☉江蘇省如東縣掘港高級中學(xué) 葛益平

抓住定義，事半功倍
——例談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中圓錐曲線定義的運(yùn)用

☉江蘇省如東縣掘港高級中學(xué) 葛益平

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)非常重要的學(xué)習(xí)部分，在高中數(shù)學(xué)課堂上，關(guān)于圓錐曲線的定義由來，數(shù)學(xué)教師可以通過幾何畫板形象地展示，但是關(guān)于定義的具體應(yīng)用，老師們研究較少.對照新舊考試大綱，在新課標(biāo)高考中，對圓錐曲線的考查做了重大調(diào)整，刪去了橢圓與雙曲線的準(zhǔn)線定義，淡化了復(fù)雜煩瑣的變形和一些焦半徑公式的使用，而對于它們的第二定義也只以例題的形式出現(xiàn).轉(zhuǎn)而對圓錐曲線的基本定義、基本量的關(guān)系、簡單幾何性質(zhì)和基本方法加深了考查，特別是對定義的考查，所以把握好圓錐曲線的基本概念和處理圓錐曲線問題的基本方法，就能很好地解答圓錐曲線有關(guān)題目.因此筆者從圓錐曲線的定義出發(fā)，按照類型進(jìn)行整理和歸納，進(jìn)而探索如何運(yùn)用圓錐曲線的定義解決各類問題.

一、深刻理解圓錐曲線的定義

平面上不同種類圓錐曲線的定義都受一定條件的限制.

橢圓：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長（定長大于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.即|PF1|+|PF2| =2a（2a>|F1F2|）.這個(gè)定義中一定注意兩點(diǎn)：一是描述的是動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離和；二是距離和為常數(shù)，常數(shù)大于兩定點(diǎn)的距離.前一點(diǎn)說明橢圓上點(diǎn)的特點(diǎn)；后一個(gè)則說明了軌跡是橢圓的條件.當(dāng)距離和這一常數(shù)等于兩定點(diǎn)F1、F2間距離時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的線段；當(dāng)距離和這一常數(shù)小于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡則不存在.

雙曲線：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對值為定值（定值小于兩個(gè)定點(diǎn)的距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.即||PF1|-|PF2||=2a.這個(gè)定義注意三點(diǎn)：一是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離差：描述動(dòng)點(diǎn)的特點(diǎn)；二是距離差的絕對值：絕對值便說明了點(diǎn)的軌跡的另一特點(diǎn)——“雙”性；三是差的絕對值這個(gè)常數(shù)一定小于|F1F2|.當(dāng)常數(shù)等于兩定點(diǎn)距離時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡為以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的兩條射線；如果常數(shù)大于|F1F2|，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.

拋物線：到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的動(dòng)點(diǎn)軌跡叫做拋物線.

圓錐曲線的第二定義：到一定點(diǎn)F的距離和到一條定直線l的距離（定點(diǎn)F不在定直線l上）的距離比是一個(gè)常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)01時(shí)，軌跡為雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線.其中為離心率，F(xiàn)為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線.

每種圓錐曲線的內(nèi)涵都深刻地揭示了該曲線的本質(zhì)特征，其中的每一點(diǎn)都具備著共同的特點(diǎn)，無論是其上的已知點(diǎn)還是未知點(diǎn)都具有相同的幾何意義.

案例1證明：以過橢圓的焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必和橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線相離.

分析：此題與橢圓的焦點(diǎn)和相應(yīng)準(zhǔn)線有關(guān)，比較適合利用橢圓的第二定義來思考.

證明：設(shè)橢圓焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)的弦為AB，曲線的離心率為e，A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別為m、n，則AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離

根據(jù)橢圓的定義可得|AM|=e·m，|AN|=e·n.

類似地，我們可以得到雙曲線和拋物線的相似結(jié)論.以過雙曲線的焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必和雙曲線相應(yīng)的準(zhǔn)線相交；以過拋物線的焦點(diǎn)的弦為直徑的圓，必和拋物線的準(zhǔn)線相切.

二、圓錐曲線定義運(yùn)用的廣泛性

圓錐曲線的定義運(yùn)用十分廣泛，利用圓錐曲線的定義解題比較靈活，一看解答簡單漂亮.自己思考一籌莫展，對不同題型進(jìn)行歸類，把其中的特點(diǎn)加以提煉，從而更好、更深刻地理解圓錐曲線的運(yùn)用.

1.求軌跡方程

求曲線方程是解析幾何的兩大基本問題（由圓錐曲線求方程，由方程求圓錐曲線）之一，將形的直觀與數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)有機(jī)地結(jié)合起來是每年高考?？嫉膬?nèi)容，常考常新.利用定義求滿足條件的曲線方程是優(yōu)化解題的有效方法.

