陳禮芳

類(lèi)比法，就是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象之間在某些方面的相同或相似之處的比較，通過(guò)聯(lián)想和猜測(cè)，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨频牡胤?，從而去建立猜想和發(fā)現(xiàn)真理的方法。這種方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究中的應(yīng)用很廣泛，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的勾連與綜合、對(duì)數(shù)學(xué)技能的培養(yǎng)與發(fā)展，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成與完善，都有極其重要的作用。常用的類(lèi)比有：

一、數(shù)與式的類(lèi)比

數(shù)與式的類(lèi)可從分式與分?jǐn)?shù)類(lèi)比探討。分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分?jǐn)?shù)相類(lèi)似。例如分式和分?jǐn)?shù)一樣分母都不能為0;分式的性質(zhì)與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)相類(lèi)似;分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法的運(yùn)算方法相類(lèi)似;分式的通分與約分與分?jǐn)?shù)的通分與約分相類(lèi)似;因此在教學(xué)分式的有關(guān)概念和性質(zhì)時(shí)可類(lèi)比分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)進(jìn)行教學(xué)，這樣學(xué)生易于理解，便于他們接受，還能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

二、有理式與無(wú)理式的類(lèi)比

有理式與無(wú)理式的類(lèi)比如二次根式與整式的類(lèi)比：二次根式的加減運(yùn)算與整式的加減運(yùn)算類(lèi)似，分別是合并同類(lèi)二次根式和合并同類(lèi)項(xiàng);二次根式的乘法運(yùn)算與整式的乘法類(lèi)似。

如：

三、數(shù)與形的類(lèi)比

在數(shù)學(xué)研究中，數(shù)與形的類(lèi)比經(jīng)常在相反的方向上得到應(yīng)用。即通過(guò)與“形”的比較去推測(cè)“數(shù)”的有關(guān)性質(zhì)，又通過(guò)與“數(shù)”的比較去推測(cè)“形”的有關(guān)性質(zhì)。

例：k為何值時(shí)，方程組

①有一組解？ ?②兩組解？ ?③無(wú)解？（利用數(shù)與形類(lèi)比，解法直觀(guān)，簡(jiǎn)單明了）。

方程組有一組解，即直線(xiàn)與半圓只有一個(gè)交點(diǎn);有二組解，即直線(xiàn)與半圓有兩個(gè)交點(diǎn);無(wú)解，即直線(xiàn)與半圓無(wú)交點(diǎn)。

所以，當(dāng) ? ? ? ? ? ? ? ?時(shí)有兩解。

四、全等與相似的類(lèi)比

全等與相似的類(lèi)比可由相似三角形與全等三角形間的類(lèi)比進(jìn)行探討。相似三角形與全等三角形判斷方法有聯(lián)系，在相似與全等三角形的判定中，有關(guān)角的條件都是對(duì)應(yīng)角相等。有關(guān)邊的條件，全等三角形中是對(duì)應(yīng)邊相等而相似三角形中是成比例，只要把全等三角形判定中的對(duì)應(yīng)邊相等改為對(duì)應(yīng)邊成比例，就相應(yīng)得到相似三角形的判定方法。全等三角形必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等，而判定相似三角形時(shí)，則可舍去此條件。

概念的區(qū)別。全等三角形是能夠完全重合的三角形。包括形狀相同，大小也相同兩個(gè)方面;相似三角形只是形狀相同而大小不一定相同。即只是對(duì)應(yīng)角相等，而對(duì)應(yīng)邊成比例，當(dāng)對(duì)應(yīng)邊的比值等于1時(shí)，就全等，因此全等三角形是相似三角形的特例。掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。

五、平面與空間的類(lèi)比

把立體幾何知識(shí)與相關(guān)的平面幾何知識(shí)類(lèi)比，是實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的有效方法，也利于化難為易，啟迪思維。常用的思路有：由平面圖形中點(diǎn)的性質(zhì)類(lèi)比推理出空間里的線(xiàn)的性質(zhì)，由平面圖形中線(xiàn)的性質(zhì)類(lèi)比推理出空間中面的性質(zhì)，由平面圖形中面的性質(zhì)類(lèi)比推理出空間中體的性質(zhì).

如，關(guān)于勾股定理，可有幾個(gè)類(lèi)比：

勾股定理：在直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形中，有

類(lèi)比1：長(zhǎng)、寬、高分別為p、q、r，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為d的長(zhǎng)方體中，有

類(lèi)比2：長(zhǎng)方體交于某一頂點(diǎn)的三個(gè)長(zhǎng)方形面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為p，q，r，長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為d，則有

類(lèi)比3：四面體交于一個(gè)頂點(diǎn)O的三條棱兩兩互相垂直，與O相鄰的三個(gè)面的面積分別為A，B，C，與O相對(duì)的面的面積為D，則有：

六、有限與無(wú)限的類(lèi)比

例：因?yàn)閳A可看成是正多邊形當(dāng)邊數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)的極限情形。因此，依據(jù)“三角形的面積等于底與高的乘積的一半”的結(jié)論，可證：正多邊形的面積等于周長(zhǎng)與邊心距乘積的一半。從而類(lèi)比出圓的面積等于其周長(zhǎng)與半徑乘積的一半。

數(shù)學(xué)中相近、類(lèi)似的問(wèn)題很多，諸如“整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)”與“分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)”;“方程”與“不等式”;“橢圓”和“雙曲線(xiàn)”;“直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系”與“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”;“等差數(shù)列與等比數(shù)列”等等，它們彼此都有相類(lèi)似的地方，若能在教學(xué)中靈活運(yùn)用“類(lèi)比”的方法，揭示這些知識(shí)之間的關(guān)系，對(duì)于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)具有極大的幫助。

（作者單位：江蘇南通市第三中學(xué)）