屈文俊+宋超+朱鵬+郭朋

摘要：為研究人行激勵(lì)下大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)的舒適度問題，對(duì)目前比較流行的壓型鋼板-混凝土組合樓蓋體系進(jìn)行有限元建模，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行瞬態(tài)振動(dòng)的分析，將得到的結(jié)果與美國規(guī)范AISC-11的計(jì)算結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明：AISC-11計(jì)算方法對(duì)人行激勵(lì)的簡化并不合理，造成峰值加速度與實(shí)際誤差較大，偏于不舒適；人行激勵(lì)模型考慮了多階簡諧激勵(lì)的作用和人行激勵(lì)作用位置的變化以及人與樓蓋相互作用的過程，更貼近實(shí)際。

關(guān)鍵詞：壓型鋼板-混凝土組合樓蓋；舒適度；人行激勵(lì)；振動(dòng)分析；峰值加速度

中圖分類號(hào)：TU357.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引 言

在大跨度樓蓋結(jié)構(gòu)體系中，一般選用壓型鋼板-混凝土組合樓蓋，由于該樓蓋體系較柔，容易引起人行走的不舒適，所以大跨度壓型鋼板-混凝土組合樓蓋的設(shè)計(jì)大多并非由強(qiáng)度控制，而是由樓板的舒適度控制。

舒適度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)主要有頻率限值標(biāo)準(zhǔn)、加速度限值標(biāo)準(zhǔn)等，目前以美國AISC-11和加拿大CSA標(biāo)準(zhǔn)為代表的許多國外標(biāo)準(zhǔn)越來越趨向于用峰值加速度來衡量，中國由于這方面的研究較少，多是根據(jù)國外標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行案例研究。從工程實(shí)用的角度來看，用峰值加速度來評(píng)價(jià)樓板的舒適度較為簡潔，但其實(shí)質(zhì)問題仍是振動(dòng)分析的問題。

本文結(jié)合工程實(shí)例，討論人行激勵(lì)下壓型鋼板-混凝土組合樓蓋的振動(dòng)分析方法，為樓蓋的工程設(shè)計(jì)提供參考。

1 分析模型

人行激勵(lì)下壓型鋼板-混凝土組合樓蓋的振動(dòng)分析屬于連續(xù)體的強(qiáng)迫振動(dòng)問題，計(jì)算分析中一般簡化為有限自由度體系。利用有限元模型對(duì)連續(xù)體進(jìn)行離散化，將樓蓋結(jié)構(gòu)劃分為有限個(gè)單元，這些單元在節(jié)點(diǎn)處相互連接，建立位移場函數(shù)，通過插值和變分原理對(duì)各個(gè)單元進(jìn)行力學(xué)分析；然后按照單元之間連接點(diǎn)上的力平衡條件或變形連續(xù)條件把單元拼湊成原來的結(jié)構(gòu)，由此列出并求解以節(jié)點(diǎn)位移作為未知量的方程組[1]。

根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；u為位移向量；為速度向量；為加速度向量；F（t）為荷載向量。

由上述可以看出，結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析主要牽涉到慣性（質(zhì)量）、彈性（剛度）、能量耗散機(jī)制（阻尼）和外部干擾荷載。根據(jù)這4個(gè)方面來建立振動(dòng)分析的模型，質(zhì)量矩陣以及剛度矩陣可以通過建模直接得到。能量耗散機(jī)制非常復(fù)雜，為了使動(dòng)力方程更容易解耦，運(yùn)算效率更高，此處采用瑞利阻尼實(shí)現(xiàn)，其計(jì)算公式如下

式中：α為質(zhì)量阻尼系數(shù)；β為剛度阻尼系數(shù)。

人行激勵(lì)作用作為外部干擾荷載，可以簡化為確定性的周期荷載并將其展開成傅里葉級(jí)數(shù)。根據(jù)式（1）求得結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性，即自振頻率和特征振型，引入邊界條件，利用有限元法求解式（2），可進(jìn)一步得到加速度響應(yīng)。

1.1 有限元建模

利用通用有限元軟件ANSYS[2]對(duì)一常見的大跨度樓蓋體系建立有限元模型，該樓蓋結(jié)構(gòu)平面布置如圖1所示。根據(jù)常用樓蓋結(jié)構(gòu)幾何尺寸，選取次梁跨度Lj=7 m，主梁跨度Lg=9 m，該樓蓋體系由型鋼梁和150 mm厚的壓型鋼板-混凝土組合樓板所組成，其中柱用Z表示，主梁用KL表示，次梁用L表示。圖2為組合樓板截面尺寸。

