許姍姍，楊平

(上海電力學(xué)院 自動(dòng)化工程學(xué)院，上海 200090)

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階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法的應(yīng)用特性

許姍姍，楊平

(上海電力學(xué)院 自動(dòng)化工程學(xué)院，上海 200090)

摘要：為解決用常用階躍響應(yīng)辨識(shí)方法辨識(shí)有噪聲階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)時(shí)誤差大的問(wèn)題，研究了階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法的應(yīng)用特性。通過(guò)理論分析和仿真試驗(yàn)研究，提出了階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法應(yīng)用于穩(wěn)態(tài)增益不為1過(guò)程、無(wú)自平衡過(guò)程、有零點(diǎn)過(guò)程和有噪聲過(guò)程以及未達(dá)穩(wěn)態(tài)過(guò)程時(shí)的處理技術(shù)。經(jīng)過(guò)算例驗(yàn)證，所設(shè)計(jì)的自動(dòng)確定階數(shù)n的階躍響應(yīng)面積法辨識(shí)算法程序是可行的。研究表明，階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法具有對(duì)噪聲不敏感、辨識(shí)精度高和易于用計(jì)算機(jī)自動(dòng)執(zhí)行的優(yōu)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：階躍響應(yīng)傳遞函數(shù)過(guò)程辨識(shí)噪聲誤差

根據(jù)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)或曲線辨識(shí)出被控過(guò)程的數(shù)學(xué)模型的方法有很多，常用的有圖解建模方法，如切線法和兩點(diǎn)法[1-2]。切線法和兩點(diǎn)法應(yīng)用于實(shí)際工程時(shí)，常存在因噪聲或未知擾動(dòng)疊加在階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)上而使被控過(guò)程數(shù)學(xué)模型辨識(shí)失敗或辨識(shí)誤差偏大的問(wèn)題。為此，筆者展開了對(duì)一種基于面積計(jì)算的簡(jiǎn)化辨識(shí)方法的應(yīng)用特性研究，選擇面積計(jì)算辨識(shí)方法是因?yàn)樵摲椒ū举|(zhì)上具有對(duì)噪聲或未知擾動(dòng)不敏感的優(yōu)秀特性；但該方法應(yīng)用于實(shí)際工程的其他相關(guān)特性還需要進(jìn)一步考察。文獻(xiàn)[3-5]給出了較通用的階躍響應(yīng)面積法辨識(shí)算法，適用面寬，但計(jì)算較復(fù)雜且應(yīng)用較困難。文獻(xiàn)[4]指出應(yīng)用階躍響應(yīng)面積法辨識(shí)算法時(shí)有模型階數(shù)確定問(wèn)題并提出了用判斷傳遞函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù)是否為正的方法。文獻(xiàn)[5]給出了一種較簡(jiǎn)單的階躍響應(yīng)面積法辨識(shí)算法，它應(yīng)用容易但理論上不適用于有零點(diǎn)的被控過(guò)程。以下的研究表明，這種階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法具有應(yīng)用簡(jiǎn)便、對(duì)噪聲不敏感和辨識(shí)精度高的優(yōu)越特性。

1階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法

根據(jù)文獻(xiàn)[5]，對(duì)于無(wú)零點(diǎn)且穩(wěn)態(tài)增益為1的系統(tǒng)傳遞函數(shù)：

(1)

有單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)微分方程：

(2)

當(dāng)t→∞時(shí)有終值條件：

(3)

將式(2)的y(t)項(xiàng)移至等式右邊，并在[0， t]上對(duì)等式兩端積分，可得：

(4)

若定義：

(5)

則由式(3)可知，當(dāng)t→∞時(shí)：

(6)

將式(4)的a1y(t)移到等式右邊，并在[0, t]上對(duì)等式兩端積分，再定義F2(t)：

(7)

則當(dāng)t→∞時(shí)由式(3)可得：

a2=F2(∞)

(8)

由此類推，可得通式

F0(t)=1(i=1, 2, …, n)

(9)

根據(jù)式(9)，可設(shè)計(jì)出計(jì)算機(jī)可執(zhí)行的階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法程序。

式(9)中Fi(∞)的計(jì)算是積分計(jì)算，也就是面積計(jì)算。假設(shè)過(guò)程響應(yīng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為N+1，采樣周期為h，則Fi(∞)的計(jì)算可采用數(shù)值積分方法。若用矩形公式，可得到式(10)；若用梯形公式，可得到式(11)。

