☉江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級中學 張紅軍

對于說題活動的初探與思考

☉江蘇省南京市溧水區(qū)第二高級中學 張紅軍

說題是近年來比較流行的一種考核教師課堂解題、講題能力的一種新型方式，其在一定時間內(nèi)給予教師某個問題，進行獨立的分析、解答、歸納和小結(jié).這種模式漸漸為各地考查教師業(yè)務能力水平所采用，因此深受教師重視.原課程標準指定組組長東北師大史寧中教授關(guān)于新型說題活動給出了這樣的評價：我覺得說題是一個很好的創(chuàng)新活動，它把教師之間的水平層次清晰地區(qū)分開來，給那些優(yōu)秀教師提供了寬闊的表現(xiàn)舞臺.從知識上來說，說題正是我們的數(shù)學為什么要這么教，教的那些方法是否合理，解題中提供給學生什么樣的視角，這些都是說題最有價值的部分.因此，說題活動是高中數(shù)學一種比較新型的教學交流方式，近年來受到教師交流活動或職稱評選活動的關(guān)注.那么何為說題？如何說題？說題過程中如何展示教師的問題處理能力？如何體現(xiàn)教師的專業(yè)化能力與水平？這些都值得教師在說題活動前做充分的了解和嘗試.近期筆者以自身某次說題活動的參與，談談說題活動對自身的一些啟示和思考，旨在拋磚引玉，與大家交流.

一、題源

題目 設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知a1=1，Sn+1= 4an+2，則a12=__________.

本題是緣自全國卷改編而來的一道高考試題，是本次說題活動給出的一道基本數(shù)列題.從初步分析來看：本數(shù)列問題解決的基本知識在于作差之后等比數(shù)列知識的運用，其基本思想在于數(shù)列的作差思想、整體思想、構(gòu)造思想等的運用.從近年各地高考、競賽試題來看，數(shù)列中遞推數(shù)列通項的求解一直是熱點和難點.

二、說題

諸如文1、文2等比較關(guān)注的是教師如何指導學生進行說題，其目的旨在提高學生對問題的理解能力和解決的方向性、知識的整合度及思維的發(fā)散性等，而本次是以教師說題為主的教學活動，有所不同.

首先，談談說題的界定：說題是什么？筆者認為就是要求教師通過分析，將問題從審題—分析—解答—小結(jié)—提升等過程按照一定的規(guī)律進行語言的口述，在這個過程中要求說題者將整個對試題的分析思維過程進行暴露，即“說數(shù)學思維”.說題是近年比較流行、高效的考查教師基本課堂教學能力的一種方式，要求利用教學語言口述探尋解題的思維過程、對問題分析處理的想法，以及針對這一問題進行的挖掘和提升，進一步對教師專業(yè)化素養(yǎng)的考查等，其作用是大大方便教師間的交流、節(jié)省大量的教學課時、理清教學的思路、提高教學的效率，這樣的新型教研活動值得我們做一定的思考與嘗試.

羅增儒教授關(guān)于解題教學提出了一些嘗試和建議（文3），其指出：解數(shù)學題要將陌生的條件、結(jié)論轉(zhuǎn)化為通俗易懂的數(shù)學語言.按照這一想法，筆者類比思考說題正是將此形式進行語言表達的一種態(tài)勢，即利用教學語言口述探尋解題通路的思維過程，以及所采納的數(shù)學思想方法和解題策略，并在此基礎(chǔ)上進行演繹和歸納，因此往往涉及下面幾個方面.

1.說題意

說出試題考查的背景、意圖、隱含條件、處理方式、處理技巧等，是說明題意的基本要求.數(shù)列知識板塊是高考數(shù)學的重點和難點，其所占分值約15%，小題主要考查數(shù)列基礎(chǔ)知識和基本技能，解答題側(cè)重考查數(shù)學思想方法在數(shù)列中的運用，諸如：整體思想進行構(gòu)造、函數(shù)思想研究數(shù)列性質(zhì)、數(shù)列求和中的倒序相加等.

從本題來看，本題的意圖言簡意賅.首先，從基本處理而言，數(shù)列前n項和與通項之間的作差思想，在得到遞推數(shù)列關(guān)系之后，進一步利用整體構(gòu)造進行處理.對本題的后半階段處理，我們知道用構(gòu)造法求數(shù)列通項是遞推數(shù)列考查的重點和難點，教師對問題的處理、解決是站在教師自身的角度而言的，將基本方法進行闡述的同時，要立足于學生思維、考慮問題的角度再進行深思研究.

