李偉偉，王 莉，張 琳，劉 進(jìn)

（1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051；2.解放軍95425部隊(duì)，云南 曲靖 655000）

0 引言

支持向量機(jī)（SVM）是基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的新學(xué)習(xí)方法［1］，最初用于解決二值分類問(wèn)題，但現(xiàn)實(shí)中多分類問(wèn)題居多。因此，將二值分類算法推廣到多分類領(lǐng)域是當(dāng)前SVM 研究的重要內(nèi)容之一［2］。SVM 的多分類擴(kuò)展策略主要分兩大類：一是整體優(yōu)化法，將所有SVM 參數(shù)優(yōu)化在一個(gè)公式中，該方法求解復(fù)雜，解決多分類問(wèn)題很少應(yīng)用；二是組合學(xué)習(xí)法，將SVM 按不同策略組合成多類分類器，例如一對(duì)多法、一對(duì)一法、決策導(dǎo)向無(wú)環(huán)圖法和二叉樹(shù)法等［3］。一對(duì)多法運(yùn)算量過(guò)大，一對(duì)一法所需SVM數(shù)目過(guò)多，決策導(dǎo)向無(wú)環(huán)圖法存在決策偏好的問(wèn)題，二叉樹(shù)法結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)會(huì)影響多類分類器的分類精度［4］。

目前，對(duì)于二叉樹(shù)支持向量機(jī)算法結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的問(wèn)題已有一定研究。文獻(xiàn)［5-6］根據(jù)各類樣本在高維特征空間的分布情況設(shè)計(jì)分類順序，分布范圍廣的類型首先被識(shí)別，就是先把樣本空間中最容易識(shí)別的類型識(shí)別出來(lái)。另外，一種依賴類別優(yōu)先級(jí)的多類分類器可根據(jù)各類型發(fā)生頻率的高低排序確定二叉樹(shù)的結(jié)構(gòu)，即發(fā)生概率較高的類別先被識(shí)別出來(lái)。但上述算法僅考慮了某一種影響因子對(duì)分類精度的影響，不夠客觀、全面，因此分類器的結(jié)構(gòu)不能使分類精度達(dá)到最優(yōu)。本文針對(duì)上述問(wèn)題，提出了將AHP和二叉樹(shù)SVM 相結(jié)合的多故障分類算法。

1 AHP和二叉樹(shù)SVM 的基本原理

1.1 AHP

層 次 分 析 法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是美國(guó)著名運(yùn)籌學(xué)家Satty 等人于20 世紀(jì)70年代提出的一種定性與定量分析相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策分析方法?；舅枷胧前褯Q策問(wèn)題的相關(guān)元素按照支配關(guān)系形成層次結(jié)構(gòu)，將評(píng)估目標(biāo)分解成一個(gè)多級(jí)指標(biāo)，并通過(guò)引入1～9的比例標(biāo)度對(duì)各個(gè)因素的相對(duì)重要性給出判斷［7］。表1 為不同比例標(biāo)度的含義。

表1 判斷矩陣的比例標(biāo)度Tab.1 Proportion scale of judgment matrix

層次分析法通過(guò)將復(fù)雜問(wèn)題分解為若干層次和若干因素，在各因素之間進(jìn)行簡(jiǎn)單的比較和計(jì)算，得出不同方案的權(quán)重，為最佳方案的選擇提供依據(jù)［8］。實(shí)施步驟主要有明確問(wèn)題，建立遞階層次結(jié)構(gòu)，構(gòu)造判斷矩陣，計(jì)算權(quán)重值，進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，得到各方案對(duì)總目標(biāo)的權(quán)重值。

層次分析法不僅能夠綜合考慮評(píng)價(jià)體系中各層因素的重要程度使各指標(biāo)權(quán)重趨于合理，而且更大的優(yōu)勢(shì)在于能夠充分利用專家的主觀意見(jiàn)。

