☉重慶市復(fù)旦中學(xué) 黃益全 陳艷艷

研讀數(shù)學(xué)教材旁白的幾個(gè)切入點(diǎn)*

☉重慶市復(fù)旦中學(xué) 黃益全 陳艷艷

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布實(shí)施為我國(guó)數(shù)學(xué)課程教材改革注入了新鮮活力，尤其旁白等欄目的使用，使教材變得更加豐富多彩和引人入勝，更具文化價(jià)值和育人功能.然而，當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)卻出現(xiàn)一個(gè)較為普遍的現(xiàn)象：教材旁白形同虛設(shè).這種現(xiàn)象的出現(xiàn)，除了與教師的教學(xué)觀念有關(guān)外，還與教師如何研讀并有效運(yùn)用旁白有關(guān).本文擬從旁白研讀的角度，案例式地介紹研讀高中數(shù)學(xué)教材旁白的幾個(gè)切入點(diǎn)，以期為教材這一靜態(tài)的文本賦予生命力，進(jìn)而輔助教師創(chuàng)造性地組織教學(xué).

一、從編寫者對(duì)教材設(shè)計(jì)意圖的角度研讀教材旁白

教材是編者集體智慧的結(jié)晶，是教師教與學(xué)生學(xué)的中介.在教材上出現(xiàn)的任何信息都有它存在的價(jià)值，旁白也不例外.教師的基本功之一就是要揣摩教材編寫者的設(shè)計(jì)意圖，將教材這一“靜態(tài)文本”背后的“故事”詳細(xì)、恰當(dāng)?shù)亟o學(xué)生進(jìn)行解讀和“翻譯”，結(jié)合自己的創(chuàng)造性，構(gòu)建學(xué)生思維馳騁的平臺(tái)，給學(xué)生留下廣闊的思維空間，打造精彩交融的課堂.

案例1：必修4P34的旁白“考查三角函數(shù)的性質(zhì)，就是要研究這類函數(shù)具有的共同特點(diǎn).”

通過研讀，我們可以揣摩教材編寫者設(shè)計(jì)這個(gè)旁白的基本意圖有以下幾點(diǎn).一是利用寥寥幾字，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思考指明了方向，提醒教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)對(duì)這一環(huán)節(jié)“濃墨重彩”.二是揭示并鞏固了研究函數(shù)的一般思路：實(shí)際問題—函數(shù)定義—函數(shù)圖像—函數(shù)性質(zhì)，這種研究思路對(duì)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)研究也不例外.三是在研究了三角函數(shù)的圖像之后，必然要研究三角函數(shù)的性質(zhì)，研究函數(shù)性質(zhì)最常用、最直觀形象的手段就是作出函數(shù)的圖像，再通過對(duì)函數(shù)的圖像進(jìn)行觀察，必要時(shí)證明函數(shù)的性質(zhì).四是三角函數(shù)的圖像對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的歸納與提煉起著舉足輕重的作用，并且周期性是三角函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型的核心性質(zhì)，因而教材把對(duì)周期性的研究放在所有性質(zhì)的首位.五是通過對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)的深層次理解，可以進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來理解、總結(jié)函數(shù)的其他一些性質(zhì)的能力.

二、從知識(shí)本身的角度研讀教材旁白

數(shù)學(xué)知識(shí)是指《課標(biāo)》中規(guī)定的數(shù)學(xué)概念、法則、公理、定理、公式、數(shù)學(xué)方法，以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想等內(nèi)容，它既是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，又是學(xué)生達(dá)成課程目標(biāo)的基本載體.因此，讀懂?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)是讀懂旁白的前提.從知識(shí)本身的角度來研讀教材旁白，可從三個(gè)方面入手：一是弄清知識(shí)本身、知識(shí)的內(nèi)涵和外延，以及與相關(guān)知識(shí)的區(qū)別和聯(lián)系；二是準(zhǔn)確區(qū)分知識(shí)類型，如事實(shí)性知識(shí)、概念性知識(shí)、程序性知識(shí)、元認(rèn)知知識(shí)等；三是正確闡述知識(shí)的上位知識(shí)和下位知識(shí)，明確知識(shí)的來龍去脈.

案例2：必修2P97的旁白“分類討論時(shí)，常按α≠90°和α=90°分類，這樣可以做到不重不漏.”

