古德曼函數(shù)及其在求解非線性演化方程中的應(yīng)用

石玉仁,王雪玲,王林雪,宗　謹(jǐn),楊紅娟

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,甘肅蘭州　730070)

古德曼函數(shù)及其在求解非線性演化方程中的應(yīng)用

石玉仁,王雪玲,王林雪,宗謹(jǐn),楊紅娟

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,甘肅蘭州730070)

摘要：基于最小二乘法的思想基礎(chǔ)，提出了一種用古德曼函數(shù)構(gòu)造非線性演化方程孤立波解的半解析方法.以Burgers方程和KdV方程為例，發(fā)現(xiàn)該方法給出的孤波解與相應(yīng)的精確解吻合得很好.該方法也可以推廣到求解其他非線性演化方程的孤立波解.

關(guān)鍵詞：古德曼函數(shù);最小二乘法;孤立波解

非線性科學(xué)是目前科學(xué)研究的熱點問題之一,求解非線性偏微分方程,是非線性科學(xué)的一重要組成部分,也是物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家研究的重要課題.隨著孤立子理論的發(fā)展,許多學(xué)者提出了一系列構(gòu)造非線性方程精確解的方法,如反散射法,Backlund變換法,Darboux變換法,Hirota雙線性法,Painleve分析法及近年發(fā)展的齊次平衡法[1-3],雙曲函數(shù)法[4-6],Jacobian橢圓函數(shù)法[7,8],輔助方程法[9]等.很多方法可借助計算機代數(shù)系統(tǒng)如Maple,Mathematica等快速高效地完成.盡管已有很多求解非線性演化方程精確解的方法,但由于問題的復(fù)雜性,至今尚無統(tǒng)一的求解方法.另外絕大多數(shù)非線性方程的精確解仍無法得到;能夠得到精確解的非線性方程仍是鳳毛麟角.

古德曼函數(shù)是德國數(shù)學(xué)家克里斯托夫·古德曼(Christof Gudermann,1798—1852年)提出的一類特殊函數(shù).該函數(shù)的提出已有悠久的歷史,但對它進(jìn)行介紹的文獻(xiàn)比較少.本文對古德曼函數(shù)及其與三角函數(shù)、雙曲函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行了介紹,并提出了一種用古德曼函數(shù)構(gòu)造非線性演化方程孤立波解的半解析方法.文中用該方法求解了Burgers方程的扭結(jié)型孤立波解和Korteweg-de Vries(KdV)方程的鐘型孤立波解,發(fā)現(xiàn)該方法給出的近似解與相應(yīng)的精確解符合得很好.

1古德曼函數(shù)簡介

古德曼函數(shù)可把三角函數(shù)與雙曲函數(shù)直接聯(lián)系起來而不用借助復(fù)數(shù).它的定義如下[10]:

arcsin(tanhx)=arctan(sinhx)=

(1)

singdx=tanhx,cscgdx=cothx,

cosgdx=sechx,secgdx=coshx,

tangdx=sinhx,cotgdx=cschx,

由關(guān)系可知,凡是能用雙曲函數(shù)表示的孤立波,也可用古德曼函數(shù)表示.

單擺方程

(3)

的一個精確非周期解可以用古德曼函數(shù)表示為θ(t)=2gdt,其角速度θ′(t)=2secht具有鐘狀孤立波結(jié)構(gòu).在使用墨卡托(Mercato)投影法的地圖中,若以y表示一個地點跟赤道之間的距離,則該點的緯度φ與y的關(guān)系為φ=gdy.

圖1　古德曼函數(shù)、反正切函數(shù)與雙曲正切函數(shù)的圖像

2用古德曼函數(shù)求解非線性演化方程的孤立波解

2.1函數(shù)引入

為應(yīng)用方便,引入下列函數(shù)

(4)

函數(shù)f(ξ,W)為奇函數(shù)，其具有扭結(jié)狀或反扭結(jié)狀結(jié)構(gòu)，圖像與反正切函數(shù)或雙曲正切函數(shù)的圖像類似.這一點啟發(fā)我們：可以利用函數(shù)f來構(gòu)造非線性演化方程的扭結(jié)狀孤立波解.

我們引入下列函數(shù)

(5)

函數(shù)g(ξ,W)為偶函數(shù)，具有鐘狀結(jié)構(gòu)，可以用來構(gòu)造非線性演化方程的鐘狀孤立波解；其滿足邊界條件

(6)

2.2Burgers方程的沖擊波解

Burgers方程是物理學(xué)和數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的重要的非線性波動方程之一.如聲波在具有粘滯性和熱傳導(dǎo)性的介質(zhì)中傳播,若不考慮介質(zhì)的頻散特性和弛豫過程,控制方程在一定條件下就可以歸結(jié)為Burgers方程[11].下面舉例說明用古德曼函數(shù)構(gòu)造Burgers方程的扭結(jié)型孤立波解(近似),該法也可以推廣到求解其他方程.

