王玉蘇， 姚 沛， 高 惠

(1.石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易系，河北 石家莊 050081；2.石家莊信息工程職業(yè)學(xué)院 國(guó)際貿(mào)易系，河北 石家莊 050035)

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形象認(rèn)識(shí)微積分

王玉蘇1， 姚 沛2， 高 惠1

(1.石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易系，河北 石家莊 050081；2.石家莊信息工程職業(yè)學(xué)院 國(guó)際貿(mào)易系，河北 石家莊 050035)

微積分是高職數(shù)學(xué)的重要組成部分，一般教科書(shū)中，微積分概念比較抽象，學(xué)生難以理解.用常見(jiàn)的動(dòng)畫解釋什么是微積分，并給出微積分在各自領(lǐng)域的應(yīng)用，能讓學(xué)生在體驗(yàn)微積分樂(lè)趣和奧妙的同時(shí)，習(xí)慣用微積分來(lái)思考問(wèn)題.

微分；積分；動(dòng)畫

微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)“微分”“積分”以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，同時(shí)也是高職數(shù)學(xué)的重要組成部分.在信息科技高度發(fā)達(dá)的今天，日常生活和社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中常常用到微積分，如銀行存款、交通信息、股票價(jià)格分析等，凡針對(duì)各種微觀變化與宏觀變化的研究均離不開(kāi)微積分.然而，微積分在大多數(shù)高職學(xué)生的印象中是“很難學(xué)的東西”和“沒(méi)有用的東西”.這是因?yàn)槲⒎e分的某些概念比較抽象，甚至難以理解，對(duì)于剛進(jìn)大學(xué)校門的高職學(xué)生，在學(xué)習(xí)中會(huì)感到不適應(yīng)，常常出現(xiàn)畏難情緒，甚至不求甚解.本文從形象認(rèn)識(shí)微積分入手，意在使學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)輕松地理解微積分，體會(huì)微積分的思考方式和樂(lè)趣所在.

1 從動(dòng)畫看什么是微積分

手繪動(dòng)畫是由動(dòng)畫師用筆在專業(yè)的、透明度高的紙上繪制的，多張圖紙拍成膠片放入電影機(jī)即可制作出動(dòng)畫片.它的特點(diǎn)是每張圖片間有微小的逐漸變化的動(dòng)作，當(dāng)以每分鐘幾十張圖片的速度播放時(shí)，畫面就會(huì)動(dòng)起來(lái).

手繪動(dòng)畫的繪制與播放過(guò)程就體現(xiàn)了微積分的奧秘.如圖片1和圖片2是兩張連續(xù)的圖片，兩張圖片中青蛙在動(dòng)作上就有微小的變化.

圖1 體現(xiàn)微小變化的圖片1

圖2 體現(xiàn)微小變化的圖片2

觀察事物之間的微小變化就是微分.通俗地說(shuō)，觀察(尋找)函數(shù)相鄰兩點(diǎn)之間的微小變化就叫做函數(shù)的微分.

把一些具有微小變化的圖片一張一張連續(xù)播放就構(gòu)成完整的動(dòng)畫.這種把函數(shù)的每一個(gè)微小變化積累起來(lái)的過(guò)程，就是函數(shù)的積分.

2 函數(shù)的微分及作用

正如上文所說(shuō)，觀察函數(shù)相鄰兩點(diǎn)之間的微小變化就叫做函數(shù)的微分.

在動(dòng)畫中，有些動(dòng)畫相鄰兩張差別很小，反映到畫面上，其動(dòng)作變化的幅度較?。挥行﹦?dòng)畫相鄰兩張差別相對(duì)較大，反映到畫面上，其動(dòng)作變化的幅度就大.如果把動(dòng)畫看作函數(shù)，函數(shù)相近的兩點(diǎn)變化很小，說(shuō)明其增長(zhǎng)(下降)速度就小；函數(shù)相近的兩點(diǎn)變化較大，說(shuō)明其增長(zhǎng)(下降)速度就大.

在很多實(shí)際問(wèn)題中，凡要研究變量的快慢程度，如研究物體的運(yùn)動(dòng)速度，研究工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的增長(zhǎng)速度等都需要用到微積分.在經(jīng)濟(jì)科學(xué)理論及經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的分析和決策中，對(duì)于一些主要的經(jīng)濟(jì)量之間的相關(guān)關(guān)系的研究也要用到微分學(xué)，如大量常規(guī)的經(jīng)濟(jì)分析涉及到個(gè)人、企業(yè)和政府試圖追求最大化或最小化某種事物的活動(dòng)，消費(fèi)者在消費(fèi)時(shí)試圖使其總效用最大，企業(yè)試圖在決策時(shí)使其利潤(rùn)最大(或使其損失最小)，政府要使國(guó)民就業(yè)水平達(dá)到最大(使失業(yè)最小)等等.

