妙用“圖形的變換”，解決線段和的最值問(wèn)題

☉江蘇省如東縣童店初級(jí)中學(xué) 李 琴

妙用“圖形的變換”，解決線段和的最值問(wèn)題

☉江蘇省如東縣童店初級(jí)中學(xué) 李 琴

中考前的備戰(zhàn)歲月令所有的學(xué)生、家長(zhǎng)、老師都具有一種凝重感，要在時(shí)間緊、容量大、要求高的條件下復(fù)習(xí)好，對(duì)于每一位初三數(shù)學(xué)老師來(lái)說(shuō)，還真是一種高難度的挑戰(zhàn).基礎(chǔ)知識(shí)系統(tǒng)化復(fù)習(xí)和專題化復(fù)習(xí)是中考總復(fù)習(xí)的一條主脈線，綜合性模擬訓(xùn)練和回歸教材貫穿總復(fù)習(xí)的整個(gè)過(guò)程，其中專題化復(fù)習(xí)是非?？简?yàn)教師的教育智慧的.一個(gè)有著真知灼見的教師絕對(duì)不會(huì)滿足課本、教參，他們的創(chuàng)造性教學(xué)便源于此，比如專題復(fù)習(xí)中，教師事先要通過(guò)大量的收集、整理、歸納各類問(wèn)題，形成體系，方能凸顯規(guī)律和方法.

著名數(shù)學(xué)家G·波利亞說(shuō)過(guò)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得學(xué)生通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”在中考總復(fù)習(xí)中，筆者就曾經(jīng)嘗試以某些典型的例題為模型進(jìn)行深入的挖掘，加以提煉引申，適當(dāng)加工改造，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和深度，創(chuàng)造性地解決實(shí)際問(wèn)題，以期達(dá)到以少勝多、事半功倍之效.下面筆者就借用“圖形的變換”說(shuō)說(shuō)這個(gè)專題復(fù)習(xí).

一、利用軸對(duì)稱變換解決線段和、差的最值問(wèn)題

例1已知：如圖1所示，A、B兩村莊在一條小河的同一側(cè)，要在河邊建一自來(lái)水廠向A、B兩村莊供水，若要使廠址到A、B兩村的水管最省料，廠址應(yīng)設(shè)在哪個(gè)位置，為什么？

圖1

圖2

具體解法：如圖2，把小河抽象為直線l，作A1和A關(guān)于直線l對(duì)稱，連接A1B，與直線l交于P點(diǎn)，廠址位于P點(diǎn)時(shí)，使得PA+PB最小.

圖3

思路分析：如圖3，為什么P點(diǎn)能使得PA+PB最小呢？理由如下：如圖2，在直線l上任意取一點(diǎn)M，連接AM、BM，由軸對(duì)稱可知MA=MA1，PA=PA1，在△BMA1中，有BM+MA1>BA1，BM+MA1>BP+PA1，所以BM+MA>BP+PA，故而，廠址位于P點(diǎn)時(shí)，使得PA+PB的值最小.

圖4

變式1：如圖4，已知點(diǎn)A（1，5），B（3，-1），點(diǎn)M在x軸上，當(dāng)AM+BM最小時(shí)，求M的坐標(biāo).

思路分析：如圖4，連接AB交x軸于點(diǎn)M，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則解得所以y=-3x+8，令y=0，則-3x+8=0，解得，故M的坐標(biāo)為

圖5

變式2：如圖5，已知點(diǎn)A（1，5），B（3，1），點(diǎn)M在x軸上，當(dāng)AM+BM最小時(shí)，求M的坐標(biāo).

思路分析：如圖5，作B和B1關(guān)于x軸對(duì)稱，連接AB1，則B1（3，-1）.設(shè)直線AB1的解析式為y=kx+b，則解得所以y=-3x+8，令y=0，則-3x+8=0，解得，故M的坐標(biāo)為

點(diǎn)評(píng)與感悟：例1的理論根據(jù)是：“兩點(diǎn)之間，線段最短”，其原理是把不在同一條直線上的線段利用軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化到同一條直線上去研究的，由此可見數(shù)學(xué)上“轉(zhuǎn)化與化歸”這一思想的重要性.本組題從研究線段和的最值問(wèn)題展開，以例1為知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，把直線同側(cè)的兩點(diǎn)變?yōu)楫悅?cè)的兩點(diǎn)，這兩種圖形都置于平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，利用一次函數(shù)中的待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，確定與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

例2已知點(diǎn)A（1，5），B（3，1），點(diǎn)M在x軸上，當(dāng)AMBM最大時(shí)，求M的坐標(biāo).