(10)

(11)

2階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法的應(yīng)用特性

2.1穩(wěn)態(tài)增益不為1的過(guò)程辨識(shí)

若待辨識(shí)過(guò)程的穩(wěn)態(tài)增益不為1，即待辨識(shí)過(guò)程的傳遞函數(shù)如式(12)所示，則可先進(jìn)行增益標(biāo)幺化處理，見式(13)，再應(yīng)用階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法。實(shí)際執(zhí)行的增益標(biāo)幺化處理是將原始的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)都除以K，形成穩(wěn)態(tài)增益為1過(guò)程的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)。

(12)

(13)

2.2無(wú)自平衡過(guò)程辨識(shí)

對(duì)于無(wú)自平衡過(guò)程，不能直接用階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法進(jìn)行辨識(shí)。但是對(duì)無(wú)自平衡過(guò)程的階躍響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算后，其響應(yīng)就成為有自平衡過(guò)程的階躍響應(yīng)了。因此，對(duì)于無(wú)自平衡過(guò)程，可先對(duì)求導(dǎo)運(yùn)算后響應(yīng)數(shù)據(jù)用階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法進(jìn)行辨識(shí)，再對(duì)求出的過(guò)程模型(有自平衡過(guò)程)作積分運(yùn)算，就可得到無(wú)自平衡過(guò)程模型。

2.3有零點(diǎn)過(guò)程辨識(shí)

雖然階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法是針對(duì)無(wú)零點(diǎn)的有自平衡過(guò)程模型導(dǎo)出的，但是有零點(diǎn)的有自平衡過(guò)程在一定條件下是存在無(wú)零點(diǎn)有自平衡過(guò)程的等效模型的。因?yàn)?，零點(diǎn)特性和極點(diǎn)特性是相反的特性，所以兩者特性可以相互抵消。常見的有零點(diǎn)的有自平衡過(guò)程大多是零點(diǎn)少、極點(diǎn)多的過(guò)程。一般都是極點(diǎn)特性強(qiáng)于零點(diǎn)特性，所以其極點(diǎn)特性抵消完其零點(diǎn)特性后還有富余，故存在等效的無(wú)零點(diǎn)有自平衡過(guò)程。因此，用階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法辨識(shí)有零點(diǎn)的有自平衡過(guò)程時(shí)，就是辨識(shí)其等效的無(wú)零點(diǎn)有自平衡過(guò)程。

2.4階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)含噪聲時(shí)的過(guò)程辨識(shí)

一般情況下，在現(xiàn)場(chǎng)所測(cè)得的實(shí)際過(guò)程階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)中都含有未知的噪聲和隨機(jī)擾動(dòng)成分。而階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法主要依據(jù)面積計(jì)算的原理，所以對(duì)未知的噪聲和隨機(jī)擾動(dòng)信號(hào)不會(huì)太敏感。而若用切線法或兩點(diǎn)法的圖解建模方法辨識(shí)時(shí)，未知的噪聲和隨機(jī)擾動(dòng)信號(hào)將有可能帶來(lái)較大的計(jì)算誤差，例如擾動(dòng)信號(hào)恰好疊加在所測(cè)取得采樣點(diǎn)上時(shí)，特征參數(shù)就可能算得很不準(zhǔn)。

2.5未達(dá)穩(wěn)態(tài)的階躍響應(yīng)過(guò)程辨識(shí)

在現(xiàn)場(chǎng)所測(cè)得的實(shí)際過(guò)程階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)有可能是未達(dá)穩(wěn)態(tài)的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)。特別是對(duì)于那些慢響應(yīng)過(guò)程，要測(cè)取到完全達(dá)到穩(wěn)態(tài)的實(shí)際過(guò)程階躍響應(yīng)數(shù)據(jù),可能很困難。因此，難免碰到應(yīng)用階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法算法辨識(shí)未達(dá)穩(wěn)態(tài)過(guò)程的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)的場(chǎng)合。因?yàn)殡A躍響應(yīng)辨識(shí)面積法算法是依據(jù)終值條件導(dǎo)出的，未達(dá)穩(wěn)態(tài)就不滿足終值條件，其辨識(shí)結(jié)果就有可能誤差很大。

