摘要:本文結合不定積分的計算,對變形前后函數定義域的變化進行了分析,并歸結為三種類型,給出了改進的措施,對保證不定積分計算的正確性、提高教學質量,有重要的作用。
關鍵詞:不定積分;變形;定義域;歸類分析
中圖分類號:O172???? 文獻標志碼:A???? 文章編號:1674-9324(2014)41-0117-02
1 引言
不定積分的計算,往往需要對被積表達式進行相應的變形。但是,如果不注意變形的恒等性,則會引起變形前后被積函數定義域的變化,從而使計算出現錯誤。下邊結合具體實例,對不定積分變形中函數定義域的前后變化情況做如下的分析與歸類,給出了教學中的改進措施,以確保不定積分計算的正確性。
2 使用有關微分公式導致函數定義域的變化
例1.求I=■arcsinxdx.
解:I=■xarcsinx-■■
=xarcsinx+■■■=xarcsinx+■+c.
求解分析:被積函數的定義域是x∈[-1,1],本題是求被積函數在閉區(qū)間[-1,1]上的不定積分,但微分公式darcsinx=■卻要求x≠±1,即x∈(-1,1).但計算結果F(x)=xarcsinx+■卻是在開區(qū)間內(-1,1)成立,變形前后函數的定義域發(fā)生了改變,結果欠妥。
正解:將函數F(x)=xarcsinx+■的定義域從開區(qū)間(-1,1)延拓到x∈[-1,1]即可。
例2.求I=■■dx.
解:I=2■cos■d■=2sin■+c.
求解分析:被積函數的定義域是x∈(0,+∞),但微分公式■dx=d■卻是在x∈[0,+∞]內成立,因而F(x)=2sin■+c的定義域比原被積函數的定義域擴大了,結果欠妥。
正解:在得到結果F(x)=2sin■后,在x∈(0,+∞)上作對F(x)的限制即可。
改進措施:這類錯誤由于忽視了有關公式的成立條件,導致原函數的定義域與被積函數的定義域在個別點處發(fā)生了變化,這時,對求得的原函數進行適當延拓或限制即可。
3 使用恒等變形導致函數定義域的變化
例3.求I=■■.
解:I=■■=-■■d■
=-arcsin■+c.
求解分析:被積函數的定義域是x<-1或x>1,但變形中的x■=x2■卻僅在x>1時成立,忽略了x<-1時的情況,結果欠妥。
正解:
I=■■=-arcsin■+c1,x>1arcsin■+c2,x<-1.
例4.求I=■■.
解:I=■■=■■
=2ln■+■+c.
求解分析:被積函數的定義域是x<-2或x>0,但變形中的第一個等號卻是在x>0時成立,忽略了x<-2時的情況,結果欠妥。
正解:I=■■=lnx+1+■+c.
這樣的例子還很多,在此不一一列舉。
改進措施:這類錯誤的產生,是因為在恒等變形中,忽視了變形的恒等性(不是真正的恒等),導致被積函數的定義域在某個區(qū)間內發(fā)生了變化。這時,除了對函數的定義域進行全面的討論外,還要注意使用的變形是不是真正的恒等變形,使變形前后被積函數的定義域保持一致,亦可采取其他的方法進行求解。
4 使用變量替換導致函數定義域的變化
例5.求I=■■dx.
解:令x=sect,則dx=secttantdt,
I=■■secttantdt=■dt=t+c=arccos■+c.
求解分析:令f(x)=■,則其定義域為x<-1或x>1,變形■=■=tant沒有討論t的取值范圍,忽略了x<-1時的情況,故結果欠妥。
正解:
■=|tant|=tant,t∈(0,■)(x>1)-tant,t∈(-■,0)(x<-1)
正確的結果為:
I=arccos■+c,x>1-arccos■+c,x<-1
例6.求I=■■.
解:令x=■,則dx=-■,代入I得:
I=-■■-arcsin■+c=-arcsin■+c
求解分析:被積函數的定義域為x>1或x<-■.但變形■■=■■中沒有考慮t<0即x<-■的情況,結果欠妥。
改進措施:這類錯誤是由于在對不定積分進行變量替換變形時,忽略了新舊變量間取值范圍的一致性,導致了變形前后函數定義域發(fā)生了變化。為此,在使用換元法進行變量替換時,一定要注意對使用的變量替換做分析,使得替換前后的定義域完全相同,出現擴大就需要進行適當的限制,出現縮小要進行相應的延展,保證變量替換及變形中新舊變量取值的前后一致性,進而保證變形前后被積函數的定義域不發(fā)生變化。
參考文獻:
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作者簡介:吳維峰(1963-),男(漢族),濰坊工程職業(yè)學院副教授,主要從事高等數學的教學與研究。