1.2 二叉樹(shù)SVM

二叉樹(shù)SVM 分類原理如下：首先通過(guò)構(gòu)造二叉樹(shù)將多分類問(wèn)題分解成一系列二值分類問(wèn)題，然后使用SVM 實(shí)現(xiàn)二分類。二叉樹(shù)SVM 進(jìn)行訓(xùn)練和測(cè)試時(shí)，從根節(jié)點(diǎn)的SVM 開(kāi)始分類，按照一定的分類順序依次識(shí)別。假如有1，2，…，k種模式，對(duì)k種模式進(jìn)行分類，需k-1個(gè)SVM，結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 二叉樹(shù)SVM 結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of binary tree SVM

二叉樹(shù)SVM 對(duì)于測(cè)試樣本無(wú)需經(jīng)過(guò)所有二值分類器，只要識(shí)別出類別即可停止運(yùn)算，從而節(jié)省了測(cè)試時(shí)間。在圖1 所示分類器中，第1 個(gè)SVM 用于將第1類從1，2，…，k 類別中區(qū)分出來(lái)，第2 個(gè)SVM 將第2類從2，3，…，k 類別中區(qū)分出來(lái)，依此類推，直到第k-1 個(gè)SVM 將最后兩個(gè)類別區(qū)分開(kāi)。圖1所示分類器只是許多分類策略中的一種，分類順序?yàn)?，2，…，k，共有k！種分類順序，分別對(duì)應(yīng)k！種結(jié)構(gòu)，不同的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)決定了不同的分類精度。將分類器用于模式識(shí)別時(shí)，可通過(guò)合理設(shè)計(jì)二叉樹(shù)的結(jié)構(gòu)提高分類器的分類精度。

2 基于AHP和二叉樹(shù)SVM 的算法

基于AHP 和二叉樹(shù)SVM 的多故障分類算法中，AHP綜合多個(gè)指標(biāo)衡量所有故障的價(jià)值度，對(duì)每一類故障得出一個(gè)權(quán)重值，權(quán)重大小決定了故障識(shí)別的先后順序，基于此順序構(gòu)建二叉樹(shù)SVM 的結(jié)構(gòu)。

2.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)對(duì)分類精度的影響

二叉樹(shù)支持向量機(jī)的結(jié)構(gòu)并不是唯一的，不同的結(jié)構(gòu)會(huì)導(dǎo)致不同的分類結(jié)果和分類精度。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如何影響分類精度，下面簡(jiǎn)單分析之。

以圖1為例，假設(shè)各層劃分正確率分別為p1，p2，…，pk，類別劃分正確率為l，則所有故障類別的劃分正確率為：

由式（1）可得

即二叉樹(shù)分類器越底層，SVM 識(shí)別正確率越低；而且下層SVM 識(shí)別率依賴于上層，只有使上層SVM 識(shí)別正確，下層SVM 的識(shí)別率才能得到保證。

基于此特點(diǎn)，只有保證識(shí)別率高的類別處于分類器上層，才能總體上提高整個(gè)分類器的分類精度。先將樣本空間中最易被分割的類識(shí)別出來(lái)以及采用最大投票機(jī)制算法構(gòu)造二叉樹(shù)都是基于此原因。

因此，本文改進(jìn)算法通過(guò)建立一套評(píng)價(jià)體系為各類別設(shè)定權(quán)重值，根據(jù)權(quán)重值對(duì)所有類別排序，使權(quán)重大的類別處于分類器的上層，符合上述特點(diǎn)。這樣確定下來(lái)的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)依賴于各個(gè)類別的權(quán)重量，相比較隨機(jī)確定的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)，具有更好的分類性能。

2.2 基于AHP和二叉樹(shù)SVM 的多故障分類算法

為了便于問(wèn)題說(shuō)明，直接以發(fā)電機(jī)軸承的故障診斷作為案例闡述改進(jìn)算法，主要步驟如下：

1）建立層次結(jié)構(gòu)

