☉山東省沂源縣青少年學(xué)生校外活動(dòng)中心 耿雷生

☉山東省沂源縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 崔春近

于平淡處現(xiàn)“波瀾”于無聲處見“驚雷”
——對一道中考題的賞析與反思

☉山東省沂源縣青少年學(xué)生校外活動(dòng)中心 耿雷生

☉山東省沂源縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 崔春近

教育部在《關(guān)于初中畢業(yè)、升學(xué)考試改革的指導(dǎo)意見》中明確要求，數(shù)學(xué)試題應(yīng)設(shè)計(jì)一定的“開放性問題”，所以開放性的問題在各地市中考題中層出不窮，常見的題型有：給出條件，探究出各種結(jié)論；給出結(jié)論，探究結(jié)論成立的條件；方案設(shè)計(jì)題；解題策略的開放問題……2015年淄博市數(shù)學(xué)中考題第17題，是命制開放性試題上的又一次新的突破，讓人拍案叫絕、贊不絕口.筆者以此題為例，談自己的一點(diǎn)粗淺認(rèn)識(shí).

一、題目

（2015年淄博市中考題·17）對于兩個(gè)二次函數(shù)y1、 y2，滿足時(shí)，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，且二次函數(shù)y2有最小值3，請寫出兩個(gè)符合題意的二次函數(shù)y2的解析式.（要求：寫出的解析式的對稱軸不能相同）

二、題目特色賞析

本題與傳統(tǒng)的開放性題型不同，不僅僅是答案不唯一，而且兩個(gè)二次函數(shù)相加在日常練習(xí)中是沒有出現(xiàn)過的，需要考生在熟練掌握教材基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，認(rèn)真讀題，細(xì)細(xì)分析，才能夠理出思緒.基礎(chǔ)較弱的學(xué)生沒有耐心讀完題，就宣告放棄了，部分中上游的學(xué)生，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力不夠，匆忙下筆，左碰右碰，在亂戰(zhàn)中敗下陣來.由此可見，命題人的出題角度、設(shè)計(jì)的立足點(diǎn)可謂別出心裁、獨(dú)具匠心，具體賞析如下.

1.立足教材，平中見奇

二次函數(shù)是初中代數(shù)的核心內(nèi)容，又是高中教材圓錐曲線的基礎(chǔ)，二次函數(shù)是中考的必考內(nèi)容，但怎樣考，從什么角度入手，怎樣創(chuàng)新，是命題人一直探索的問題.本題給出了很好的范例，題目“脫去”了給出點(diǎn)的坐標(biāo)求二次函數(shù)解析式的“俗套”，從二次函數(shù)的定義、二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)與二次函數(shù)解析式的關(guān)系、二次函數(shù)與某點(diǎn)處具體函數(shù)值間的區(qū)別入手，從學(xué)生理解函數(shù)最薄弱的環(huán)節(jié)展開，重點(diǎn)考查二次函數(shù)頂點(diǎn)式的同時(shí)，將一元二次方程的解法融入其中.x=m時(shí)，y1=5，y2=3，所以求出m的值，這是解決本題的第一個(gè)關(guān)鍵.來源于教材最基本的知識(shí)，借助“y1+y2”這一“新”的形式，讓題目展現(xiàn)了不一樣的精彩，盡顯命題人濃厚的知識(shí)功底和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.秉承傳統(tǒng)，敢于創(chuàng)新

這道題來源于九年級(jí)上冊二次函數(shù)部分，通過y1、y2兩個(gè)函數(shù)相加得到一個(gè)新的復(fù)合函數(shù)，通過創(chuàng)新變式將函數(shù)與方程的關(guān)系、拋物線的頂點(diǎn)式、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向的考查融在了一道開放題中，出題人的高明之處在于：學(xué)生讀完題之后，甚至經(jīng)過認(rèn)真分析之后，還不知道這是一道開放性題目，盡管題目中給出了很多的“暗示”，如“請寫出兩個(gè)符合題意的二次函數(shù)y2的解析式”“要求：寫出的解析式的對稱軸不能相同”，都說明本題的答案不唯一.仔細(xì)分析并不難的一道題目，在命題人的創(chuàng)新設(shè)計(jì)下，卻在考場中擋住了“千軍萬馬”.