思路分析：連接AB并延長(zhǎng)交x軸于M點(diǎn)，使得AMBM最大，理由如下：

在x軸任意取一點(diǎn)C（假設(shè)AC＞BC），在△ABC中，因?yàn)閮蛇呏钚∮诘谌?，所以AC-BC＜AB，即AC-BC＜AM-BM.

圖6

點(diǎn)評(píng)與感悟：例2的理論根據(jù)是：“兩點(diǎn)之間，線段最短”，其原理是把不在同一條直線上的線段利用軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化到同一條直線上去研究的，數(shù)學(xué)上“轉(zhuǎn)化與化歸”思想的重要性不言而喻，真正起到了化難為易、化繁為簡(jiǎn)的等價(jià)轉(zhuǎn)化的作用.本組題從研究線段差的最值問(wèn)題展開，在例2的基礎(chǔ)上，把直線同側(cè)的兩點(diǎn)變?yōu)楫悅?cè)的兩點(diǎn)，這兩種圖形都置于平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，通過(guò)函數(shù)知識(shí)，確定與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

二、用平移變換解決線段和的最值問(wèn)題

例3如圖7，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A→M→N→B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

具體解法：如圖8，我們可以將點(diǎn)A沿與河垂直的方向平移MN的距離到A1，那么為了使AMNB最短，只需A1B最短.根據(jù)兩點(diǎn)之間距離最短，連接A1B，交河岸于點(diǎn)N，在此處造橋MN，所得路徑AMNB就是最短路徑.

圖7

圖8

思路分析：如圖7，從A到B的路徑長(zhǎng)=AM+MN+NB，由于河岸寬度是固定的，造的橋要與河垂直，因此MN的長(zhǎng)度是固定的.要使得從A到B的路徑AMNB最短，就轉(zhuǎn)化為AM+BN最短的問(wèn)題，不妨把MA沿MN的方向平移至NA1的位置，當(dāng)A1、N、B三點(diǎn)共線時(shí)，AM+BN最短（或者把BN沿NM方向平移至MB1的位置，如圖8，當(dāng)B1、M、A三點(diǎn)共線時(shí)，AM+BN最短）.為什么此時(shí)AM+BN最短呢？如圖9，如果在不同于MN的位置造橋M1N1.由于M1N1=MN=AA1，又根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，A1N+NB< A1N1+N1B，即AM+NB

圖9

點(diǎn)評(píng)與感悟：這是人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)中最短路徑問(wèn)題后的數(shù)學(xué)活動(dòng)中的造橋選址問(wèn)題，往年有80%的學(xué)生不能很好地理解和掌握這個(gè)問(wèn)題，所以筆者認(rèn)為不宜在課堂上探討，私下感興趣的可以進(jìn)行探討解決，但到了初三中考備戰(zhàn)前段時(shí)間就不一樣了，學(xué)生的理解力和解題能力都空前達(dá)到了一定的高度，放在本專題中講，不僅效果好，還能起到拋磚引玉的作用.

三、以軸對(duì)稱變換為基礎(chǔ)，借助平移變換解決線段和的最值

例4在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).

（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

思路分析：（1）如圖10，△CDE的周長(zhǎng)=CD+DE+EC，CD的長(zhǎng)是固定的，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，也就是DE+EC最小，從而轉(zhuǎn)為例1所解決的問(wèn)題.

圖10

具體解法：（1）如圖11，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′與x軸交于點(diǎn)E.

因?yàn)镺B=4，OA=3，D是OB的中點(diǎn)，所以O(shè)D=2，則D的坐標(biāo)是（0，2），C的坐標(biāo)是（3，4），所以D′的坐標(biāo)是（0， -2）．設(shè)直線CD′的解析式是y=kx+b，則解得則直線的解析式是y=2x-2．在解析式中，令y=0，得到2x-2=0，解得x=1．則E的坐標(biāo)為（1，0）.

