☉江蘇省如東縣馬塘鎮(zhèn)邱陞中學(xué) 劉志娟

習(xí)題課操作要義：精選、備題與測(cè)評(píng)
——由一道QQ群里的習(xí)題研討說起

☉江蘇省如東縣馬塘鎮(zhèn)邱陞中學(xué) 劉志娟

國(guó)慶期間，參與某初中數(shù)學(xué)教師QQ群交流一些典型幾何題的解法研討，由于群里教師較多，切磋研討常常有很多個(gè)人思考所不及的發(fā)現(xiàn)，本文整理近期在群里引發(fā)熱議的八年級(jí)幾何習(xí)題，并給出進(jìn)一步的思考，提供研討．

一、群里的習(xí)題研討實(shí)錄

習(xí)題已知A（0，a），B（b，0），且a，b滿足（a-1）2＋|b-1|＝0.

（1）求△AOB的面積；

（2）如圖1，點(diǎn)C在線段AB上（A、B兩端點(diǎn)除外），AD⊥AB，且∠DOC＝45°，求證：OD平分∠ADC．

圖1

說明：由于該題的題干只服務(wù)于第（1）問，是個(gè)無甚趣味的多知識(shí)點(diǎn)拼湊問題，引發(fā)大家展開解法探討的是第（2）問，以下為研討實(shí)錄的觀點(diǎn)摘錄．

師1：基于直線OD對(duì)稱的角度，可以構(gòu)造如圖2的輔助線延長(zhǎng)DA到C′，使AC′＝BC，連接OC′，兩次全等實(shí)現(xiàn)問題解決．

師2：圖2這種思路，也可以是將△OBC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，同樣能實(shí)現(xiàn)目的．

圖2

師3：幾何畫板，演示如下，也可以將△OAD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖3，也可求證．

圖3

圖4

師1：這個(gè)問題基于軸對(duì)稱或翻折，可以得到圖4，可以看清這個(gè)問題的一些“結(jié)構(gòu)”．

（師1關(guān)于問題結(jié)構(gòu)的揭示，引來不少網(wǎng)友的點(diǎn)贊）

圖5

師4：這道習(xí)題提出“求證：OD平分∠ADC”有待商榷，建議改為“探究∠ADO與∠CDO的數(shù)量關(guān)系”，因?yàn)檫@兩個(gè)角的關(guān)系應(yīng)該是相等或互補(bǔ)，前面各位探討的都是前者，如圖5，則屬于互補(bǔ)的情況．

師5：師4的思考很深刻，引導(dǎo)學(xué)生在反思回顧階段做出上述反思，才是追求了教學(xué)深度，值得學(xué)習(xí)．

二、對(duì)習(xí)題“深層結(jié)構(gòu)”的進(jìn)一步揭示

有了上述研討，貫通該習(xí)題的思路已有多樣的途徑，然而在解題教學(xué)中與一題多解相比，多解歸一顯然有更為積極的意義，下面我們繼續(xù)對(duì)習(xí)題進(jìn)行探索，進(jìn)一步揭示它的“深層結(jié)構(gòu)”．

深層結(jié)構(gòu)：如圖6，補(bǔ)成正方形ABPQ，兩條對(duì)角線所在直線都是該正方形的對(duì)稱軸，以正方形的中心O為圓心，作⊙O與正方形的邊長(zhǎng)相交，根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性質(zhì)，易知圖6中，點(diǎn)C繞中心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)著C′，此時(shí)作∠COC′的平分線交直線AQ于點(diǎn)D，而這也對(duì)應(yīng)著之前討論中圖2的思路．

圖6

圖7

再變換點(diǎn)C的位置，如圖7，此時(shí)AC＝QC′，進(jìn)一步可得∠ADO與∠CDO是互補(bǔ)關(guān)系．

至此，我們應(yīng)該可以發(fā)現(xiàn)，前面所涉及的點(diǎn)C的位置可以看成是⊙O與正方形邊的交點(diǎn)位置的不同，可以看成直角∠COC′的平分線交直線AQ于點(diǎn)D所帶來的關(guān)系．

