(2+1)維非線性偏微分方程的精確解

(西安培華學(xué)院 基礎(chǔ)部,陜西 西安 710125)

隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展,非線性偏微分方程的求解問(wèn)題特別是對(duì)一些高維的非線性微分方程的求解成為研究的熱點(diǎn).近年來(lái),對(duì)非線性偏微分方程尋找對(duì)稱約化和構(gòu)造精確解方面的研究取得了很大的進(jìn)展.為了得到非線性偏微分方程的精確解,研究者提出了很多方法來(lái)解決,諸如經(jīng)典的李群方法[1]、非經(jīng)典的李群方法[2]、CK直接法[3]和改進(jìn)的CK直接法[4].本文研究(2+1)維Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(CBS)方程

4uxt+uxxxz+4uxuxz+2uxxuz=0

(1)

文獻(xiàn)[5]利用Hirota雙線性法求出了CBS方程的部分多孤子解;文獻(xiàn)[6]利用經(jīng)典的李對(duì)稱方法給出了CBS方程的李點(diǎn)對(duì)稱;文獻(xiàn)[7]給出了(2+1)維廣義CBS方程的無(wú)窮多對(duì)稱及其約化;文獻(xiàn)[8]利用李群分析法和行波約化法給出了(2+1)維CBS方程的相似解;文獻(xiàn)[9]利用拓展的雙曲函數(shù)展開(kāi)法求出了該方程的行波解.本文利用非古典對(duì)稱方法得到(2+1)維CBS方程的群不變解,然后將該方程約化為常微分方程,最后得到了該方程一些新的精確解.

1 (2+1)維CBS方程的對(duì)稱

非線性發(fā)展方程

Φ(x,z,t,ux,ut…)=0

(2)

稱函數(shù)σ(x,z,t,ux…)為方程(2)的一個(gè)對(duì)稱，如果

Φ'(u)σ=0

(3)

對(duì)于任意的u都成立.其中

對(duì)于(2+1)維CBS方程(1),利用(2)可得到方程(1)的對(duì)稱滿足的方程如下:

σxxxz+4σxt+4σxuxz+4σxzux+2σxxuz+2uxxσz=0.

(4)

下面利用待定系數(shù)法[10，11]求解方程(1)的σ.假設(shè)方程(1)有如下形式的解

σ=a(x,z,t)ut+b(x,z,t)ux+c(x,z,t)uz+d(x,z,t)u+e(x,z,t)

(5)

其中a,b,c,d,e為待定函數(shù).將方程(5)代入方程(1),并且利用-4uxt-4uxuxz-2uxxuz替換uxxxz,即可得到關(guān)于a,b,c,d,e的偏微分方程組

ax=0,az=0,bz=0,cx=0,dz=0,dxx=0,d-bx=0,4dx+bxx=0,2bt+ez=0

4ext+exxxz=0,3dxx+4ct+bxxx+4ex=0,dt+bxt+exz=0,at-2bx-cz=0

通過(guò)求解該決定方程組可得

a=2f1t2+(2f2+f3)t+f4,b=(f1t+f2)x+φ(t),d=f1t+f2c=(2f1z+f5)t+f3z+f6,e=-x(2f1z+f5)-2zφ'(t)+ψ(t)

(6)

其中φ(t),ψ(t)為t的任意函數(shù),fi(i=1,2,3,4,5,6)為常數(shù).則方程(1)的對(duì)稱為

σ=[2f1t2+(2f2+f3)t+f4]ut+[(f1t+f2)x+φ(t)]ux+[(2f1z+f5)t+f3z+f6]uz+

[f1t+f2]u+[-x(2f1z+f5)-2zφ'(t)+ψ(t)].

(7)

2 (2+1)維CBS方程的群不變解

為得到方程(1)的對(duì)稱約化,利用σ=0和方程(1)的相容性,先求解σ=0時(shí)方程(1)的特征方程組

(8)

現(xiàn)在討論以下幾種情況:

情況(1):令f1=f4=φ(t)=f5=f6=ψ(t)=0,f2=f3=1

特征方程為

解特征方程可得到它的不變解為

(9)

將(9)式代入方程(1).就可以將方程(1)約化為下面的方程

6hθθhω-8hθ-4θhθθ-4ωhθω+12hθhθω+3hθθθω=0.

(10)

情況(2):令f1=f2=f3=f4=f5=ψ(t)=0,f6=-a

其特征方程為

解特征方程可得到它的不變解為

(11)

將(11)代入方程(1)得到約化方程為

(12)

情況(3):令f1=f4=f6=φ(t)=ψ(t)=0,f3=-2,f2=f5=1

其特征方程為

解特征方程可得到它的不變解為

(13)

將(13)代入方程(1)得到約化方程為

(14)

情況(4):令f1=f4=f5=f6=ψ(t)=0,f2=f3=1,φ(t)=t

其特征方程為

解特征方程可得到它的不變解為

(15)

將(15)代入方程(1)得到約化方程為

6ω2hθθθω-6ωhθθθ+6ωhθhθω-2θω2hθθ+3ωhθθhω-3hhθθ-2ω3hθω-2ω2hθ=0

(16)

情況(5):令f1=f2=f3=f6=ψ(t)=0,f4=f5=φ(t)=1

其特征方程為

解特征方程可得到它的不變解為

(17)

將(17)代入方程(1)得到約化方程為

hθθθω+4θhθω-4hθhθω+2hω-2hωhθθ-4hθθ=0

(18)

3 (2+1)維CBS方程的精確解

通過(guò)解約化方程(12)就可得到方程(2+1)維CBS方程的一些新的精確解,然后作下面的變換

(19)

方程(12)就可約化為常系數(shù)常微分方程

(20)

(21)

即方程(1)就可約化為方程(20).對(duì)方程(20)兩邊同時(shí)積分后在同時(shí)乘以h''在積分,然后令h'=g得

(22)

求解上式方程的解就可以得到方程(1)的一些新的精確解:

a)如果b=c=0,ak<0方程(22)的解如下

(23)

(24)

因此方程(20)的解為

(25)

(26)

由方程(21)、(25)、(26)可得方程(1)的新精確解為

(27)

(28)

b)如果b=c=0,ak>0方程(1)的解為

(29)

則方程方程(1)的解為

(30)

則方程(1)的解為

(31)

則方程(1)的解為

(32)

4 結(jié) 論

本文通過(guò)李群分析法得到(2+1)維CBS方程的對(duì)稱，然后利用特征方程得到群不變解將該方程約化為常微分方程，并求得該方程一些新的精確解，其中包括雅克比橢圓函數(shù)解、三角函數(shù)解.這些解在數(shù)學(xué)物理中有著重要的應(yīng)用,這種方法也可以適用于其他高維的非線性微分方程的求解.

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