圖11

圖12

思路分析：（2）如圖12，四邊形CDEF的周長(zhǎng)=CD+DE+EF+FC，CD和EF的長(zhǎng)是固定的，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，也就是DE+FC最小；與圖10進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)圖10中DE和CE有公共端點(diǎn)E，而圖12中DE和CF沒(méi)有公共端點(diǎn)，怎樣才能把圖12轉(zhuǎn)化為圖10呢？仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，把線段CF向左平移2個(gè)單位使得點(diǎn)F和點(diǎn)E重合或者把線段DE向右平移2個(gè)單位使得點(diǎn)E和點(diǎn)F重合，就能把圖12轉(zhuǎn)化為圖10進(jìn)行解決了.

具體解法：（2）如圖13，作出D的對(duì)稱點(diǎn)D′，把C向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到C′，連接C′D′，與x軸的交點(diǎn)就是E，E點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度就是F.因?yàn)镈′的坐標(biāo)是（0，-2），所以C′的坐標(biāo)是（1，4）.設(shè)直線C′D′的解析式是y=kx+b，則解得則直線的解析式是y=6x-2.在 y=6x-2中，令y=0，解得

圖13

圖14

或者把D向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度的D′（2，2），作出D′的對(duì)稱點(diǎn)D″（2，-2），如圖14.

因?yàn)镃的坐標(biāo)是（3，4），設(shè)直線CD″的解析式是y=kx+ b，則解得則直線的解析式是y=6x-14.在y=6x-14中，令y=0，解得

圖15

圖16

變式：如圖15，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），拋物經(jīng)過(guò)矩形ABCO的頂點(diǎn)B、C，D為BC的中點(diǎn)，直線AD與y軸交于E點(diǎn)，點(diǎn)F在直線AD上且橫坐標(biāo)為6.

（1）求該拋物線解析式并判斷F點(diǎn)是否在該拋物線上；

（2）如圖16，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AE以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.問(wèn)EP+PH+HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）因?yàn)镋（0，6），所以CE=CO，如圖17，連接CF交x軸于點(diǎn)H′，過(guò)H′作x軸的垂線交BC于點(diǎn)P′，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到P′，H運(yùn)動(dòng)到H′時(shí)，EP+PH+HF的值最小.

圖17

設(shè)直線CF的解析式為y=k2x+b2，因?yàn)镃（0，3）、F（6，-3），則解得所以y=-x+3.

當(dāng)y=0時(shí)，x=3，所以H′（3，0），所以CP=3，所以t=3.

點(diǎn)評(píng)與感悟：本組題以例1和例3為知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，即以軸對(duì)稱為基礎(chǔ)，借助平移來(lái)解決問(wèn)題的，綜合性很強(qiáng).把例1和例3涉及的知識(shí)點(diǎn)放置到函數(shù)這個(gè)情境中去研究，既用到了一次函數(shù)的知識(shí)，又用到了二次函數(shù)的知識(shí)，對(duì)學(xué)生的能力要求很高，要求學(xué)生能靈活地從復(fù)雜的情境中剝離出各種簡(jiǎn)單的基本圖形，熟練地運(yùn)用各種簡(jiǎn)單的基本圖形去解決復(fù)雜的問(wèn)題.

在本專題復(fù)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合思想貫穿始終，數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最基本的研究對(duì)象.作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單幾句話，道盡了數(shù)形之妙.在專題復(fù)習(xí)中，尤其要重視數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)，就好比航海需要舵手的掌控，而解題能力尤其需要數(shù)學(xué)思想方法來(lái)指明解題的方向.

古希臘哲學(xué)家芝諾關(guān)于學(xué)習(xí)知識(shí)是這樣說(shuō)的：“如果用小圓代表你們學(xué)到的知識(shí)，用大圓代表我學(xué)到的知識(shí)，那么大圓的面積是多一點(diǎn)，但兩圓之外的空白都是我們的無(wú)知面，圓越大其圓周接觸的無(wú)知面就越多.”這何嘗不是學(xué)生與教師關(guān)系的真實(shí)寫照！科學(xué)上沒(méi)有平坦的大道，真理的長(zhǎng)河中有無(wú)數(shù)礁石險(xiǎn)灘.只有不畏攀登的采藥者，不怕巨浪的弄潮兒，才能登上高峰采得仙草，深入水底探驪得珠.“問(wèn)渠那得清如許，為有源頭活水來(lái)”，唯有學(xué)習(xí)，不斷地學(xué)習(xí)，勤奮地鉆研，有創(chuàng)造性地教學(xué)，才能讓孩子們穩(wěn)妥地踩著我們的肩膀，站得更高，看得更遠(yuǎn).H