3.誤區(qū)重重，精彩紛呈

中考結(jié)束后，筆者及時(shí)調(diào)查了本地區(qū)考生對本題的求解情況，根據(jù)考生的反饋，整理了6種理解的誤區(qū).

誤區(qū)1：x=m時(shí)，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，又因?yàn)閥1+所以這一類學(xué)生直接把（這一類學(xué)生直接把y1看作是5，徹底混淆了函數(shù)與具體的x下的函數(shù)值之間的區(qū)別）寫在了橫線上.

誤區(qū)2：x=m時(shí)，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，又因?yàn)閥1+，所以的最小值是，認(rèn)定這個(gè)答案一定錯(cuò)誤，就干脆放棄了.

誤區(qū)3：設(shè)=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，然后根據(jù)題意，向兩個(gè)函數(shù)代入數(shù)，由于所設(shè)的參數(shù)太多，對于參數(shù)間的關(guān)系理不清，費(fèi)了半天的功夫，卻徒勞無功.

誤區(qū)4：部分優(yōu)秀生能夠很快準(zhǔn)確把握題意，x=m時(shí)，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，二次函數(shù)y2有最小值3，令Y= y1+y2，則x=m時(shí)，Y=8.所以所以m=0或，從而得到y(tǒng)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或3），這部分同學(xué)離答案只有一步之遙，而他們卻開始尋找另一個(gè)條件，想把y2的解析式直接求出，根本沒有分析出這是一道開放性題目，從而走上了窮途末路.

誤區(qū)5：部分優(yōu)秀學(xué)生僅僅抓住“x=m時(shí)，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，且二次函數(shù)y2有最小值3”這一句話，而x=0時(shí)，y1=5，y2=3正好符合y1+y2=8，所以x=0時(shí)，y2有最小值3，可以讓y2=x2+3，對于另一個(gè)則認(rèn)為只要a不同就可以了，忽視了括號(hào)內(nèi)的要求.（要求：寫出的解析式的對稱軸不能相同）

誤區(qū)6：分析出x=0時(shí)，y2有最小值3，就認(rèn)為二次項(xiàng)的系數(shù)可以任意取值，有個(gè)別同學(xué)取a=2，例如：讓y2=2x2+ 3，這一部分同學(xué)只研究y2，忽略了驗(yàn)證y1也是二次函數(shù)，還有個(gè)別同學(xué)忙著高興自己找到了y2的對稱軸是y軸，而忽視了y2的開口應(yīng)該向上.

4.能力立意，引領(lǐng)教學(xué)

命題人云鵬老師曾多次強(qiáng)調(diào)要重視教材研究，倡導(dǎo)命題的開放取向，這道創(chuàng)新型中考開放性題目，為一線教師下一步的創(chuàng)新教學(xué)指明了方向，也能夠促使教師在日常教學(xué)中研究培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣與思維能力，對師生轉(zhuǎn)變教與學(xué)的方式發(fā)揮了較好的導(dǎo)向作用.

一道好的中考題，就是一面“鏡子”，就是下一步教學(xué)的“指向標(biāo)”.本題進(jìn)一步引導(dǎo)教師不能僅僅局限在教材基本知識(shí)的傳授講解上，而應(yīng)該在知識(shí)的融合和變式教學(xué)中下大力氣，讓數(shù)學(xué)真正“活”起來；在問題探究中，使問題的結(jié)構(gòu)和本質(zhì)得到揭示（像本題中函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)的關(guān)系），吃透概念，把握住本質(zhì)，讓學(xué)生做到以不變應(yīng)萬變，才能夠讓學(xué)生在有限的解題教學(xué)中達(dá)成“做一題，會(huì)一類，通一片”的教學(xué)追求.

