盧浩殷+金俊

平面向量數(shù)量積在近幾年高考中均有涉及，而且都有一定的難度。這類試題往往以平面向量知識為載體，綜合函數(shù)、不等式、三角等知識，所涉及到的知識點(diǎn)較多，對解題能力考查的層次要求較高，考生在解答時(shí)，常常表現(xiàn)為無從下手，或者半途而廢。難而在一些問題的解決過程中，也發(fā)現(xiàn)了一些比較常見易掌握的有效方法，在此共同探討一下：

當(dāng)題中所給的圖形對稱或適合建立坐標(biāo)系時(shí)，我們可以建立合適的坐標(biāo)系，把復(fù)雜的平面向量的轉(zhuǎn)化問題直接轉(zhuǎn)化為純坐標(biāo)的計(jì)算問題，而此法最關(guān)鍵的地方在于表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)，方便計(jì)算。

【案例1】在△ABC中，BC=6，BC邊上的高為2，則 的最小值為______

分析1：其實(shí)平面向量也是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段。對于本題我們就可以建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來完成。過程如下：

以BC所在直線為x軸，BC的中垂線為y軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則B（-3，0），C（3，0），A（x，2），則 =（-3-x，-2）， =（3-x，-2）， =（-3-x）（3-x）+4=x2-5，所以當(dāng)x=0時(shí)，取得最小值-5，此時(shí)AB=AC。

分析2：當(dāng)然我們也可以以BC所在直線為x軸，過A作BC的垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B（-a，0），則C（6-a，0），以下略。

從上題中發(fā)現(xiàn)通過建立直角坐標(biāo)系，顯然將抽象的復(fù)雜的向量數(shù)量積問題通過坐標(biāo)計(jì)算的方式減少了許多的計(jì)算過程和思維過程，達(dá)到事半功倍的效果。

【案例2】已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC= ，∠BAC=120°，若 =α +β ，α+β的最小值為_____

分析：此類問題比較常見，學(xué)生在解題過程中往往無從下手，作為教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生去審題，找到題中的關(guān)鍵點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生用常規(guī)方法進(jìn)行求解。對于本題，關(guān)鍵點(diǎn)是什么？是外心（三邊中垂線的交點(diǎn)），其次兩邊及其夾角，作用是什么？可以求數(shù)量積，可以求第三邊長。最后條件的作用是什么？建立點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系。本題可以嘗試用建系的方法進(jìn)行求解。

過程：以AC所在直線為x軸，過A作BC的垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（ ），C（ ，0），AC的中垂線為x= ，AB的中垂線為

求出兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)即圓心的坐標(biāo)O（ ）

∴

∴

∴

∴

變式1：如圖正六邊形ABCDEF 中，P是△CDE內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè) =α +β （α、β∈R），則α+β的取值范圍是_____

變式2：給定兩個(gè)長度為1的平面向量， 和 ，它們的夾角為120°，如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)。若， =x + y ，其中x，y∈R，則x+y的最大值是_____

分析：這兩小題是案例2的變式題，在解題思路上與案例2如出一轍，不過本題是側(cè)重通過建系坐標(biāo)化，把向量問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來研究，過程略。

【案例3】如圖，AB是半徑為3的圓O的直徑，P是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，Q是線段AP上靠近A的三等分點(diǎn)，且 =4，則 的值為_____

分析1：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（3cosα，3sinα），由Q是線段AP上靠近A的三等分點(diǎn)，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，則 =4，得到cosα= - ，再求 ，化簡整理，即可得到結(jié)果。

方法一考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，考查三角化簡整理的運(yùn)算能力。

分析2：以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（0，n），B（-m，0），m2+n2=36，Q（0， ）， =4，求出n2的值，再求出m2的值，再求 ，化簡整理，即可得到結(jié)果。

【點(diǎn)評】

有關(guān)平面向量的數(shù)量積等問題的解決途徑多多，比如也可以利用向量轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合法等等。解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能說明問題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里。

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣氾水高級中學(xué)）