對(duì)于電機(jī)軸承的故障診斷問(wèn)題，在高維特征空間中，影響分類精度的因素主要有類內(nèi)樣本分布范圍、類間樣本分布距離等因素。其中，類內(nèi)樣本分布范圍指同一類別樣本在高維特征空間的分布范圍，范圍越大，被識(shí)別的概率越高；類間樣本分布距離指在高維特征空間中，不同類別分布范圍之間的距離，兩者距離越大，越容易被分割開(kāi)。結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行診斷時(shí)，還需要考慮故障發(fā)生概率、診斷故障后的挽回?fù)p失等。

層次分析法模型分為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層，其中，目標(biāo)層為故障的價(jià)值度；準(zhǔn)則層為衡量故障的影響因子：各種故障在高維特征空間的樣本分布范圍B1，故障發(fā)生的頻率B2，診斷挽回的損失B3以及各類故障在高維特征空間樣本的類間分布距離B4，多個(gè)影響因子的選擇使得到的權(quán)重是故障識(shí)別率，實(shí)際發(fā)生概率，理論分割難易程度的集中體現(xiàn)；方案層故障狀態(tài)包括：正常、內(nèi)圈故障、外圈故障、滾珠故障。層次結(jié)構(gòu)如圖2所示。

2）構(gòu)造判斷矩陣

為把定性分析的結(jié)果量化，將同層次元素對(duì)于上層某一準(zhǔn)則的重要性進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造判斷矩陣

圖2 軸承故障診斷的層次結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Hierarchical structure of bearing fault diagnosis

式（3）中，aij是元素ai和aj相對(duì)于準(zhǔn)則層的重要性的比值，判斷矩陣A 具有下列性質(zhì)：

同層次元素的重要程度如何，根據(jù)表1中程度的不同按1～9的比例標(biāo)度賦值。本文軸承故障中，基于診斷經(jīng)驗(yàn)構(gòu)造準(zhǔn)則層B 相對(duì)目標(biāo)A 的判斷矩陣為：

3）計(jì)算權(quán)重值

用判斷矩陣求權(quán)重的方法有很多種，包括和法、最小夾角法和特征向量法等，本文使用特征向量法。首先，計(jì)算判斷矩陣A 的最大特征值λmax；然后，根據(jù)式（6）求相應(yīng)正特征向量（分量全大于0的特征向量）。

式中，λmax為矩陣A 的最大特征值，W 為其特征向量，將其進(jìn)行歸一化處理，即得權(quán)重向量。

經(jīng)計(jì)算，A 的最大特征值為λmax=4.043，權(quán)重向量為W（A）= （0.520，0.201，0.201，0.078）。

4）矩陣的一致性檢驗(yàn)一致性檢驗(yàn)的步驟：

①計(jì)算判斷矩陣的一致性指標(biāo)

②從表2中查找平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI

表2 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)Tab.2 Random index

③計(jì)算一致性比例CR

若CR＜0.1，認(rèn)為A 具有滿意的一致性，接受A；否則，放棄A 或?qū) 的數(shù)據(jù)做適當(dāng)調(diào)整。經(jīng)檢驗(yàn)得CR=0.016＜0.1，表明具有可接受的一致性。

5）計(jì)算合成權(quán)重

上述計(jì)算得到的只是準(zhǔn)則層B 中各元素相對(duì)目標(biāo)A 的權(quán)重向量，最終目的是要得到方案層C 中各元素對(duì)于目標(biāo)A 的權(quán)重向量。因此，分別構(gòu)造方案層對(duì)于準(zhǔn)則層元素的判斷矩陣B1，B2，B3，B4，然后按上述方法計(jì)算權(quán)重向量得

則合成權(quán)重為：

式（10）中，α1、α2、α3、α4分別為W（A）的四個(gè)分量，得W = （0.151，0.238，0.210，0.401）。經(jīng)矩陣的一致性檢驗(yàn)得CR=0.024＜0.1，由此說(shuō)明合成權(quán)重具有良好的一致性。