2.6模型階數(shù)未知的過(guò)程辨識(shí)

圖1　自動(dòng)確定模型階數(shù)的階躍響應(yīng)面積法辨識(shí)程序流程

在應(yīng)用階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法于某過(guò)程的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)時(shí)，常常還不知道該過(guò)程的模型結(jié)構(gòu)和階數(shù)。若過(guò)程模型階數(shù)n未知，則用一組階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)就辨識(shí)出多個(gè)不同階數(shù)的過(guò)程模型。于是就存在著確定最優(yōu)的n的問(wèn)題。為此，專門設(shè)計(jì)了如圖1所示的自動(dòng)確定n的階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法流程。圖1中，I是辨識(shí)誤差積分性能指標(biāo)。若選用誤差平方積分指標(biāo)，則定義如式(14)所示。由圖1可知，先設(shè)模型階數(shù)i為1，再依次增加模型階數(shù)i；每增加一次都算出相應(yīng)的過(guò)程模型和辨識(shí)誤差指標(biāo)；通過(guò)比較增加階數(shù)前后模型的誤差指標(biāo)大小來(lái)確定最優(yōu)的n；誤差變小時(shí)則說(shuō)明階數(shù)增加有效；誤差變大時(shí)則說(shuō)明階數(shù)增加有誤。因此，誤差由大變小時(shí)，可令i增加，而誤差由小變大時(shí)，可判定當(dāng)前的過(guò)程模型階數(shù)i值就是所求最佳值n。

(14)

3算例驗(yàn)證

3.1算例一

設(shè)所要辨識(shí)的過(guò)程具有如式(15)所示的模型。可見，其n=2，模型增益K=10。為了便于應(yīng)用階躍響應(yīng)面積法辨識(shí)程序處理，可先進(jìn)行增益標(biāo)幺化處理，見式(16)。事實(shí)上，實(shí)際的處理是將所得的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)都除以K。

(15)

(16)

通過(guò)Simulink仿真試驗(yàn)可得該模型的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)和疊加白噪聲后的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)(參見圖2中實(shí)線)。對(duì)這2套數(shù)據(jù)分別用自動(dòng)確定階數(shù)n的階躍響應(yīng)面積法辨識(shí)程序處理，可得辨識(shí)結(jié)果見表1所列。參照文獻(xiàn)[6]，可用階躍響應(yīng)兩點(diǎn)法辨識(shí)方法人工處理這2套數(shù)據(jù)，所得結(jié)果也列在表1 中。

圖2　有噪聲時(shí)兩種方法辨識(shí)結(jié)果比較

由表1可見，對(duì)于無(wú)白噪聲的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)，面積法辨識(shí)結(jié)果a1和兩點(diǎn)法辨識(shí)結(jié)果a2幾乎相同；但當(dāng)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)加白噪聲后，面積法辨識(shí)結(jié)果a1幾乎不受影響(還可參見圖3中虛線)，而兩點(diǎn)法辨識(shí)結(jié)果a2誤差卻明顯增大。從圖3可以看出，兩點(diǎn)法辨識(shí)所得響應(yīng)曲線(參見圖3中粗實(shí)線)明顯偏離正確響應(yīng)曲線。

表1有/無(wú)白噪聲時(shí)面積法和兩點(diǎn)法的辨識(shí)結(jié)果比較

項(xiàng) 目無(wú)白噪聲有白噪聲a1a2a1a2已知參數(shù)15.0054.0015.0054.00面積法15.0055.5415.0255.95兩點(diǎn)法15.0455.1116.7163.43

若用階躍響應(yīng)面積法辨識(shí)程序處理未達(dá)穩(wěn)態(tài)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)(其響應(yīng)時(shí)間只有30s，而達(dá)穩(wěn)態(tài)的響應(yīng)時(shí)間至少有60s)，則可得如圖3所示的辨識(shí)結(jié)果。

圖3　未達(dá)穩(wěn)態(tài)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)的辨識(shí)結(jié)果曲線

由圖3可見，對(duì)未達(dá)穩(wěn)態(tài)的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)用階躍響應(yīng)面積法辨識(shí)，辨識(shí)誤差會(huì)很大。

3.2算例二

設(shè)所要辨識(shí)的過(guò)程具有如式(17)所示的模型。可見，模型階數(shù)n=3，模型增益K=1。

(17)

