☉江蘇省如皋市九華鎮(zhèn)九華初級(jí)中學(xué) 夏建明

一類值得重視的代數(shù)運(yùn)算應(yīng)用題
——從一道中考?？荚囶}說(shuō)起

☉江蘇省如皋市九華鎮(zhèn)九華初級(jí)中學(xué) 夏建明

應(yīng)用能力是各級(jí)考試重點(diǎn)考查的能力之一，特別是代數(shù)應(yīng)用問(wèn)題幾乎在每份中考試卷都會(huì)涉及，然而反復(fù)檢索近年來(lái)的中考試卷，卻較少發(fā)現(xiàn)考查以代數(shù)運(yùn)算為主的應(yīng)用問(wèn)題，后來(lái)筆者在2015年一批?？荚囶}中竟然有所發(fā)現(xiàn)，本文就從這道?？荚囶}說(shuō)起，并通過(guò)對(duì)人教版教材的研習(xí)、檢索，引起各級(jí)命題者對(duì)這類代數(shù)運(yùn)算應(yīng)用題的關(guān)注．

一、由一道模考題說(shuō)起

題目如圖1，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為am（a＞1）的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為（a-1）m的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了500kg．

圖1

（1）用含a的式子表示兩塊試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量.

（2）哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？（請(qǐng)給出必要的演算或說(shuō)明）

（3）當(dāng)a＝26時(shí)，高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？

思路簡(jiǎn)述：（1）“豐收1號(hào)”試驗(yàn)田的面積為（a2-1）m2，它的單位面積產(chǎn)量為kg/m2；“豐收2號(hào)”試驗(yàn)田的面積為（a-1）2m2，它的單位面積產(chǎn)量為kg/m2.

（2）（a2-1）-（a-1）2＝2a-2＝2（a-1）．由題意a＞1，所以2（a-1）＞0.所以（a2-1）＞（a-1）2．所以．即“豐收2號(hào)”的單位面積產(chǎn)量高．（說(shuō)明：如果學(xué)生直接觀察圖形，從圖形面積的角度解釋（a2-1）＞（a-1）2，我們認(rèn)為也是可以的）

研習(xí)教材：這道考題的原型來(lái)自人教版八上教材第136頁(yè)，分式乘除運(yùn)算的一道例題，從上面求解來(lái)看，主要涉及分式的列式、分式的乘除運(yùn)算與化簡(jiǎn)，同時(shí)還涉及作差法比較兩式大?。畬?duì)分式及其運(yùn)算的考查比較到位，有著較好的區(qū)分度．

沿著這種應(yīng)用問(wèn)題的角度再讀教材，我們有了很多新的發(fā)現(xiàn)，原來(lái)教材上這類代數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用問(wèn)題還有很多，下面列舉幾題．

二、教材上代數(shù)運(yùn)算應(yīng)用問(wèn)題例舉

教材習(xí)題（人教八上教材第125頁(yè)，第12題）某種產(chǎn)品的原料提價(jià)，因而廠家決定對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行提價(jià)，現(xiàn)有三種方案：

（1）第一次提價(jià)p%，第二次提價(jià)q%；

新課改初期，針對(duì)很多數(shù)學(xué)教師對(duì)新課程的困惑，我們將教研內(nèi)容的重點(diǎn)放在了課堂教學(xué)上，教研活動(dòng)以集體備課、公開(kāi)課、研磨試題為主。定期開(kāi)展包括教材分析研究、復(fù)習(xí)備考研討等主題在內(nèi)的多層次、多角度的備課活動(dòng)，定期開(kāi)展基于新課程理念的課堂教學(xué)交流、研討等教研活動(dòng)。區(qū)域教研組的公開(kāi)課主要分為骨干教師的示范課和青年教師的展示課。青年教師的展示課多以同課異構(gòu)、跨校上課的形式進(jìn)行，并由專家、優(yōu)秀教師現(xiàn)場(chǎng)指導(dǎo)。每個(gè)模塊的教學(xué)結(jié)束后進(jìn)行統(tǒng)一測(cè)評(píng)，并組織研磨試題活動(dòng)。

（2）第一次提價(jià)q%，第二次提價(jià)p%；

其中p，q是不相等的正數(shù)．三種方案哪種提價(jià)最多？

思路簡(jiǎn)述：設(shè)原料的原價(jià)是m元，p%＝a，q%＝b.

方案一：m（1＋p%）（1＋q%）＝m（1＋a）（1+b）=m（1＋a＋b＋ab）.

方案二：m（1＋q%）（1＋p%）＝m（1＋b）（1＋a）=m（1＋a＋b＋ab）.