6）確定二叉樹(shù)SVM 的結(jié)構(gòu)

依據(jù)上述故障的權(quán)重值對(duì)故障類型進(jìn)行排序，權(quán)重值大的類型優(yōu)先診斷，保證將權(quán)重值大的類別首先識(shí)別出來(lái)。

改進(jìn)算法將AHP和二叉樹(shù)SVM 結(jié)合起來(lái)，充分利用AHP的主觀優(yōu)勢(shì)確定權(quán)重，為模型結(jié)構(gòu)的建立提供依據(jù)?？朔薃HP過(guò)分依賴專家主觀判斷的缺點(diǎn)，同時(shí)彌補(bǔ)了二叉樹(shù)SVM 不能反映決策者偏好的缺陷。兩種算法的結(jié)合能夠充分發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)，克服算法本身存在的缺陷。

3 仿真驗(yàn)證

故障診斷過(guò)程主要包括故障特征提取和模式識(shí)別兩大步驟，利用小波包分解得各頻帶分量的能量，歸一化處理得到特征向量，將其作為SVM 的輸入進(jìn)行故障模式識(shí)別。下面將改進(jìn)算法用于發(fā)電機(jī)軸承的故障診斷，診斷模型如圖3所示。

圖3 基于AHP和二叉樹(shù)SVM 的診斷模型Fig.3 Diagnosis model based on AHP and binary tree SVM

3.1 特征向量的提取

對(duì)于正常、外圈故障、內(nèi)圈故障和滾珠故障4種狀態(tài)各提取50組樣本數(shù)據(jù)，其中40組用于訓(xùn)練，另外10組用于測(cè)試。處理和提取故障特征向量的步驟如下：

1）本文實(shí)驗(yàn)所用的實(shí)測(cè)軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)來(lái)自美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)的電氣工程實(shí)驗(yàn)室［9］。如圖4 所示為一組不同故障狀態(tài)下的樣本圖。

2）采用db3小波對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行3層小波包分解，得到8個(gè)子頻帶的小波包分解系數(shù)。以一組外圈故障信號(hào)為例進(jìn)行小波包分解，如圖5所示。

3）計(jì)算圖5中8個(gè)頻帶的能量值，進(jìn)行歸一化處理得故障的特征向量如式（11）。

式（11）中，E3i（i=0，1，…，7）為各頻帶能量值，E 為能量總和。

4）重復(fù)上述步驟，提取多組特征向量。

3.2 多類分類器的構(gòu)造

建立故障樣本集：（xi，yi），xi∈R8為樣本輸入，yi∈｛1，2，3，4｝為樣本輸出，代表四種故障類型，i=1，2，3，4。

由合成權(quán)重W = （0.151，0.238，0.210，0.401）判斷軸承故障診斷的順序?yàn)椋簼L珠故障、內(nèi)圈故障、外圈故障、正常。所以二叉樹(shù)SVM 診斷結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖4 振動(dòng)時(shí)域波形圖Fig.4 Vibration time-domain waveform

圖5 小波包分解圖Fig.5 Wavelet packet decomposition

圖6 二叉樹(shù)SVM 診斷結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Diagnosis structure of binary tree SVM

3.3 故障模式識(shí)別

建立二叉樹(shù)SVM 的結(jié)構(gòu)后，進(jìn)行故障模式識(shí)別，步驟如下：

1）確定影響SVM 分類性能的參數(shù)。本文SVM 的核函數(shù)選取徑向基核函數(shù)（RBF）

式（12）中，δ為核寬度。此外，需確定懲罰因子c。

參數(shù)δ和c 的選擇直接影響SVM 的分類精度和泛化能力。為確保快速有效地尋找最優(yōu)參數(shù)（δ，c），采用遺傳算法尋優(yōu)得到參數(shù)組合（4，224）。

