高浩

摘 ?要：通過挖掘2014年安徽卷理科壓軸題解法中蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法，探究這道題的背景，揭示其錯解原因，從而得到解答壓軸題的教學(xué)啟示，有助于學(xué)生提高壓軸題的解題能力.

關(guān)鍵詞：高考;壓軸題;解法分析;教學(xué)啟示

2014年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科壓軸題如下：

設(shè)實數(shù)c>0，整數(shù)p>1，n∈N*.

（Ⅰ）證明：當(dāng)x>-1且x≠0時，（1+x）p>1+px;

（Ⅱ）數(shù)列{an}滿足a1>c ?，an+1= ? ·an+ ?a ?，證明：an>an+1>c ?.

本題是數(shù)列與不等式的綜合問題，考查遞推公式、二項式展開、導(dǎo)數(shù)、不等式的性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等數(shù)學(xué)知識和技能，同時考查推理證明、邏輯思維及分析問題、解決問題的能力. 完成本題，要求學(xué)生具備較高思維水平和良好的心理素質(zhì). 筆者有幸參與了今年的安徽高考閱卷工作，以下就安徽卷理科第21題進行分析和思考，不妥之處，敬請專家斧正.

解法分析

第（Ⅰ）問

解法1：數(shù)學(xué)歸納法：①當(dāng)p=2時，（1+x）2=1+2x+x2>1+2x，不等式成立.

②假設(shè)p=k（k≥2，k∈N*）時，不等式（1+x）k>1+kx成立，

當(dāng)p=k+1時，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k>（1+x）（1+kx）=1+（1+k）x+kx2>1+（1+k）x，

所以p=k+1時，原不等式也成立.

綜合①②知，當(dāng)x>-1且x≠0時，對于一切整數(shù)p>1，不等式（1+x）p>1+px成立.

解法2：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（1+x）p-（1+px），則f′（x）=p（1+x）p-1-p.

易知，當(dāng)x∈（-1，0），f ′（x）<0;x∈（0，+∞），f ′（x）>0，

故：當(dāng)x>-1且x≠0時，f（x）>f（0）=0，即（1+x）p>1+px.

解法3：令ap= ?，由ap+1-ap=…= ?<0.

所以數(shù)列{ap}單調(diào)遞減. 因為p>1，n∈N*，故ap

又（1+x）p>0，從而得（1+x）p>1+px.

解法4：利用均值不等式

由已知x>-1且x≠0且知1+x>0且1+x≠1，由均值不等式得，

（1+x）p+ ?>p ?=p+px，

從而得（1+x）p>1+px.

點評：前兩種方法屬通法，易想易做，方法3新穎別致，美不勝收，方法4運用均值不等式巧妙大氣，渾然天成. 法2與法3同為構(gòu)造法，然而所選主元不同，前者以x為主元，構(gòu)造函數(shù)，后者以p為主元，構(gòu)造數(shù)列. 一道小題，四種方法，溝通了函數(shù)、數(shù)列、不等式及數(shù)學(xué)歸納法等重點數(shù)學(xué)知識和方法.

第（Ⅱ）問？搖

解法1：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：an>c ?.

①當(dāng)n=1時a1>c ?成立;

②假設(shè)n=k（k≥1，k∈Z）時，ak>c ?成立，

由an+1= ? an+ ?a ?，易知an>0，n∈N*，？搖

則n=k+1時， ?= ?+ ?a ?=1+ ? ?-1.

由ak>c ?>0，得-1<- ?< ? ?-1<0，由（Ⅰ）中的結(jié)論得

=1+ ? ?-1 ?>1+p· ? ?-1= ?.

因此a ?>c，即ak+1>c ?.

所以n=k+1時，不等式an>c ?也成立.

綜合①②可得，對一切正整數(shù)n，不等式an>c ?成立.

再由 ?=1+ ? ?-1可得 ?<1，即an+1

綜上所述an>an+1>c ?，n∈N*.？搖

點評：本解法的關(guān)鍵是靈活利用第（Ⅰ）問的結(jié)論，把p次冪式放縮、降次轉(zhuǎn)化，對考生思維水平及新知識的遷移應(yīng)用能力要求較高.

解法2：設(shè)f（x）= ?x+ ?x1-p，x≥c ?，則xp≥c，并且f ′（x）= ?+ ?（1-p）x-p= ?·1- ?，知f（x）在[c ?，+∞）上單調(diào)遞增. 因而當(dāng)x>c ?時，f（x）>f（c ?）=c ?.