2.說思維

簡述解決試題探索過程中的思維方法和心理活動過程，這是說思維的基本要求.一般在指導學生解題思維培養(yǎng)途徑上常常使用下面的方式.

（1）運用直覺思維，從類似問題中探索解題途徑、滲透一般問題的解題規(guī)律，即模式識別策略.

（2）采用“庖丁解牛”策略，將問題分解為若干個小問題，逐一突破.

（3）分析綜合策略，從條件出發(fā)、結(jié)論思考，對條件進行順推、結(jié)論進行逆推，尋找問題突破點.

（4）轉(zhuǎn)化策略，將命題不斷進行轉(zhuǎn)化、變換，轉(zhuǎn)化為熟悉的、已知的問題進行突破.

縱觀本題，參加本題說題活動的老師給出了多種不同的解決思路，水平非常了得，但筆者思考：說題活動并非一味提倡一題多解，更要在說題過程中將學生能夠解決的方法，其使用這樣方法的依據(jù)說清楚，還要在探索解題過程中對能夠使用的解法和構(gòu)建這些解法的心理機制進行分析，這些更值得教師去關(guān)注.

一般，針對本題最常見的學生解題心理機制有：

（1）利用作差思想，已知Sn+1=4an+2 ①，則當n≥2時，有Sn=4an-1+2 ②，②－①得an+1=4an-4an-1.

（2）對an+1=4an-4an-1進行構(gòu)造，這里的構(gòu)造借助學生對等比數(shù)列、等差數(shù)列的整體認知而定，既可以利用等差構(gòu)造，也可以等比構(gòu)造，相比而言，學生往往更喜歡用等差整體進行構(gòu)造，但是等比整體的構(gòu)造更具備解決遞推數(shù)列的一般性.

利用等差數(shù)列的構(gòu)造是學生較為熟悉的一種問題解決方案，教師必需將其講清楚，以及學生使用該種方法時的心理機制也可以適當提及.

師：令bn=an+1-2an，則bn=2bn-1，所以｛bn｝是首項為b1=3，公比為2的等比數(shù)列.可得bn=an+1-2an=3·2n-1?，所以數(shù)列｝是首項為，公差為的等比數(shù)列，所以，所以an=（3n-1）·2n-2，可得a12=35·210.

從一題多解的角度來說，筆者認為教師需要再說明解決本題的另一種基本方法，等比數(shù)列整體構(gòu)造，這種方法并不太完全符合學生的心理預期，但是后續(xù)解決類似問題時更具備一般性.

師：由上可知an+1=2an+3·2n-1（*），令an+1+λ（n+1）·2n+1= 2（an+λn·2n），展開合并同類項得an+1=2an-4λ·2n-1，利用待定系數(shù)法，可知-4λ=3?λ=-，將λ=-代入所令，得，所以是以為首項，2n-1為公比的等比數(shù)列，易得2n-1?an=（3n-1）·2n-2，可得a12=35·210.

3.說思路

說出本題解決的一般性思路來得更為重要，針對本題而言，教師要以第二種方法進行問題一般性的思路說明，盡可能進行推廣.

（1）主要思想：整體思想、構(gòu)造思想，運算中注意如何利用整體性解決問題.

（2）考慮到數(shù)列an+1=pan+f（n）這一模型的重要性，開展說題活動的一般性思路說明.

（3）給出f（n）為一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型的通用型問題解決指導.

4.說規(guī)律

通過數(shù)列遞推求通項，諸如an+1=pan+f（n）模型的一般性規(guī)律是利用等比數(shù)列的整體性構(gòu)造解決，筆者概括出一般性的解決方式，并交流心得體會.

（1）f（n）為一次函數(shù)時，即an+1=pan+bn+c，只需構(gòu)造an+1+ λn+u=p［an+λ（n-1）+u］，利用待定系數(shù)求出λ與u即可.

（2）f（n）為二次函數(shù)（或二次以上時），只需構(gòu)造an+1+ λ（n+1）2+u（n+1）+v=p（an+λn2+un+v），利用待定系數(shù)求出λ、u與v即可.