2）輸入訓(xùn)練樣本，完成訓(xùn)練過(guò)程。

3）將測(cè)試樣本輸入訓(xùn)練好的二叉樹(shù)SVM，檢驗(yàn)識(shí)別能力。

4）在相同的樣本數(shù)據(jù)和參數(shù)設(shè)置的前提下，運(yùn)用不同多分類算法進(jìn)行故障診斷。

將各類算法進(jìn)行故障診斷的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)比結(jié)果如表3所示。其中M1代表本文算法，M2與M3均代表二叉樹(shù)SVM 算法，M2算法中二叉樹(shù)的結(jié)構(gòu)根據(jù)故障頻率設(shè)計(jì)，M3 算法中二叉樹(shù)的結(jié)構(gòu)根據(jù)樣本分布范圍設(shè)計(jì)，M4代表一對(duì)多法，M5代表一對(duì)一法，M6代表決策導(dǎo)向無(wú)環(huán)圖法。

表3 不同多分類算法診斷結(jié)果統(tǒng)計(jì)Tab.3 Diagnosis statistics of different classification algorithms

通過(guò)表3中的對(duì)比數(shù)據(jù)可知，一對(duì)一法診斷準(zhǔn)確率最高，達(dá)到96.8%，但耗時(shí)相對(duì)較長(zhǎng)；其次為改進(jìn)算法，診斷準(zhǔn)確率為95.9%，同時(shí)改進(jìn)算法診斷時(shí)間短，需要的SVM 數(shù)量少，這一點(diǎn)有利于SVM的推廣。與另外幾種算法作比較，改進(jìn)算法無(wú)論在診斷準(zhǔn)確率和診斷時(shí)間方面均占優(yōu)勢(shì)。因此，綜合多個(gè)衡量指標(biāo)，基于AHP和二叉樹(shù)SVM 的多故障分類算法優(yōu)于其他幾種算法。

4 結(jié)論

本文提出了將AHP 和二叉樹(shù)SVM 相結(jié)合的多故障分類算法。該算法綜合考慮了影響分類精度的多個(gè)影響因子，運(yùn)用層次分析法計(jì)算各類故障的權(quán)重，根據(jù)權(quán)重值設(shè)計(jì)了多類分類器的結(jié)構(gòu)。仿真驗(yàn)證表明，該算法適合進(jìn)行多類故障診斷，相比較一對(duì)一法、一對(duì)多法等算法診斷效率更高，診斷精度更好，推廣應(yīng)用前景較廣。

［1］統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的本質(zhì)［M］.張學(xué)工，譯.北京：清華大學(xué)出版社，2000.

［2］胥永剛，孟志鵬，陸明.基于雙樹(shù)復(fù)小波包變換和SVM的滾動(dòng)軸承故障診斷方法［J］.航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2014，29（1）：67-73.

［3］W idodo A，Yang B S.Application of nonlinear feature extraction and support vector machines for fault diagnosis of induction motors［J］.Expert Systems with Applications，2007，33（1）：241-250.

［4］康守強(qiáng)，王玉靜，姜義成，等.基于超球球心間距多類支持向量機(jī)的滾動(dòng)軸承故障分類［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2014，34（14）：2319-2325.

［5］袁勝發(fā)，褚福磊.次序二叉樹(shù)支持向量機(jī)多類故障診斷算法研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28（3）：51-54.

［6］趙海洋，徐敏強(qiáng)，王金東.改進(jìn)二叉樹(shù)支持向量機(jī)及其故障診斷方法研究［J］.振動(dòng) 工程學(xué)報(bào)，2013，26（5）：764-770.

［7］謝金明.水庫(kù)泥沙淤積管理評(píng)價(jià)研究［D］.北京：清華大學(xué)，2012.

［8］梁晨.子午線輪胎綜合接地性能評(píng)價(jià)體系與方法研究［D］.鎮(zhèn)江：江蘇大學(xué)，2013.

［9］The Case Western Reserve University Bearing Data Center Website.Bearing Data Center Seeded Fault Test Data［EB／OL］.［2007-11-27］.http：／／www／eecs／cwru／edu／laboratory／bearing／.