壓型鋼板所采用的型號(hào)為YX-75-200-600，鋼板的厚度為0.8 mm。鋼構(gòu)件均采用焊接H型鋼，柱采用HW300×300×8×10，主梁采用HW550×250×7×10，次梁采用HW450×200×7×10，所有鋼構(gòu)件均為Q345鋼?；炷翉?qiáng)度等級(jí)為C25，在動(dòng)力荷載作用下，混凝土彈性模量會(huì)提高約35%，故取值為37.8 GPa[3]。

根據(jù)以上幾何尺寸及材料特性，在有限元軟件ANSYS中建模，樓蓋鋼柱與鋼梁均采用Beam189三維梁單元，考慮彎曲和扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。壓型鋼板采用Shell181單元，混凝土采用Solid65單元，有限元網(wǎng)格劃分為120 mm。由于人行激勵(lì)作用相對(duì)較小，結(jié)構(gòu)還處于彈性階段。建模時(shí)認(rèn)為，壓型鋼板和混凝土之間是無滑移的。在ANSYS中，通過使壓型鋼板與混凝土板底面共節(jié)點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)兩者之間的固接。主次梁之間的連接是鉸接，通過釋放主次梁間的扭轉(zhuǎn)自由度約束來實(shí)現(xiàn)。對(duì)于樓蓋結(jié)構(gòu)，其邊界條件對(duì)受力性能及動(dòng)力特性影響較大。此處，組合樓蓋支承于混凝土邊梁，邊梁相當(dāng)于樓蓋的彈性支承，考慮到樓蓋在人行激勵(lì)下的微振動(dòng)難以傳遞到與其相鄰的樓層，因此可以僅將柱子上下各延伸1個(gè)樓層高度，然后在端部采用固接約束。樓蓋結(jié)構(gòu)的4個(gè)角點(diǎn)處的平動(dòng)自由度也要進(jìn)行相應(yīng)的約束，避免樓蓋結(jié)構(gòu)平面內(nèi)的剛體位移。

結(jié)構(gòu)阻尼比模擬實(shí)際情況取0.03，采用瑞利阻尼實(shí)現(xiàn)。ANSYS通過模態(tài)分析獲得結(jié)構(gòu)的2階角頻率，然后再結(jié)合振型阻尼比進(jìn)行計(jì)算。

1.2 人行激勵(lì)作用的模型

分析樓蓋結(jié)構(gòu)在人行激勵(lì)（如行走、跑步、跳躍甚至有氧健身運(yùn)動(dòng)）作用下的響應(yīng)，主要研究單人步行力的情況，按照確定性時(shí)域步行荷載模型來進(jìn)行加載，即步態(tài)參數(shù)保持恒定，動(dòng)力荷載近似按周期加載[4]，只考慮在豎直方向的振動(dòng)而忽略對(duì)樓板平面內(nèi)的影響。

一般情況下，人行激勵(lì)作用可由頻率不同的簡諧激勵(lì)合成，而且這些簡諧激勵(lì)的頻率與步頻成正整數(shù)倍關(guān)系（即按其傅里葉級(jí)數(shù)展開）。當(dāng)分解的簡諧激勵(lì)的步頻與樓蓋體系的固有頻率接近時(shí)，便會(huì)引發(fā)共振效應(yīng)，使動(dòng)力響應(yīng)更加強(qiáng)烈。因此在進(jìn)行振動(dòng)分析時(shí)如何確定人行激勵(lì)的振動(dòng)頻率十分關(guān)鍵，其一般的取值范圍在1.6～2.5 Hz之間，但要準(zhǔn)確推測則難以做到。因此按其最不利的情況來考慮，人為選取人行激勵(lì)的頻率，使樓板固有頻率為其正整數(shù)倍，從而得到最大的動(dòng)力響應(yīng)，此處考慮4種不同的人行激勵(lì)作用模型[5-6]。

（1）模型1

假定人行走時(shí)的步行力F是嚴(yán)格的周期函數(shù)。模型1的人行激勵(lì)時(shí)程曲線如圖4所示，其函數(shù)方程形式為

式中：P為行人的重量，取750 N；i為簡諧波數(shù)，取值見表1；αi為第i個(gè)簡諧激勵(lì)的動(dòng)荷載因子，為試驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)平均值；fs為人行激勵(lì)頻率；t為時(shí)間。