例1 某物體的運(yùn)動(dòng)軌跡為S(t)=t2+2t,其中，t為時(shí)間.求物體第7 s末和第8 s末的瞬時(shí)速度.

求物體的瞬時(shí)速度，可利用微分知識(shí)解決.

解 求路程函數(shù)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即

故物體第7 s末的速度為16 m/s，物體第8 s末的速度為18 m/s.

可以看到，第8 s末物體的運(yùn)行速度大于第7 s末物體的運(yùn)行速度.

例2 現(xiàn)有需求函數(shù)p=10-0.001q，總收益函數(shù)為R=pq=10q-0.001q2，總成本函數(shù)為C=100+7q+0.002q2.其中p為價(jià)格，q為產(chǎn)量，求總產(chǎn)量為多少時(shí)總利潤(rùn)最大.

解 總利潤(rùn)=總收入-總成本，

即L=(10q-0.001q2)-(100+7q+0.002q2)，化簡(jiǎn)得

L=3q-0.003q2-100.

其中，L表示總利潤(rùn).

為了達(dá)到利潤(rùn)最大化，也可以利用微分知識(shí)解決.

即3-0.006q=0.

即在每一時(shí)期，產(chǎn)量為500單位時(shí)，利潤(rùn)函數(shù)具有最大值.

3 函數(shù)的積分及作用

積分是從微小個(gè)體出發(fā)來(lái)解決整體問(wèn)題的.就如動(dòng)畫片，由一張張有微小變化的圖片通過(guò)拍攝、連續(xù)播放，組成一部完整的動(dòng)畫.通俗地說(shuō)，要研究某個(gè)事物，但這個(gè)事物的全貌一時(shí)看不清楚，我們采取的方法是，將這個(gè)事物分割成若干個(gè)小個(gè)體，分析每個(gè)小個(gè)體的特性，因?yàn)樗?，容易看清?然后把每個(gè)小個(gè)體的特性積累起來(lái)，組成這個(gè)事物的整體容貌.這個(gè)過(guò)程在數(shù)學(xué)上就叫做積分.

積分學(xué)可以求平面上不規(guī)則區(qū)域的面積，度量曲線的長(zhǎng)度，以及求任意空間物體的體積和質(zhì)量.同時(shí)它也可以解決經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中一些經(jīng)濟(jì)量的關(guān)系問(wèn)題.

如，求兩條拋物線y2=x,y=x2，所圍成的圖形的面積.示意圖見(jiàn)圖3.

圖3 y2=x,y=x2所圍成的圖形的面積示意

用積分的方法求陰影部分面積為：

再如，某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為C′(x)=2x+36，固定成本為500元，其中x為件數(shù).

求總成本函數(shù)，利用積分的方法可以解決.

求邊際成本的積分.

通過(guò)上述對(duì)微積分的形象解釋，可使學(xué)生對(duì)微積分產(chǎn)生簡(jiǎn)單的、形象的基本認(rèn)識(shí).微積分不僅僅有大量的公式和理論推導(dǎo)過(guò)程，其思考問(wèn)題的方法獨(dú)特、簡(jiǎn)單，能切實(shí)可行地解決實(shí)際問(wèn)題.

[1]平野葉一.微積分超入門.上海：世界圖書(shū)出版公司，2005:1.

責(zé)任編輯：金 欣

A cognitive approach to the calculus using animation

WANG Yu-su1， YAO Pei2， GAO Hui1

(1.Department of Economics and Trade，Shijiazhuang Vocational Technology Institute，Shijiazhuang，Hebei 050081，China;2.Department of International Trade，Shijiazhuang Vocational Institute of Information Technology，Shijiazhuang，Hebei 050035，China)

Calculus is an essential part of mathematics in vocational colleges as a general subject.Therefore，this paper argues for animation mode in the instruction for the students to find the miracles of calculus.

differential; integral; animation

2015-09-24

王玉蘇(1961-)，女，河北豐潤(rùn)人，石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院教授.

1009-4873(2015)06-0059-03

O172

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