對(duì)于這個(gè)旁白，涉及兩個(gè)重要知識(shí)：直線的斜率和傾斜角.一是要弄清楚什么是直線的傾斜角：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.二是要弄清楚什么是直線的斜率：若直線的傾斜角為α（0°≤α＜180°）且α≠90°，則直線的斜率為tanα.三是要明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系：傾斜角α= 90°?直線斜率不存在；α≠90°?k=tanα.四是要了解斜率的一些實(shí)際意義：在直角坐標(biāo)系中斜率表示直線與x軸的傾斜程度；在導(dǎo)數(shù)中斜率表示直線的瞬時(shí)變化率；在運(yùn)動(dòng)學(xué)中斜率表示物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)變化速度；在工程問題中斜率表示道路高度的平均變化率等.五是要讓學(xué)生明確直線的斜率為什么要用傾斜角的正切值來刻畫：在工程問題中，道路的傾斜程度是用“坡度”來刻畫的，它表示高度的平均變化率，其大小是用正切值來表示的.因此，用傾斜角的正切值來刻畫斜率可與工程問題中的“坡度”概念保持一致性.教材中的這個(gè)旁白，通過以上五個(gè)方面的研讀，我們就弄清了對(duì)斜率、傾斜角應(yīng)該“教什么”、“如何教”，以及“教到何種程度”，也明確了傾斜角與斜率的上位知識(shí)和下位知識(shí).

三、從數(shù)學(xué)知識(shí)所起作用的角度來研讀教材旁白

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的旁白，從知識(shí)所起作用的角度看，一是提煉數(shù)學(xué)思想方法；二是總結(jié)數(shù)學(xué)解題方法和基本步驟；三是培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)人文精神，逐步培養(yǎng)學(xué)生理性思考的習(xí)慣.數(shù)學(xué)作為一種知識(shí)，它具有廣泛的使用價(jià)值；作為一種文化，它能提升人的精神，增強(qiáng)人的本質(zhì)力量，促進(jìn)人的身心和諧發(fā)展.

案例3：必修1P30的旁白“先對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法.”

該旁白是對(duì)數(shù)學(xué)核心思想方法的提煉，既有數(shù)形結(jié)合思想的滲透和引領(lǐng)，也有合情推理方法的引導(dǎo)，更是對(duì)如何研究函數(shù)性質(zhì)這類數(shù)學(xué)問題的方法總結(jié)，以方便學(xué)生運(yùn)用和理解.該旁白的作用體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：一是明確了涉及函數(shù)性質(zhì)問題的解決方法——作出函數(shù)的大致圖像.二是滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想——先觀察出函數(shù)是否具有某種性質(zhì)，然后作出猜想.三是僅有圖像的觀察和猜想是不夠的，還應(yīng)通過邏輯推理來證明這種猜想的正確性.四是通過作圖—猜想—證明的解題程序，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、樸實(shí)、一絲不茍的學(xué)習(xí)態(tài)度，熏陶學(xué)生理智、自律、嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，養(yǎng)成誠(chéng)實(shí)、求是、剛正不阿的品格.五是對(duì)反比例函數(shù)y=的定義域和單調(diào)性的解決策略，為后續(xù)例4“已知函數(shù)f（x）=（x∈［2，6］），求函數(shù)的最大值和最小值”提供了研究思路：作圖—猜想—證明—求值，學(xué)生應(yīng)勢(shì)而解，學(xué)生的正向思維定勢(shì)得以形成.

四、從文化價(jià)值的角度來研讀教材旁白

新課標(biāo)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面，要求做到“以人為本”“滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)人文精神”.教材通過旁白的方式，力薦一些著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史實(shí)，反復(fù)向?qū)W生展示各種數(shù)學(xué)文化，營(yíng)造濃郁的數(shù)學(xué)文化氛圍，在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，賞析數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，讓學(xué)生接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，感受數(shù)學(xué)的美好，以此培養(yǎng)學(xué)生良好的情感、態(tài)度與價(jià)值觀，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動(dòng)力，關(guān)注數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)觀的形成是現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不可或缺的環(huán)節(jié).

案例4：必修1P16的旁白“函數(shù)符號(hào)y=f（x）是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲在18世紀(jì)引入的.”