顯然，方案一、二提價(jià)相等，需要比較方案三與前者的大小，運(yùn)用作差法比較如下：

三、對(duì)命題取向和解題教學(xué)的啟示

可以發(fā)現(xiàn)僅八年級(jí)上冊(cè)教材在整式乘除運(yùn)算、分式運(yùn)算內(nèi)容中，只在例題或習(xí)題的“拓廣探索”的最后一題安排了兩次涉及代數(shù)運(yùn)算類型的應(yīng)用問(wèn)題，而且這兩章代數(shù)內(nèi)容也應(yīng)該是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，那么在各級(jí)命題中理應(yīng)有這類應(yīng)用問(wèn)題的一席之地．以下圍繞相關(guān)話題提出一些操作性建議：

1.降低起點(diǎn)，從特例出發(fā)推廣到一般

由于以上提及的教材習(xí)題安排在“拓廣探索”欄目，教材編寫者可能是讓學(xué)有余力的學(xué)生挑戰(zhàn)這類問(wèn)題，根據(jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)適應(yīng)性不好的學(xué)生難以接受這類問(wèn)題，過(guò)于抽象、晦澀，讀不懂題意，作為命題研究，為了追求更多考生參與、理解這類問(wèn)題，建議先安排特例引路，比如，對(duì)于教材習(xí)題，我們可以先給出一些特殊值讓更多的學(xué)生理解.

特例引路：某種產(chǎn)品的原料提價(jià)，因而廠家決定對(duì)原定價(jià)為100元的產(chǎn)品提價(jià)，現(xiàn)有三種方案：

方案一：第一次提價(jià)10%，第二次提價(jià)30%；

方案二：第一次提價(jià)30%，第二次提價(jià)10%；

方案三：第一、二次均提價(jià)20%．

三種方案中哪種提價(jià)最多？

簡(jiǎn)評(píng)：相信經(jīng)過(guò)特例引路，應(yīng)該有更多基礎(chǔ)不好的學(xué)生能動(dòng)手練習(xí)，而優(yōu)秀考生也可以借助于特例引路增加對(duì)問(wèn)題的理解，然后再過(guò)渡到抽象的一般表示，讓他們感受到數(shù)學(xué)中從特殊到一般的思想方法．此外，在目前很多地區(qū)仍然是大班教學(xué)的前提下，學(xué)生的水平參差不齊，要想取得較好的教學(xué)效果，增設(shè)特例引路可能是較為現(xiàn)實(shí)的途徑．

2.挖掘教材資源，編擬代數(shù)運(yùn)算應(yīng)用問(wèn)題

如“?？碱}”一樣，其實(shí)源自教材例題，“題干”并沒(méi)有改變，只是下設(shè)的三個(gè)小問(wèn)與教材上的兩個(gè)問(wèn)題相比，梯度更加明顯，讓更多學(xué)生能參與進(jìn)來(lái)，讓學(xué)生感受到分式運(yùn)算的解釋力量．由此受到啟發(fā)，我們?cè)谄吣昙?jí)命題時(shí)，曾改編一道教材例題，也追求了從特殊到一般的命題取向.

教材探究：（人教版七上，第102頁(yè)，銷售中的盈虧）一商店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)值賣兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，那么賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

改編設(shè)問(wèn)，得到下列一系列變式問(wèn)題：

變式1：某服裝店在某一時(shí)間以每件100元的價(jià)格賣出兩件服裝，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，那么賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

變式2：某服裝店在某一時(shí)間以每件a元的價(jià)格賣出兩件服裝，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，那么賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

變式3：某服裝店在某一時(shí)間以每件100元的價(jià)格賣出兩件服裝，其中一件盈利25%，另一件虧損20%，那么賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

變式4：某服裝店在某一時(shí)間以每件a元的價(jià)格賣出兩件服裝，其中一件盈利25%，另一件虧損10%，那么賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

改編意圖：變式1、變式2的目的是讓學(xué)生經(jīng)過(guò)特值引路過(guò)渡到這類問(wèn)題的一般結(jié)構(gòu)；而變式3、變式4則是為了糾正學(xué)生容易形成的思維定勢(shì)，讓他們養(yǎng)成具體問(wèn)題具體分析的好習(xí)慣．

四、寫在最后

數(shù)學(xué)命題研究博大精深，既需要一定的解題能力，特別是命題者本身在解題之后對(duì)問(wèn)題深層結(jié)構(gòu)的揭示與洞察，又需要對(duì)所教數(shù)學(xué)的深刻理解，包括對(duì)本學(xué)段數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)段特征有清晰的認(rèn)知，還需要對(duì)大樣本下學(xué)生整體數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的精準(zhǔn)研判等．具體到本文關(guān)注的這類代數(shù)運(yùn)算應(yīng)用問(wèn)題，則是一類值得重視的命題方向，因?yàn)樗从沉藬?shù)學(xué)中從特殊到一般的學(xué)科特點(diǎn)，能讓數(shù)學(xué)適應(yīng)性優(yōu)秀的學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思維的徹底性，通過(guò)數(shù)式運(yùn)算解釋的力量感．想來(lái)，研習(xí)教材、理解教材并不是很簡(jiǎn)單的吧．

1.劉東升．經(jīng)歷問(wèn)題生成，深刻理解教材——人教八上“每日一題”的命題實(shí)踐與思考［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（4）.

2.劉東升．重視教材“活動(dòng)材料”，追求變式教學(xué)效率——以一道中考模擬卷壓軸題為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（6）.

3.劉東升．“以課本為本”：誰(shuí)解其中味［J］．中小數(shù)學(xué)，2013（1-2）.

4.章建躍．理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2015（1）．

5.嚴(yán)冬梅．命題到底該怎樣考查概念——以七年級(jí)上學(xué)期一些習(xí)題為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）．

6.仲進(jìn)東．例談客觀題型中“把關(guān)題”的呈現(xiàn)方式［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）．H