☉江蘇省如東縣馬塘中學(xué) 蔡月紅

探究一類運(yùn)動(dòng)問題

☉江蘇省如東縣馬塘中學(xué) 蔡月紅

縱觀這幾年的中考題，發(fā)現(xiàn)壓軸題都趨向于對(duì)動(dòng)態(tài)問題的研究.此類題既能考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，又能考查學(xué)生的綜合能力，是綜合性很強(qiáng)的一類題.學(xué)生遇到這種問題，總是犯難，感覺無從下手.筆者對(duì)運(yùn)動(dòng)中的最值和運(yùn)動(dòng)路徑問題進(jìn)行了整理.

一、利用三角形的兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短求運(yùn)動(dòng)問題中的最值

1.利用三角形的兩邊之和大于第三邊求最小值

例1如圖1，已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值= _________.

圖1

本題利用菱形的軸對(duì)稱性，作出點(diǎn)M（或者點(diǎn)N）關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E，再連接NE或ME，交BD于點(diǎn)P，由三角形的兩邊之和大于第三邊可知，PM+PN的最小值即為NE或ME的長度.

2.利用三角形的兩邊之差小于第三邊求最大值

例2如圖2，拋物線y=-x2+bx+c與 x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn).

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，點(diǎn)Q在該拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，使得QB-QC的絕對(duì)值最大？

圖2

本題利用拋物線的軸對(duì)稱性，連接CA，并延長CA交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，利用三角形的兩邊之差小于第三邊可知，此時(shí)的QB-QC的絕對(duì)值最大，最大值即為QC的值.

3.利用垂線段最短求最小值

例3（1）如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3， AC=4，點(diǎn)D是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求EF的最小值.

圖3

利用矩形的對(duì)角線相等，可知求EF的最小值就是求AD的最小值，由于點(diǎn)A是定點(diǎn)，所以當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最短.然后利用等面積法就能求出AD的最小值了.

（2）如圖4，在△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)A作AE∥DC，且AE=DC，求DE的最小值.

圖4

根據(jù)題意，四邊形ADCE為平行四邊形，所以DE= 2OD，求DE的最小值就是求OD的最小值，點(diǎn)O為定點(diǎn)，因此當(dāng)OD⊥BC時(shí)，OD最短.

圖5

根據(jù)條件，PQ2=OP2-OQ2，OQ是圓的半徑，它是固定值，只要OP最小，PQ就最小，當(dāng)OQ⊥AB，即點(diǎn)P位于點(diǎn)C時(shí)，OP最小，PQ也就最小.

二、利用相似或全等來確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、路徑長

圖6

1.利用相似求動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長

首先，需要證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡），如圖7所示.利用相似三角形可以證明.其次，如圖8所示，利用△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長度，即為點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長.

圖7

圖8

由相似求出點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長，可以大幅度簡化計(jì)算，但這要求學(xué)生有一定的空間想象能力和分析問題的能力.

2.利用全等探究動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖9

例5如圖9，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)C是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持△ACP是等邊三角形.當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，得到等邊三角形AOB（此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合）.

（1）點(diǎn)C在移動(dòng)的過程中，當(dāng)?shù)冗吶切蜛CP的頂點(diǎn)P在第三象限時(shí)（如圖9），求證：△AOC≌△ABP；由此你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

（2）求點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P所在函數(shù)圖像的解析式.

由△AOC≌△ABP，可知點(diǎn)P在過點(diǎn)B且與AB垂直的直線上，要求點(diǎn)P所在函數(shù)圖像的解析式，只要求出點(diǎn)P的一個(gè)特殊位置，即當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到使點(diǎn)P在y軸上時(shí)，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-3），再將B、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入就可以求出解析式了.

圖10

例6如圖10，△ABC和△EFC都是等邊三角形，在△ABC中，AD是高，AB=2a，若點(diǎn)E在直線AD上運(yùn)動(dòng)，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，線段DF的最小值是多少？

由于△AEC≌△BFC，所以∠CBF=∠CAE=30°，當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F在過點(diǎn)B且與CB的夾角為30°的直線上運(yùn)動(dòng).再利用垂線段最短，可求出DF的最小值.

三、利用圓的知識(shí)先確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，再求值

1.利用90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑來確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖11

例7如圖11，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，連接AH，則AH的最小值是多少？

因?yàn)镃H始終垂直于BD，所以點(diǎn)H在以CB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，再利用兩點(diǎn)之間，線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到線段AO上時(shí)，AH最小.

2.利用“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)在同一個(gè)圓上”來確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

例8（2014年江西中考題改編）已知AC=4，AB=3，當(dāng)∠C最大時(shí)，求CB的長度.

因?yàn)锳B=3，所以點(diǎn)B在以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).當(dāng)CB與圓A相切時(shí)，∠C的度數(shù)最大，這時(shí)就可以利用勾股定理求出CB的長度了.

通過以上這些例子，我們可以看出，運(yùn)動(dòng)問題是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)問題，具有較強(qiáng)的靈活性和思考性.遇到此類問題千萬不能繞開走，只有要求學(xué)生多摸索，在不斷嘗試的過程中注意總結(jié)，在運(yùn)動(dòng)變化中尋找規(guī)律，這樣才能有助于解題能力的提高.H