考慮如下形式的Burgers方程

(7)

其中,α,β為非線性項和耗散項系數(shù)，分別表征了非線性相互作用和耗散強度.引入行波變換

(8)

其中,k和ω分別為波數(shù)和圓頻率，x0為任意常數(shù).把(8)式代入方程(7),并對ξ積分一次,取積分常數(shù)為0,得到

(9)

當(dāng)ξ→±∞時，φ′(ξ)→0，故有邊界條件

(10)

設(shè)方程(9)有近似解

(11)

(12)

一般情況下，(11)式不是方程(9)的精確解.將其代入方程(9)后,記殘差為

(13)

可采用2-范數(shù)衡量殘差的大小

(14)

把(12)式代入方程(9)左邊,經(jīng)過簡單運算,得

(15)

進(jìn)一步得到

(16)

其中

(17)

(18)

代入(16)式，得殘差的極小值

(19)

可以看出,殘差隨著ω的增加而增加，但不隨波數(shù)k的改變而發(fā)生改變.后面與精確解的比較表明，盡管ω增加時(其他參數(shù)固定)該解與精確解之間的絕對誤差(最大值)增加,但相對誤差的增加并不明顯；而且近似解與精確解僅僅在很小的區(qū)間內(nèi)有相對較大差別，在大范圍內(nèi)，兩者差別非常小.這樣，得到方程(9)用古德曼函數(shù)表示的一近似解析解

(20)

(20)式表示的近似解具有較高的精度.為表明這一點,不妨與方程(9)的精確解

(21)

α=6,β=1,ω=1,x0=0

2.3KdV方程的孤立子解

考慮如下形式的KdV方程

(22)

其中,α,β為非線性項和色散項系數(shù)，分別表征非線性相互作用和色散強度.引入行波變換(8)式后，方程(22)化為關(guān)于ξ的常微分方程；該方程兩邊對ξ積分一次,并取積分常數(shù)為0,得

(23)

這里尋找KdV方程的鐘型孤立波解，故有邊界條件

設(shè)方程(23)有近似解

(24)

其中,a0,a1和W為待定常數(shù).不失一般性,假設(shè)W>0.此時由邊界條件得a0=0，故設(shè)

(25)

(26)

與前面類似，仍采用2-范數(shù)衡量殘差的大小，并使殘差取極小值以確定a1與W.

把(25)式代入方程(23)左邊,經(jīng)過簡單運算,得

(27)

進(jìn)一步，得

(28)

其中,

0.7577221;

0.8856813;

(29)

圖3給出了不同k時近似解與精確解的波形圖.可以看出，僅在很小的空間范圍內(nèi)，兩者有較明顯差別；除此范圍外，兩者符合得非常好，說明前面提出的用古德曼函數(shù)構(gòu)造KdV方程的孤立波解是行之有效的.

α=6,β=1,ω=4β k3,x0=0

值得說明的是，對于方程近似解的擬設(shè)，選擇時有很大的自由性.通過選擇合適的擬設(shè)解，可能會得到更好的結(jié)果.事實上，對于KdV方程的孤立波解，若采取下列擬設(shè)，將得到一個更好的近似解.

(30)

(31)

α=6,β=1,ω=4βk3,x0=0

3結(jié)論

本文對古德曼函數(shù)進(jìn)行了介紹，并提出了一種利用古德曼函數(shù)構(gòu)造非線性演化方程孤立波解的半解析方法.這種方法的理論基礎(chǔ)是譜方法中的最小二乘法.文中以Burgers方程和KdV方程為例說明了該方法，并將該方法得到的近似解與相應(yīng)的精確解進(jìn)行了對照，發(fā)現(xiàn)該方法給出的解與精確解符合得很好.該方法可用于一大類非線性演化方程孤立波的求解，對于某些非線性問題的解決，具有積極的意義.

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E-mail:shiyr@nwnu.edu.cn

Gudermann function and its application for

solving nonlinear evolution equations

SHI Yu-ren,WANG Xue-ling,WANG Lin-xue,ZONG Jin,YANG Hong-juan

(College of Physics and Electronic Engineering,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

Abstract:Based on the thought of the least square method,a semi-analytical method,in which the Gudermann function is applied,is presented for obtaining the solitary wave solutions of a class of nonlinear evolution equations.As an example,this method is applied to find the solitary wave solutions of the Burgers equation and the KdV equation.The solitary wave solutions are agreement well with the exact ones.The method presented in this paper can also be generalized to find the solitary wave solutions of a class of nonlinear evolution equations.

Key words:Gudermann function;the least square method;solitary wave solution

中圖分類號：O 411.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-988Ⅹ(2015)02-0037-05

作者簡介：石玉仁(1975—)，男，甘肅金昌人，教授，博士.主要研究方向為非線性物理.

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(11047010)

收稿日期：2014-09-20;修改稿收到日期:2014-11-25