三、正確解法

由誤區(qū)4中的部分內(nèi)容可得y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或則y2=ax2+3或（a為不等于2的正值即可）.

四、幾點(diǎn)反思

1.準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，深化理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)

部分教師，對于教材中基礎(chǔ)知識(shí)的重視程度不夠，片面地認(rèn)為：沒有必要在基礎(chǔ)知識(shí)上“浪費(fèi)”太多的時(shí)間，片面地追求“難”題、“偏”題，試想沒有好的“根基”，如何談“高層建筑”？哪一道中考難題不是取材于教材中的基礎(chǔ)知識(shí)？有大學(xué)教授曾建議：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重視教材的開發(fā)與利用，重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)的揭示與思維過程的暴露，重知識(shí)的形成過程與知識(shí)間的邏輯關(guān)系，重?cái)?shù)學(xué)概念的理解和內(nèi)化，重?cái)?shù)學(xué)思想方法的總結(jié)和提煉.”

2.注重整合教材，構(gòu)建立體的知識(shí)框架

曾聽過一節(jié)“求二次函數(shù)解析式”的復(fù)習(xí)課，教師按部就班地展示一組常規(guī)的題目，通過練習(xí)強(qiáng)化了學(xué)生對三種解析式求法的掌握，如果是新授課后的一節(jié)復(fù)習(xí)鞏固課，還可以理解，但作為一節(jié)面臨中考的課來講解，就顯得平淡低效了.復(fù)習(xí)教材的基礎(chǔ)知識(shí)是必須的，但如果僅僅停留在基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)上，缺少對知識(shí)的再認(rèn)識(shí)，沒有整合再生，就不能完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，元認(rèn)識(shí)能力也得不到提升.有一位數(shù)學(xué)教師出過這樣一道題：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，5），還經(jīng)過點(diǎn)（1，0），試用三種方法求二次函數(shù)的解析式.此題目就很好地整合了教材中求二次函數(shù)解析式的三種辦法，學(xué)生比較容易想到用頂點(diǎn)式求解，而如何用一般式和交點(diǎn)式，又是對學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的一次檢驗(yàn).將二次函數(shù)的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式、對稱軸、一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系等知識(shí)融在了一道求二次函數(shù)解析式的題目中，“小”題目，發(fā)揮“大”作用.許多教師談到學(xué)生解題能力的提升，都認(rèn)為不是靠大量的重復(fù)機(jī)械的訓(xùn)練形成的，而如何設(shè)計(jì)思維含量高的題目，為學(xué)生構(gòu)建立體知識(shí)框架，是教師主導(dǎo)作用的重要體現(xiàn).

3.注重學(xué)生的思維提升，注重變式創(chuàng)新

不少一線的數(shù)學(xué)教師在教材的“表面”處理上，很“深”，很“透”，對于一些常規(guī)題目反復(fù)演練，但在變式創(chuàng)新上做的不夠，致使學(xué)生在遇到“新”題目背景的時(shí)候，就找不到解題思路了.只有教師自己具有變式創(chuàng)新的意識(shí)，才能在學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū)域內(nèi)提出具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生實(shí)質(zhì)性的思考；才能設(shè)計(jì)出激起學(xué)生探究欲望，激起思維碰撞“火花”的問題，讓學(xué)生分析完題目后，有一種“哦，原來如此”的“新”感覺.筆者認(rèn)為，教師創(chuàng)新意識(shí)的轉(zhuǎn)變，每一節(jié)變式的創(chuàng)新教學(xué)課，都能夠化為學(xué)生內(nèi)在的力量，為學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的進(jìn)步與提高搭建橋梁.

五、寫在最后

命題組用開放題型，是想告訴廣大備考的師生，從開放題走向“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”.每位教師都是富含寶藏的礦山、技藝高超的園丁，應(yīng)著力引領(lǐng)學(xué)生去學(xué)“活”的數(shù)學(xué)，而不是死記概念、公式的數(shù)學(xué)，力爭讓每一名學(xué)生都根據(jù)自己的性格特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上得到個(gè)性的發(fā)展.Z