當(dāng)運(yùn)用模型1時(shí)，只考慮能夠引起結(jié)構(gòu)共振的

簡諧激勵(lì)，把它加在樓蓋結(jié)構(gòu)最高階模態(tài)的豎向位移幅值上，人行激勵(lì)的頻率與樓蓋結(jié)構(gòu)的固有頻率相等。

（2）模型2

在作用位置方面，模型2與模型1相同，但模型2考慮了與人的重量有關(guān)的靜力荷載，認(rèn)為人行激勵(lì)是人的重量和由傅里葉級(jí)數(shù)表示的簡諧激勵(lì)的疊加。模型2的人行激勵(lì)時(shí)程曲線如圖5所示，其函數(shù)形式為

傅里葉級(jí)數(shù)的階次取值可以不同，最多的為5階，最少的為1階，一般認(rèn)為考慮前3階已經(jīng)足夠。在本例中，考慮傅里葉級(jí)數(shù)的前4階，其他參數(shù)以及系數(shù)同模型1。

3）模型3

樓蓋上的人行激勵(lì)同樣由方程式（5）所確定，并取前4階簡諧振動(dòng)疊加而成，但在模型3中考慮了動(dòng)力荷載的作用位置隨著行人位置的移動(dòng)而變化。模型3中的步長和步速參數(shù)見表2[7]。

具體人行激勵(lì)作用的加載方式如圖6所示。該模型3把1個(gè)荷載步分解為4個(gè)等間距的動(dòng)力荷載P1～P4，荷載由方程式（5）在不同時(shí)間t下計(jì)算得到，依次輪流作用于樓蓋結(jié)構(gòu)上。

（4）模型4

樓蓋上活動(dòng)的人可能會(huì)顯著改變樓蓋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，將人群作為附加質(zhì)量不盡合理，因此更為真實(shí)的做法是把人的身體等效成1個(gè)質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，使之與結(jié)構(gòu)相互作用。

單個(gè)站著或坐著的人對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性（頻率、阻尼）有顯著影響[7]，會(huì)降低結(jié)構(gòu)頻率，增加結(jié)構(gòu)的阻尼。許多研究表明：人群動(dòng)荷載與結(jié)構(gòu)之間也有耦合作用，動(dòng)態(tài)人群也會(huì)改變結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。

采用文獻(xiàn)[8]中所提出的單自由度的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)模型，具體如圖7所示，對(duì)于重量為750 N的行人來說，通過考慮單自由度模型的動(dòng)力特性對(duì)其質(zhì)量、剛度、阻尼進(jìn)行折算，得到模型質(zhì)量m=77.25 kg，彈簧剛度K=1.005×105 N·m-1，阻尼系數(shù)C=3 870 N·s·m-1。在ANSYS軟件中，選用Combin14單元模擬人體動(dòng)力性質(zhì)，選用Mass21單元模擬人體質(zhì)量，并考慮加載隨位置的改變。沿路線方向每隔1個(gè)行人步長，在離樓蓋高1.2 m處（即人靜止時(shí)的重心高度）建立節(jié)點(diǎn)，定義質(zhì)量單元，考慮行人的質(zhì)量。連接質(zhì)量單元節(jié)點(diǎn)和

圖7 模型4的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

Fig.7 Mass-spring-damp System of Model 4相應(yīng)樓蓋節(jié)點(diǎn)建立彈簧單元，通過定義彈簧單元的實(shí)常數(shù)考慮行人的豎向剛度和阻尼，加載時(shí)利用生死單元法。

2 實(shí)例分析

根據(jù)工程實(shí)例對(duì)次梁跨度為7 m、間距為3 m的大跨度壓型鋼板-混凝土組合樓蓋體系進(jìn)行有限元模型的振動(dòng)分析，并將分析結(jié)果與按照美國鋼結(jié)構(gòu)協(xié)會(huì)提出的AISC-11標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算的結(jié)果與限值進(jìn)行比較。

2.1 基于有限元模型的樓蓋體系振動(dòng)分析

2.1.1 模態(tài)分析

ANSYS模態(tài)分析為一階線性分析[9-17]，在已知系統(tǒng)的頻率范圍下，采用分塊蘭索斯法得到樓蓋體系的前4階頻率f1～f4及模態(tài)，其豎直方向的振型如圖8～11所示。