三、習(xí)題改編

當(dāng)我們看清問題結(jié)構(gòu)之后，問題的變式改編、拓展、推廣立即成為可能，以下給出筆者的一些變式思考：

習(xí)題變式：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)P為AB邊上一點(diǎn)（不含AB邊的中點(diǎn)），過點(diǎn)A作AQ⊥BA，且∠QCP＝45°，連接PQ．

（1）如圖8，當(dāng)AP＞BP時(shí)，求證：QC平分∠AQP；

（2）如圖9，當(dāng)AP＜BP時(shí)，探究∠AQC與∠PQC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖8，設(shè)CQ與AB交于M點(diǎn)，試分析AM、MP、PB之間的數(shù)量關(guān)系．（涉及勾股定理）

圖8

圖9

四、解題教學(xué)的思考

1.挑選經(jīng)典考題，精心備題是上好習(xí)題課的前提

解題教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有相當(dāng)大的比例，然而多數(shù)解題教學(xué)常常是跟著教輔資料走，講作業(yè)、訂正錯(cuò)題的習(xí)題課為主，能否做到有的放矢，重點(diǎn)突出開展解題教學(xué)應(yīng)該是努力的方向．從這個(gè)角度看解題教學(xué)，首先要挑選經(jīng)典考題，再對(duì)其進(jìn)行充分備題，包括思考習(xí)題的一題多解，洞察習(xí)題的深層結(jié)構(gòu)，可以怎樣變式、生長(zhǎng)、拓展，這些都應(yīng)該是課前認(rèn)真開展的備題活動(dòng)．

2.倡導(dǎo)對(duì)話交流，從“一題多解”走向“多解歸一”

解題教學(xué)的課堂教學(xué)中，也要通過設(shè)計(jì)恰時(shí)恰點(diǎn)的問題啟發(fā)思考，引導(dǎo)對(duì)話，并將問題不斷引入深入，直至學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)習(xí)題的一題多解，在此基礎(chǔ)上及時(shí)組織回顧反思，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的深層結(jié)構(gòu)，理解多解歸一．比如，當(dāng)我們展示出習(xí)題的一種結(jié)構(gòu)（如圖4）后，一個(gè)必要的追問就是：點(diǎn)D′、A、B是否在同一條直線上？如何證明？當(dāng)我們給出圖6之后，也需要追問學(xué)生：OD與圓的交點(diǎn)是否就是圓與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)？這樣的辨析有助于學(xué)生對(duì)問題深層結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到對(duì)問題結(jié)構(gòu)的深刻理解．

3.跟蹤聽課反饋，講評(píng)后設(shè)計(jì)變式習(xí)題再測(cè)評(píng)

根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我們知道，很多學(xué)生聽課時(shí)似懂非懂，甚至認(rèn)為自己聽懂了，但聽懂了并不一定會(huì)做，更不一定能講．所以，對(duì)于經(jīng)典問題、必考習(xí)題，從功利角度出發(fā)，要想追求更好的理解效果，讓更多的學(xué)生能過關(guān)、會(huì)做，在聽課之后進(jìn)行必要的檢測(cè)反饋是十分重要的．這也就是我們?cè)谏厦娼o出變式改編試題的重要原因，在聽課之后，可以安排學(xué)生限時(shí)（15～20分鐘）練習(xí)變式習(xí)題，測(cè)評(píng)聽課效果，筆者經(jīng)常開展這樣的工作，反饋檢測(cè)表明，不僅有效促進(jìn)了中等生對(duì)相關(guān)問題的理解，也幫助了學(xué)困生鞏固了一些基礎(chǔ)問題，同時(shí)對(duì)優(yōu)秀學(xué)生提高解題效率也起到了積極的作用．

1.羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］．西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

3.劉東升．經(jīng)歷問題生成，深刻理解教材——人教八上“每日一題”的命題實(shí)踐與思考［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（4）．

4.夏盛亮．引導(dǎo)回歸教材，倡導(dǎo)開放取向——一次縣級(jí)期末卷的命題取向分析［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.

5.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）．H