教材設(shè)計(jì)此旁白，其主要意圖體現(xiàn)在以下幾點(diǎn).一是教師要通過課堂教學(xué)，將數(shù)學(xué)文化知識(shí)普及到學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)明發(fā)展史及歷史上我國(guó)在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)展中所起的作用.二是通過數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史的介紹，闡明一個(gè)基本觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)的盛衰與國(guó)力的強(qiáng)弱有關(guān).三是要求教師的教學(xué)要時(shí)刻關(guān)注數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，了解數(shù)學(xué)在人類文明和社會(huì)發(fā)展中的推動(dòng)作用，了解數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.四是要求教師的教學(xué)要向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)美.高中新課程把數(shù)學(xué)審美納入課程目標(biāo)，指出新課程應(yīng)“具有一定的數(shù)學(xué)視野，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義”.函數(shù)符號(hào)y=f（x），通過幾個(gè)符號(hào)，把近50余字的含義高度進(jìn)行了刻畫，教師在教學(xué)此概念時(shí)，要通過符號(hào)語言的表述，引導(dǎo)學(xué)生從中體會(huì)數(shù)學(xué)的美，感悟數(shù)學(xué)的藝術(shù)魅力.五是在本節(jié)教材之后，還設(shè)置了關(guān)于“函數(shù)概念的發(fā)展歷程”的閱讀材料，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生去了解、搜集函數(shù)的發(fā)展史，以及有關(guān)數(shù)學(xué)家（如伽利略、萊布尼茲、歐拉等）的故事.在章末又安排了一次“實(shí)習(xí)作業(yè)”，旨在通過合作學(xué)習(xí)的方式，查閱資料，了解函數(shù)形成、發(fā)展的歷史.在新教材中時(shí)刻注意體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，也提示教師在教學(xué)中可以結(jié)合實(shí)際情況滲透得更多.

五、從教學(xué)的角度來研讀教材旁白

我們研究和解讀教材旁白，其主要目的是為教學(xué)設(shè)計(jì)服務(wù)，為課堂教學(xué)服務(wù)，為教學(xué)“補(bǔ)白”作準(zhǔn)備.教師的課堂教學(xué)應(yīng)充分利用旁白來努力調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.在某種程度上，旁白比正文更有趣，形式更活潑，更貼近我們的生活，通過旁白有趣的提問和對(duì)話等，使學(xué)生樂于學(xué)習(xí)，并且從中感到愉悅，得到收獲.

案例5：必修1P50在講分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)的旁白“數(shù)學(xué)中，引進(jìn)一個(gè)新的概念或法則時(shí)，總希望它與已有的概念或法則是相容的.”

一方面，教材以旁白的形式從相容性的角度指明了這種推廣的合理性，以及這個(gè)知識(shí)點(diǎn)這樣安排的緣由.但這種推廣合理性的嚴(yán)密的證明又是超越學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，因而教材沒有給出證明，限于高中學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和接受能力，也沒有必要進(jìn)行證明，只是從數(shù)學(xué)的角度給出了較通俗的說明，指明在數(shù)學(xué)里這種推廣是合理的.另一方面，這個(gè)旁白也從數(shù)學(xué)思想的高度，針對(duì)推廣的合理性，引入一個(gè)新的概念的必要性等進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼f明，指明了數(shù)學(xué)中引進(jìn)新知或法則的基本準(zhǔn)則之一：相容性.其實(shí)，這也是所有學(xué)科的基本準(zhǔn)則.三是為了保證數(shù)學(xué)教材整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的合理性、完備性，所以教材在這些方面作了滲透，教師教學(xué)時(shí)也應(yīng)向?qū)W生進(jìn)行明示，注重培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)人文精神.

總之，高中數(shù)學(xué)教材中的旁白不是可有可無的東西，事實(shí)上，它在學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)中起著相當(dāng)重要的作用，這些作用是正文所無法替代的.研讀教材旁白的幾個(gè)切入點(diǎn)也不是孤立的，對(duì)一個(gè)旁白的研讀同時(shí)從幾個(gè)方面切入，才能進(jìn)行完美的解讀并有效發(fā)揮旁白的功能.作為數(shù)學(xué)教師，我們既要重視教材旁白，精心研讀，更要重視教材“補(bǔ)白”，使“補(bǔ)白”與旁白相得益彰，精彩交融，使我們的課堂更靈動(dòng)，更彰顯人文性.對(duì)高中數(shù)學(xué)教材旁白的研讀，要求我們教師既要從宏觀的角度領(lǐng)會(huì)教材的編寫特點(diǎn)，理清知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的來龍去脈；又要從微觀的角度揣摩教材的編寫意圖，明確教材的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的作用和蘊(yùn)含的文化價(jià)值，實(shí)現(xiàn)教材價(jià)值的最大化；既要從整體到局部，又要做到跳出教材看教材.

1.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)A［M］.北京：人民教育出版社，2011.

2.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

3.譚淇婧.數(shù)學(xué)教材旁白的功能及運(yùn)用研究［D］.重慶：重慶師范大學(xué)，2011.

4.張俊如.對(duì)數(shù)學(xué)教材中旁白作用的認(rèn)識(shí)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)新教材教學(xué)建議，2009（2-3）.

5.何金紅.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)教材分析研究——典例分析人教A版高中數(shù)學(xué)（必修1）［D］.武漢：華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，2012.F

*本文系重慶市渝中區(qū)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度重點(diǎn)課題“人教版初高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材中旁白的研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：2013-001，課題負(fù)責(zé)人：黃益全）的研究成果.