通過(guò)Simulink仿真試驗(yàn)可得該模型的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)，(如圖4中細(xì)實(shí)線)以及疊加白噪聲后的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)(如圖5中細(xì)實(shí)線)。對(duì)這2套數(shù)據(jù)分別用自動(dòng)確定階數(shù)n的階躍響應(yīng)面積法辨識(shí)程序處理，可得辨識(shí)結(jié)果見表2所列。參照文獻(xiàn)[2]，可用階躍響應(yīng)兩點(diǎn)法辨識(shí)方法人工處理這2套數(shù)據(jù)，所得結(jié)果也列在表2中。

從表2可以看出，面積法辨識(shí)結(jié)果幾乎不受噪聲影響，而兩點(diǎn)法辨識(shí)結(jié)果卻受噪聲的影響很大。從圖4和圖5可以印證這個(gè)結(jié)論，兩點(diǎn)法辨識(shí)所得響應(yīng)曲線明顯偏離正確的響應(yīng)曲線。

圖4　無(wú)噪聲時(shí)兩種方法辨識(shí)結(jié)果比較

圖5　有噪聲時(shí)兩種方法辨識(shí)結(jié)果比較

項(xiàng) 目無(wú)白噪聲有白噪聲a1a2a3a1a2a3已知參數(shù)16.0069.0054.0016.0069.0054.00面積法16.0070.6639.5416.0271.1033.19兩點(diǎn)法15.9885.14151.2017.34100.30193.20

對(duì)比表1，從表2還可以看出，無(wú)論是面積法辨識(shí)還是兩點(diǎn)法辨識(shí)，隨著模型階數(shù)的增加，傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的系數(shù)辨識(shí)誤差，對(duì)應(yīng)冪次越高的系數(shù)其誤差越大的趨勢(shì)更加明顯。例如，a1的真值為16，無(wú)噪聲時(shí)面積法和兩點(diǎn)法的辨識(shí)結(jié)果分別是16和15.98；a3的真值為54，無(wú)噪聲時(shí)面積法和兩點(diǎn)法的辨識(shí)結(jié)果分別是39.53和151.2。這說(shuō)明面積法和兩點(diǎn)法的辨識(shí)誤差隨著階數(shù)的增加而增加，面積法辨識(shí)誤差增長(zhǎng)的速度不如兩點(diǎn)法辨識(shí)那么快。從圖4可以看出，面積法辨識(shí)曲線還能與正確曲線相重合，而兩點(diǎn)法辨識(shí)曲線已與正確曲線相重合有明顯差異。

3.3算例三

設(shè)所要辨識(shí)的過(guò)程具有如式(18)所示的模型，可見這是一個(gè)有零點(diǎn)的過(guò)程。

(18)

通過(guò)Simulink仿真試驗(yàn)可得該模型的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)(如圖6中實(shí)線)。對(duì)這套數(shù)據(jù)用自動(dòng)確定階數(shù)n的階躍響應(yīng)面積法辨識(shí)程序處理，可得辨識(shí)結(jié)果如圖6和式(19)所示。

圖6　有零點(diǎn)過(guò)程的辨識(shí)結(jié)果曲線

(19)

由圖6可見，辨識(shí)響應(yīng)與實(shí)際響應(yīng)還是有差異的。畢竟所用辨識(shí)方法是基于無(wú)零點(diǎn)模型導(dǎo)出的。但是，其差異并不大，所得近似模型雖然簡(jiǎn)單，但是有控制器參數(shù)整定應(yīng)用價(jià)值。

由式(19)可見，有零點(diǎn)的3階模型被等效為1階無(wú)零點(diǎn)模型，模型結(jié)構(gòu)變化較大，意味著1個(gè)零點(diǎn)消去了2個(gè)極點(diǎn)。不管怎樣，面積法辨識(shí)簡(jiǎn)化算法能夠?qū)τ辛泓c(diǎn)過(guò)程進(jìn)行辨識(shí)，只是辨識(shí)結(jié)果是零極點(diǎn)相消后的等效無(wú)零點(diǎn)過(guò)程模型。

4結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，可歸納如下4個(gè)研究結(jié)論：

1) 階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法具有應(yīng)用簡(jiǎn)便、對(duì)噪聲不敏感、辨識(shí)精度高和易于用計(jì)算機(jī)自動(dòng)執(zhí)行的優(yōu)越特性。

