應(yīng)地，規(guī)范化特征向量為

用MATLAB繪制φ1和φ2關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的關(guān)系，見圖4和圖5。

圖4 φ1關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的關(guān)系圖

圖5 φ2關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的關(guān)系圖

對不同的k值，模態(tài)1的第1維分量與第2維分量均在k1=1附近發(fā)生了轉(zhuǎn)向，且變化劇烈。在k1=1的小幅變化范圍內(nèi)，k的取值越小，模態(tài)1所發(fā)生的變化越劇烈。這說明模態(tài)1的不穩(wěn)定性發(fā)生在密頻點k1=1處。同樣地，對不同的k值，模態(tài)2的第1維分量與第2維分量均在k1=1附近發(fā)生了轉(zhuǎn)向，且變化劇烈。模態(tài)的不穩(wěn)定性也發(fā)生在密頻點k1=1處。從前文的分析可知，由于k取值越小，顯示結(jié)構(gòu)密頻的程度越高，因此圖4和圖5反映的是密頻的程度越高，模態(tài)的跳躍性越強。

用公式(6)式直接求導(dǎo)得兩個特征向量的一階靈敏度為

用MATLAB繪制φ1和φ2的第1維分量關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的一階靈敏度關(guān)系見圖6。

圖6 不同k值時φ1和φ2的第1維分量關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的一階靈敏度對比圖

圖6僅以模態(tài)1和模態(tài)2的第1維分量為研究對象，圖形顯示，這兩個模態(tài)的第1維分量均在k1∈［0.6，0.9］范圍左右變化率幾乎為0，說明模態(tài)此時隨設(shè)計參數(shù)的變化不大，較為穩(wěn)定;但在k1∈［0.9，1.1］范圍附近，變化率發(fā)生了較大的變動，其中k值越小，變化率變化的幅度越大，顯示出模態(tài)在這個范圍內(nèi)發(fā)生了一定程度的跳躍;然后變化率又幾乎為0，模態(tài)又呈現(xiàn)出穩(wěn)定狀態(tài)。這一分析結(jié)果與圖4和圖5的分析結(jié)果一致。

3 結(jié)語

本文針對一個弱耦合系統(tǒng)，首先利用特征值及特征向量與設(shè)計參數(shù)的關(guān)系圖，來分析設(shè)計參數(shù)對系統(tǒng)狀態(tài)的影響，尤其是發(fā)生密頻現(xiàn)象時，密頻現(xiàn)象對結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生的破壞作用進行了分析;再利用特征值與特征向量關(guān)于設(shè)計參數(shù)的靈敏度曲線圖，來分析和驗證上述結(jié)果，表明特征對靈敏度分析確實能在很大程度上反映結(jié)構(gòu)性態(tài)。同時說明在工程實踐中若沒有條件獲得足夠的結(jié)構(gòu)原始實模態(tài)參數(shù)信息，卻僅憑其導(dǎo)數(shù)信息，也可判斷和預(yù)知那些隱藏的信息，在一定程度上能夠節(jié)省研究和設(shè)計的成本。

［1］張淼，鞠偉.計算各種振系模態(tài)靈敏度的統(tǒng)一算法［J］.長春工程學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，13(4):119－122.

［2］于瀾.模態(tài)參數(shù)的靈敏度分析在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域中的應(yīng)用［J］.長春工程學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，13(3):1－3.

［3］張淼.基于松馳技術(shù)的重頻密頻結(jié)構(gòu)模態(tài)靈敏度分析［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，35(12):1605－1609.

［4］于瀾，張淼，鞠偉，等.非保守系統(tǒng)復(fù)模態(tài)的規(guī)范正交性及其應(yīng)用［J］.華南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2013，45(4):21－24.

［5］于瀾，張文丹，付向南.非對稱重頻阻尼系統(tǒng)狀態(tài)向量的攝動分析［J］.長春理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，34(3):170－172.