2.1.2 加速度響應(yīng)分析

考慮動(dòng)力分析的準(zhǔn)確性以及效率，采用完全法諧響應(yīng)分析計(jì)算瞬態(tài)響應(yīng)。

（1）模型1

將由方程式（4）所確定的人行激勵(lì)施加到第1階模態(tài)的位移幅值處，加載點(diǎn)見圖12。按有限元模型模態(tài)分析得到樓蓋結(jié)構(gòu)的固有頻率為7.588 Hz，頻率為1.897 Hz的人行激勵(lì)的第4個(gè)簡諧函數(shù)才能引起共振效應(yīng)，因此作為激勵(lì)被應(yīng)用。引起共振的人行激勵(lì)作用周期Tp=1/fs=0.527 s，加載總時(shí)長取5個(gè)周期長度為2.636 s，并且考慮0.5的

圖12 模型1加載點(diǎn)（單位：mm）

Fig.12 Loading Point of Model 1 （Unit：mm）折減系數(shù)（對(duì)于人行走而言，完整的穩(wěn)態(tài)共振響應(yīng)是很難達(dá)到的，并且行走的人與受干擾的人不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在第1階振動(dòng)模態(tài)的最大位移處），得到的加速度時(shí)程曲線見圖13，峰值加速度為0.012 9 m·s-2，小于AISC-11的限值規(guī)定（住宅、辦公樓峰值加速度限值為0.049 m·s-2），并且加速度最大值出現(xiàn)在2.008 4 s，后面的周期峰值加速度穩(wěn)定在0.0129 m·s-2附近。位移幅值為6.120 mm。

（2）模型2

將由方程式（5）所確定的人行激勵(lì)加載到第1階模態(tài)的位移幅值處，加載點(diǎn)同樣如圖12所示。引起共振的人行激勵(lì)作用周期Tp=1/fs=0.527 s，加載總時(shí)長取8個(gè)周期長度為4.216 s，同樣考慮0.5的折減系數(shù)，得到的加速度時(shí)程曲線如圖14所示。峰值加速度為0.038 9 m·s-2，小于AISC-11的限值0.049 m·s-2。峰值加速度出現(xiàn)在0.063 3 s，后面的周期峰值加速度大概穩(wěn)定在0.020 4 m·s-2附近。位移幅值為6.164 mm。

（3）模型3

模型3考慮了人行激勵(lì)的時(shí)間和空間效應(yīng)，此處采用2種不同的加載路線進(jìn)行比較，如圖15所示。根據(jù)表2，由線性內(nèi)插法可以得到對(duì)應(yīng)于步頻為1.897 Hz的第4個(gè)簡諧波的步長d=0.699 m。P1，P2，P3，P4加載間距的理論值d/3=0.233 m，實(shí)際加載時(shí)近似取加載間距為0.24 m。人行激勵(lì)作用的周期T=1/fs=0.527 s。每個(gè)力在樓蓋結(jié)構(gòu)上的作用時(shí)間T/3=0.176 s。本模型考慮了加載的空間變化，因此計(jì)算時(shí)沒有考慮動(dòng)力荷載的折減系數(shù)。

沿路線1加載，第1階模態(tài)位移幅值點(diǎn)（中點(diǎn)）處的加速度時(shí)程曲線見圖16，峰值加速度為0.229 m·s-2，大于AISC-11的限值0.049 m·s-2。峰值加速度出現(xiàn)的時(shí)間為3.163 s，此時(shí)動(dòng)力荷載大約加載到樓蓋跨中的位置，與理論推測值比較吻合。從加速度時(shí)程曲線隨時(shí)間變化規(guī)律可以看出，人行走位置越接近跨中，測試點(diǎn)的加速度值越大，在跨中位置附近加速度值達(dá)到最大。隨著人遠(yuǎn)離測點(diǎn)，測點(diǎn)加速度值減小，并且行人行走至跨中位置以后的節(jié)點(diǎn)時(shí)，測點(diǎn)峰值加速度都比位于前面對(duì)稱位置處節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值要大，這是由于前面存在已有振動(dòng)影響的結(jié)果，位移幅值為6.211 mm。荷載沿路線2作用的情況下，該線路的加速度時(shí)程曲線如圖17所示。峰值加速度為0.223 m·s-2，大于AISC-11的限值規(guī)定。峰值加速度出現(xiàn)的時(shí)間點(diǎn)為3.69 s，位移幅值為6.208 mm，其他特性同路線1。