（1）當(dāng)n=1時，由a1>c ?，c>0得a ?>c，

所以a2= ?a1+ ?a ?=a11+ ?· ?-1）c ?，

從而a1>a2>c ?. 故當(dāng)n=1時，不等式an>an+1>c ?成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N*）時，不等式ak>ak+1>c ?成立，則

當(dāng)n=k+1時，f（ak）>f（ak+1）>f（c ?），即有ak+1>ak+2>c ?.

所以當(dāng)n=k+1時，原不等式也成立.

綜合（1）（2）可得，對一切正整數(shù)n，不等式an>an+1>c ?成立.

點評：本解法關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)f（x）= ?x+ ?x1-p，x≥c ?，利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性和不動點，有一定的技巧性.

解法3：先證有界性，再證單調(diào)性

先用數(shù)學(xué)歸納法證明：an>c ?.

（1）當(dāng)n=1時a1>c ?成立;

（2）假設(shè)n=k（k≥1，k∈Z）時，ak>c ?成立，

由an+1= ? an+ ?a ?易知an>0，n∈N*，

則n=k+1時，ak+1= ? ak+ ?a ?= ? ≥ ?=c ?. 當(dāng)且僅當(dāng)ak=c ?取等號，因為ak>c ?，所以ak+1>c ?.

綜合（1）（2）可得，對一切正整數(shù)n，不等式an>c ?成立.

再證單調(diào)性（利用結(jié)論an>c ?）.

作差an+1-an=- ?an+ ?<- ?c ?- ?=0，所以an+1

綜上所述，an>an+1>c ?，，n∈N*.

點評：該解法涉及多元均值不等式，用到課本中的結(jié)論. 事實上，課本選修4-5不等式選講（北師大版）第12頁的結(jié)論： ?≥ ?，人教版和其他版本也都有類似結(jié)論，可能廣大師生沒有足夠重視.

背景分析

本題第（Ⅰ）問源于課本選修4-5不等式選講（北師大版）第38頁的貝努利不等式定理.而貝努利不等式在人教A版課本4-5第52頁例3后面的說明中也明確提到. 事實上，本題就是考查貝努利不等式：（1+x）n≥1+nx（x≥-1，n∈N*）的證明和遷移應(yīng)用. 貝努利不等式的形式簡單、內(nèi)涵豐富，應(yīng)用廣泛，在自主招生或競賽中頻頻出現(xiàn)，在高考試卷中也曾露面. 2012年和2013年高考數(shù)學(xué)湖北卷理科壓軸題也是以貝努利不等式為背景，其實，筆者認(rèn)為今年的安徽高考壓軸題，無論是選材，還是立意都與2007年湖北理21題十分相似.

（2007年湖北理21題）已知m，n為正整數(shù)，

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>-1時，（1+x）m≥1+mx;

（2）對于n≥6，已知1- ? ?< ?，求證：1- ? ?< ? ?，m=1，2，3，…，n;

（3）略.

略解：（1）證明從略;（2）當(dāng)n≥6，m≤n時，由（1）得1- ? ?≥1- ?>0，又1- ? ?≤1- ? ? ?=1- ? ? ?< ? ?.

錯解分析

本題考生思維受阻與錯解主要表現(xiàn)在：

第（Ⅰ）問典型錯解：

錯解1：由二項式定理得：

（1+x）p=1+px+C ?x2+C ?x3+…+C ?xp（p>1，n∈N*）.

因為C ?x2+C ?x3+…+C ?xp>0，所以（1+x）p>1+px，

或（1+x）p=1+px+C ?x2+C ?x3+…+C ?xp>1+px.

也有同學(xué)分類討論①x>0，②-1

錯解2：令f（x）=（1+x）p-1-px，求導(dǎo)f ′（x）=p（1+x）p-1-p，當(dāng)x>-1且x≠0時，f ′（x）>0，所以f（x）是增函數(shù)，故f（x）>f（-1）=p-1>0.

第（Ⅱ）小問典型錯解：先證an>an+1，后證an>c ?.多數(shù)考生胡亂地論證單調(diào)性，接著草率結(jié)尾，或者陷入循環(huán)論證.

點評：以上錯解可見學(xué)生對數(shù)學(xué)基本知識、基本方法掌握得不牢，解題的方法不夠靈活，分析解決具體問題的能力不強，解題憑感覺，缺乏數(shù)學(xué)的理性，未能把握數(shù)學(xué)學(xué)科特點、思維方式.