2) 所設(shè)計(jì)的自動(dòng)確定階數(shù)n的階躍響應(yīng)面積法辨識(shí)算法程序經(jīng)過(guò)算例驗(yàn)證證實(shí)是可行的。該程序解決了階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法應(yīng)用時(shí)模型階數(shù)難確定的問(wèn)題，比文獻(xiàn)[4]所提方法更簡(jiǎn)單易行。

3) 階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法可以用于穩(wěn)態(tài)增益不為1的過(guò)程、無(wú)自平衡過(guò)程、有零點(diǎn)過(guò)程和有噪聲影響的過(guò)程，但是不建議用于未達(dá)穩(wěn)態(tài)的過(guò)程。在用于穩(wěn)態(tài)增益不為1的過(guò)程時(shí)先要進(jìn)行增益標(biāo)幺化處理。在用于無(wú)自平衡過(guò)程時(shí)先要進(jìn)行求導(dǎo)處理，辨識(shí)模型后，再做積分處理。在用于有零點(diǎn)過(guò)程時(shí)，所辨識(shí)的是等效的無(wú)零點(diǎn)過(guò)程模型。

4) 與常用的兩點(diǎn)法辨識(shí)相比，階躍響應(yīng)辨識(shí)面積法簡(jiǎn)化算法用于有噪聲的過(guò)程辨識(shí)時(shí)具有較高的辨識(shí)精度。但是隨著模型階數(shù)的增加，傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的系數(shù)辨識(shí)誤差，有著對(duì)應(yīng)冪次越高的系數(shù)其誤差越大的趨勢(shì)。面積法和兩點(diǎn)法的辨識(shí)誤差隨著模型階數(shù)的增加而增加，但是面積法辨識(shí)誤差增長(zhǎng)的速度要比兩點(diǎn)法辨識(shí)慢得多。

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勘誤

本刊2015年第5期《石油化工油品儲(chǔ)罐計(jì)量與測(cè)量?jī)x表設(shè)計(jì)方案》中發(fā)現(xiàn)2處錯(cuò)誤，更正如下：

1. 第1頁(yè)第1章儲(chǔ)罐計(jì)量或非計(jì)量分類，“計(jì)量級(jí)測(cè)量方案有時(shí)也稱為控制級(jí)測(cè)量方案”應(yīng)改為 “非計(jì)量級(jí)測(cè)量方案有時(shí)也稱為控制級(jí)測(cè)量方案”。

2. 第2頁(yè)第2.1.1 節(jié)液位測(cè)量?jī)x表，“容積不小于1×105m3的儲(chǔ)罐宜采用液位高高聯(lián)鎖關(guān)閉罐進(jìn)口管道開關(guān)閥”應(yīng)改為 “容積不小于1×104m3的儲(chǔ)罐宜采用液位高高聯(lián)鎖關(guān)閉罐進(jìn)口管道開關(guān)閥”。

Application Features of Simplified Algorithm of Step Response Identification Area-method

Xu Shanshan, Yang Ping

(College of Automation Engineering, Shanghai University of

Electric Power, Shanghai, 200090, China)

Abstracts： To solve the problem of big error in identifying a noisy step response data with a common step response identification method, the application features of simplified algorithm of step response identification area-method are investigated. By theoretical analysis and simulation experimental research, processing technic is proposed when simplified algorithm of step response identification area-method is applied in these processes of non 1 steady state gain, no self-balance, zero point, noisy process and unsteady state. The designed identification algorithm program of step response area-method with automatic determining order n is proved to be feasible by example calculation. The study shows simplified algorithm of step response identification area-method has some good application properties of no insensitive to noise, high precision and easy to be automatically performed by computer.

Key words：step response; transfer function; process identification; noise; error

中圖分類號(hào)：TP273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

文章編號(hào)：1007-7324(2015)06-0032-05

作者簡(jiǎn)介：許姍姍(1989—)，女，上海電力學(xué)院在讀研究生，研究方向?yàn)橄冗M(jìn)過(guò)程辨識(shí)與控制。

基金項(xiàng)目：上海市電站自動(dòng)化技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(13DZ2273800),上海市科技創(chuàng)新行動(dòng)計(jì)劃(13111104300)。

稿件收到日期： 2015-09-24。