（3）當an+1=pan+qn時，也可按等比建構(gòu)，當p=q時，即an+1= pan+pn，構(gòu)造an+1+λ（n+1）pn+1=p（an+λnpn），易得λ=-，故是等比數(shù)列；當p≠q時，構(gòu)造an+1+λqn+1=p（an+ λqn），易得λ=，故是等比數(shù)列.

有興趣的同學可以用上述一般性的規(guī)律解決下列問題.

（1）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通項an.

（2）已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+n2，求通項an.

（3）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn，求｛an｝的通項公式.

因此，現(xiàn)代意義的解題教學特點：更注重解題的過程、策略及思維品質(zhì)的培養(yǎng)；更注重解題過程中的情感、態(tài)度、價值觀，從變化中尋求不變才是教師所追求的和學生需掌握的.

三、思考

在參與本次說題活動中，筆者感受到教師的說題都是以培養(yǎng)學生的知識整合能力為主，注重試題講解多變多樣化為切入，關(guān)注解題過程中數(shù)學思想對學生的引導，關(guān)注一題多解帶來的思維發(fā)散效應，關(guān)注學生的情感、態(tài)度與價值觀等，做出了積極的探索和很大的努力，這些都是很好的嘗試.

但是通過說題活動筆者也發(fā)現(xiàn)，我們有時候在處理說題目標的具體性、適度性和合適性上把握還顯不足，甚至有些混亂，在面對一道具體的數(shù)學題目時，課程標準中的空話、套話切勿對應于具體題目.教師更應該關(guān)心的是如何將本題所涉及的說題目標進行具體地、合理地敘述，這樣比較貼合實際.

按照本次說題教學得到的一些嘗試，筆者認為我們應該將說題目標進行層層遞進式地剖析.

（1）說題的初級目標，主要是教師將問題的思路和解決方法進行敘說，將學生可能存在的解決方案予以呈現(xiàn)，將教師在問題解決過程中的對話交流、問題設(shè)置等進行合理的安排，以符合學生解決問題心理機制為前題下的設(shè)計是符合學生認知心理的，并讓學生進行探究性的嘗試.

（2）說題的中級目標，此時筆者以為，我們在解決說題過程中所反映的基本思想方法應該向?qū)W生予以呈現(xiàn)，以本文中數(shù)列問題為例，教師努力向?qū)W生傳遞的是運用基本數(shù)列（等差、等比）解決未知數(shù)列模型，即轉(zhuǎn)化思想；利用整體構(gòu)造進行問題求解，即整體運用思想等，并對比兩種不同的問題解決方法，鼓勵學生思考、認知哪種方法是更具備一般性、普遍性，進而將問題教學效益最大化.

（3）說題的高級目標，筆者對本文中的數(shù)列問題進行了一般性的推廣，通過自身經(jīng)驗積累、搜集加工、自行編譯一些符合數(shù)列模型的遞歸數(shù)列，利用中級目標得到的問題解決方案和思想方法進行更廣泛問題的開拓、更發(fā)散方向的嘗試，真正將說題效應上升到一種“以點及面”的層面上，使得課堂教學效率大大提升.這里要注意把握好歸納與演繹的度，做到收斂思維與發(fā)散思維交替運用，同化規(guī)律與順應規(guī)律多化循環(huán)，讓學生掌握數(shù)學思維的規(guī)律、特點和方法，在參與思維中發(fā)展能力，在知識、規(guī)律的探索和歸納中形成創(chuàng)新意識.

總之，本次說題活動的嘗試給教師專業(yè)化素養(yǎng)發(fā)展帶來了一個全新的視角，筆者認為我們應該加強高考試題的研究，將有價值的數(shù)學問題通過說題的教學形式予以展示和交流，這樣既發(fā)揮了優(yōu)秀試題的典型性，也大大提高了教師對有價值試題的研究能力，使得教學水平得到進一步的提升.中學數(shù)學特級教師孫維剛的教學觀念：“八方聯(lián)系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底”！筆者想說，正是借用這樣的教學觀念，使得我們說題輔導教師站在更高、更系統(tǒng)的舞臺來指導教學，讓我們的教學之路越走越寬廣.

1.李萍.說題教學的嘗試［J］.數(shù)學通訊，2005（11）.

2.金秀青.說題——讓數(shù)學課堂更精彩［J］.中學數(shù)學（上），2009（6）.

3.羅增儒.數(shù)學的領(lǐng)悟［M］.鄭州：河南科學技術(shù)出版社，1998.F