教學(xué)啟示

1. 重視思維訓(xùn)練？搖

本題出錯或者無從下手的原因除時間緊外，筆者認(rèn)為最重要的是學(xué)生思維能力不強，達不到本題要求的水平. 數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的靈魂. 所以，在平時的教學(xué)中，教師要重視思維訓(xùn)練，盡可能多開展一題多解等教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，促進學(xué)生發(fā)散性思維能力的發(fā)展和靈活多變的思維品質(zhì)的養(yǎng)成，形成創(chuàng)新意識和能力. 那么，學(xué)生在考試時就不會因題目見“新”色變，學(xué)生的靈活應(yīng)變能力就會增強. 例如，本題就是一個難得的好題，解題入手較寬，可以從不同的角度探究試題的答案. 可是，很多考生只能聯(lián)想到二項式展開，陷入困境，無功而返.

事實上，面對不等式的證明問題，學(xué)生應(yīng)該能迅速聯(lián)想到不等式的證明方法，如比較法、構(gòu)造法，放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等，然后逐一篩選、比較，選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌?，運用相關(guān)的知識和方法完成試題解答. 如本題第（Ⅰ）問就有四種合適的角度可選，從而產(chǎn)生四種不同的解法.

然而結(jié)果顯示，很多考生面對本題顯得無能為力，或者空白，或者想到哪兒就胡亂寫點兒，明知不對，卻不知變通（根本是思維僵化，不能變通），一條道走到底，撞了“南墻”也不回頭.

2. 重視回歸課本

高考數(shù)學(xué)試題具有“源于教材，但高于教材，題在書外，但根在書里”的特點，因而在高三復(fù)習(xí)中需要時刻注意立足教材，回歸課本. 課本是數(shù)學(xué)知識的重要載體，凝聚著許多專家的智慧，引導(dǎo)學(xué)生回歸課本，有利于數(shù)學(xué)知識的識記和理解. 只有吃透課本上的例題、習(xí)題，才能全面、系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)知識和基本方法，構(gòu)建起數(shù)學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò)，以不變應(yīng)萬變. 重視課本中的例題、習(xí)題所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法的研究，才能更好地發(fā)揮課本的教學(xué)功能，才能更好地引導(dǎo)學(xué)生體會解決問題的思路、策略和方法，才能更好地發(fā)展學(xué)生的思維能力.

今年安徽卷三角函數(shù)解答題是課本中的題目稍加改編，然而考生做得并不好. 高考卷很多題目都來源于課本，這對一線教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用，它告誡我們高三復(fù)習(xí)迎考不能舍本求末而把課本束之高閣，要從題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來. 還記否，陜西的高考曾考余弦定理的證明，當(dāng)年不是贊揚聲不斷嗎？因此，對今年安徽高考考課本上的貝努利不等式的證明，我們應(yīng)該給點掌聲.

3. 重視往年考題

高考試題是許多專家共同努力的結(jié)果，是專家集體智慧的結(jié)晶. 當(dāng)年高考試題的命制往往會參考近幾年的高考題與競賽題.

所以，我們復(fù)習(xí)備考要關(guān)注往年的高考試題，不僅關(guān)注本省的，還要關(guān)注外省試題，特別是有著極好背景的、內(nèi)涵豐富的，解法優(yōu)美的試題. 解題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須解題，但解題不是“多多益善”，精選題目（包括課本上的例題、習(xí)題或近幾年的高考真題），多角度思考，多方面聯(lián)系，深層次探究，才能事半功倍！

題后反思

高考壓軸題凝聚著命題專家的智慧，蘊涵著數(shù)學(xué)的精神、思想和方法. 從壓軸題的功能看，應(yīng)該具有必要的難度和較強的區(qū)分度，有利于高校選拔優(yōu)秀人才. 但是，近年來的高考數(shù)學(xué)試卷已從壓軸題的“一題把關(guān)”轉(zhuǎn)變?yōu)榉稚㈦y度“多題把關(guān)”，層次分明有臺階，入口寬，上手易，只是深入難，即使難，解題所用的方法也是通性通法和常規(guī)常法. 今年安徽高考壓軸題第（Ⅰ）問是課本例題，第（Ⅱ）問用數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等常用方法. 所以，教師要提高壓軸題研究的意識和水平，幫助學(xué)生掌握壓軸題的答題策略;指導(dǎo)學(xué)生研究壓軸題，挑戰(zhàn)壓軸題，征服壓軸題，消除對壓軸題的心理障礙，樹立解答壓軸題的信心，冷靜思考，仔細分析，考試會得到滿意的結(jié)果和分?jǐn)?shù).