案例2求以F（2，0）為焦點(diǎn)，以L：x-2y+4=0為相應(yīng)準(zhǔn)線，且過點(diǎn)A（3，2）的曲線方程.

分析：題干中給出焦點(diǎn)F和相應(yīng)準(zhǔn)線方程，顯然其結(jié)果應(yīng)該為圓錐曲線，但其準(zhǔn)線不平行于坐標(biāo)軸，這樣用常規(guī)解法，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程或平移狀態(tài)下的標(biāo)準(zhǔn)型均解決不了，因此應(yīng)想到用第二定義.第二定義中的常數(shù)應(yīng)該用已知點(diǎn)A來解決.

解：設(shè)所求曲線上任一點(diǎn)M（x，y），其離心率為e.由第二定義得，即①.由于此曲線過A（3，2），因此代①式中解得

第二定義深刻地描述出曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離比為一常數(shù)這一特點(diǎn)，而已知點(diǎn)A也應(yīng)具備這一特點(diǎn)，從而求出這一常數(shù)，再用這一定義求出曲線方程.

2.求值

圓錐曲線中的求值問題具有多方法、技巧強(qiáng)、運(yùn)算量大等特點(diǎn).能靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義解題可達(dá)到化繁為簡的效果.

（1）運(yùn)用定義求與長度有關(guān)的問題.

解析：由雙曲線的定義知|MF2|-|MF1|＝4，|NF2|-|NF1|＝4，所以|MF2|＋|NF2|-|MF1|-|NF1|＝|MF2|＋|NF2|-|MN|＝8.

本例題難度不大，思路也比較清晰，是求圓錐曲線上的相關(guān)長度問題，涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，我們就可以嘗試運(yùn)用圓錐曲線的定義來求解這一類問題.

（2）運(yùn)用定義求與面積有關(guān)的問題.

案例4已知F1、F2為雙曲線C：x2-y2=1的左、右焦點(diǎn)，P點(diǎn)在C上，∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積S=_________.

解析：設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨設(shè)m>n，P（x，y），|PF1|-|PF2|＝m-n＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得n2-2mncos60°，即8＝（m-n）2＋mn，所以mn＝4.

由△F1PF2的面積公式，得S＝mnsin60稍微做一些改變，加深一點(diǎn)難度也可以得到如下變式.變式：已知F1、F2為雙曲線C：x2-y2=1的左、右焦點(diǎn)，P點(diǎn)在C上，∠F1PF2＝60°，則點(diǎn)P到x軸的距離為_________.

解析：分析過程和上題完全一樣，再利用△F1PF2的

即點(diǎn)P到x軸的距離為

在求解圓錐曲線相關(guān)面積的問題時(shí)，定義一定是一個(gè)潛在的條件，運(yùn)用定義可以得到一個(gè)等式，再結(jié)合題中明確給出的條件，運(yùn)用相關(guān)定理公式，得到其他等式，從而求解.當(dāng)然題型也可能是將周長和面積結(jié)合在一起.

（3）運(yùn)用定義求特殊位置的問題.

案例5已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，拋物線上有一點(diǎn)M.

（Ⅰ）定點(diǎn)P（4，-2），若要使得MF+MP最小，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）定點(diǎn)Q（4，5），動(dòng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，求x0+MQ的最小值.

解析：（Ⅰ）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（0，1），令x=4可得y=±4，所以P（4，-2）位于拋物線內(nèi)部，如圖1所示，在拋物線上任意選取一點(diǎn)M，連接MF和MP，過M作準(zhǔn)線的垂線MN，由拋物線的定義，我們有MF+MP=MN+MP.要求MF+ MP的最小值，轉(zhuǎn)化成求MN+MP的最小值，借助圖像易知，過P點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線PN1交拋物線于M1點(diǎn)，則當(dāng)M點(diǎn)位于M1的位置時(shí)，MF+MP最小，最小值為PN1的距離，由于M1是垂線PN1和拋物線的交點(diǎn)，所以M1（1，-2），所以，當(dāng)MF+MP最小時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-2）.

（Ⅱ）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（0，1），令x=4可得y= ±4，所以Q（4，5）位于拋物線外部，如圖2所示，在拋物線上任意選取一點(diǎn)M，過M作準(zhǔn)線的垂線交y軸于N點(diǎn)，交準(zhǔn)線于R點(diǎn)，因?yàn)镸的橫坐標(biāo)為x0，所以MN=x0，要求x0+MQ等價(jià)于求MN+MQ，我們先求MR+MQ的最小值，由拋物線的定義可知MR+MQ=MF+MQ，當(dāng)M點(diǎn)位于M1的位置時(shí)，MF+MQ最小，最小值為FQ的距離，由兩點(diǎn)之間距離公式可知因?yàn)镸R-MN=1，所以的最小值為

其實(shí)在具體運(yùn)用圓錐曲線的定義求解問題時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)題中涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)或者準(zhǔn)線的距離時(shí)，我們就可以嘗試運(yùn)用定義進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)化，這也是一種數(shù)學(xué)思維，通過運(yùn)用定義做合適的轉(zhuǎn)化，可以讓題中的各類條件變得明晰，使自己思考問題更加透徹準(zhǔn)確.

3.求取值范圍

圓錐曲線的取值范圍問題聯(lián)系了圓錐曲線的特征參數(shù)（a、b、c、d、e、p）及坐標(biāo)變量（x，y）的范圍，較好地考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建立模型和靈活處理問題的能力，是高考的熱點(diǎn)問題之一，能靈活運(yùn)用定義解題會(huì)使問題化難為易，化繁為簡.

分析：要確定∠F1PF2的取值范圍，首先要把∠F1PF2的某個(gè)函數(shù)值用參數(shù)表示出來，由于焦點(diǎn)三角形F1PF2中，三條邊和橢圓的a、b、c關(guān)系密切，所以是否可以考慮在△F1PF2中利用余弦定理并結(jié)合定義思考.

解：設(shè)|F1P|=r1，|F2P|=r2，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理得那么

由已知條件可得a2=2b2，所以cosθ≥0.

當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2時(shí)cosθ=0成立，所以

因此，圓錐曲線的運(yùn)用十分廣泛，在解題時(shí)充分挖掘題中圖形的幾何性質(zhì)，適時(shí)地巧用定義，探求最佳的解題方法，開發(fā)最佳思路尋求解題規(guī)律，起到以點(diǎn)帶面、事半功倍的效果.

4.圓錐曲線定義與其他知識的綜合運(yùn)用

（1）聯(lián)系平幾定理活用定義.

案例7設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸，證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn).

證明：如圖4所示，過A、B分別向準(zhǔn)線作垂線AD、BC，N是x軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，連接AC，AC與FN的交點(diǎn)為M，則，由拋物線的定義知，|BF|=|BC|，|AF|=|AD|.

所以|NM|=|MF|，故M是FN的中點(diǎn)，即M與原點(diǎn)重合.所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn).

（2）結(jié)合韋達(dá)定理（逆）妙用定義.

①2-②2再除以2，得|PF1|·|PF2|=2（a2-c2）③.

由①、③根據(jù)韋達(dá)定理逆定理，可知|PF1|、|PF2|是方程z2-2az+2（a2-c2）=0的兩根，則有Δ=4a2-8（a2-c2）≥0.

（3）交替利用兩個(gè)定義.

解析：假設(shè)在雙曲線左半支上存在點(diǎn)P，使得|PF1|= d|PF2|，即由雙曲線的第二定義知，所以|PF2|=e|PF1|.

所以|PF2|-e|PF1|=0①.

由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=-2a②.

由①+②得|PF1|-e|PF1|=-2a，即（1-e）|PF1|=-2a，所以

顯然在△PF1F2中，有|PF1|+|PF2|≥2c，即≥2c，a（1+e）≥c（e-1），（1+e）≥e（e-1）.

所以e2-2e-1≤0，解得1

所以假設(shè)不成立，故P點(diǎn)不存在.

（4）明確目標(biāo)逆用定義.

案例10在△ABC中，已知BC=a，動(dòng)點(diǎn)A滿足條件sinC-sinB=sinA，求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程.

解析：以BC邊所在直線為x軸、以線段BC的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖5所示.

根據(jù)雙曲線的定義進(jìn)行逆向思維可知，A點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支（除頂點(diǎn)），它的焦距2c=a.設(shè)雙曲線的方程為，則它的實(shí)軸長為2m=，所以

綜上，運(yùn)用圓錐曲線的定義是解決一些解析幾何問題有效且快捷的方法.用圓錐曲線的定義來解題，它的基本特點(diǎn)是解題思路比較簡單，規(guī)律性比較強(qiáng).能用圓錐曲線定義求解的問題往往與焦點(diǎn)或準(zhǔn)線有關(guān)，通過定義往往可以相互轉(zhuǎn)化.對于橢圓和雙曲線可以通過定義把到左焦點(diǎn)的距離和到右焦點(diǎn)的距離相互轉(zhuǎn)化，對于拋物線可以通過定義把到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化.通過定義的應(yīng)用，再利用數(shù)形結(jié)合思想，不僅能抓住問題的本質(zhì)，還能避開復(fù)雜的運(yùn)算，使問題巧妙獲解，有事半功倍之效.F