潘啟軍 孟慶云 張向明 薛高飛 張 磊

基于互感參數(shù)提取的多導(dǎo)體與多導(dǎo)線模型縮減方法研究

潘啟軍 孟慶云 張向明 薛高飛 張 磊

（海軍工程大學(xué)艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點實驗室 武漢 430033）

金屬導(dǎo)體地電流通過地回路公共阻抗在不同電氣電子設(shè)備之間形成電磁干擾，嚴重時甚至使敏感設(shè)備無法正常工作。然而，地回路公共阻抗在不同回路中表現(xiàn)出不同的阻抗值，因此必須對鄰近效應(yīng)情況下的金屬導(dǎo)體進行深入研究。本文利用 PEEC方法對鄰近效應(yīng)時的金屬導(dǎo)體進行了建模，得到了系統(tǒng)矩陣方程。然后，將簡化等效電路和原始電路中導(dǎo)體與導(dǎo)線電流分別進行復(fù)頻率 s冪級數(shù)展開匹配，得到了電阻、電感及互感參數(shù)，給出了同時考慮趨膚效應(yīng)與鄰近效應(yīng)時獨立于頻率之外的簡化等效電路模型，并通過算例驗證了參數(shù)提取方法的正確性。

電磁兼容 矩量匹配方法 鄰近效應(yīng) 互感參數(shù)提取 簡化等效電路

1 引言

隨著電力電子設(shè)備在艦船獨立系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，強電系統(tǒng)通過殼體鋼板共地耦合和磁場耦合對弱電系統(tǒng)形成電磁干擾（EMI），使得艦船獨立系統(tǒng)中電磁兼容（EMC）問題日趨嚴重[1-3]。因此，需要對金屬殼體地電流測試和金屬殼體部分單元等效電路（PEEC）建模兩大難點進行全面、深入的研究，形成分析大面積連續(xù)導(dǎo)體必需的實驗測試手段和較完整的理論體系，為全系統(tǒng)仿真、EMI分析等奠定較好的基礎(chǔ)。文獻[4-6]利用鐵心線圈對鋼板地電流測量進行了研究，然而這種測量裝置用于低頻測量時體積較大、鐵心線圈可能會改變鋼板局部地電流的分布以及在任何頻域范圍內(nèi)均不能進行時域分析。為適應(yīng)艦船鋼板表面地電流干擾研究的需要，文獻[7-9]研制了可以測量鋼板表面磁場分布的新型磁阻磁場探頭，利用鋼板表面切向磁場的分布來間接測量鋼板中的電流分布，克服了鐵心線圈測量裝置的缺陷。

對金屬導(dǎo)體建模是電磁兼容領(lǐng)域的一大難點，文獻[10-12]利用解析方法對導(dǎo)體阻抗進行了計算和實驗，但解析方法不能給出獨立于頻率之外的系統(tǒng)模型參數(shù)。Shizhong Mei在文獻[13-14]中通過漸近波形估算矩量顯式計算方法（Asymptotic Waveform Evaluation, AWE）得到了獨立于頻率之外金屬導(dǎo)體的縮減模型電阻與電感參數(shù)，但 AWE等直接矩量顯式計算會出現(xiàn)病態(tài)，當模型較大時會導(dǎo)致模型縮減的支路數(shù)有限[15]。為了避免矩量顯示計算所出現(xiàn)的病態(tài)問題，文獻[16-17]提出了基于Krylov子空間arnoldi和 Lanczos算法的模型縮減方法，將直接矩量顯式計算轉(zhuǎn)化為間接矩量隱式計算，將主導(dǎo)極點的抽取轉(zhuǎn)化為相對應(yīng)的主導(dǎo)特征值的抽取，避免了AWE等直接矩量顯式計算方法只能提取有限幾條簡化支路的缺陷，極大提高了模型簡化技術(shù)的有效性和普適性。然而，上述文獻僅對孤立導(dǎo)體進行了模型縮減方法的嘗試，國內(nèi)外對多導(dǎo)體與多導(dǎo)線情況下模型縮減方法的深入研究未見報道。此時，對金屬導(dǎo)體進行建模時不僅需要考慮趨膚效應(yīng)，而且需要考慮鄰近效應(yīng)，需給出獨立于頻率之外的等效電路模型，便于和電路仿真軟件兼容。在忽略鄰近效應(yīng)的情況下，可以將金屬導(dǎo)體視為孤立元件進行處理，但當外部載流導(dǎo)線或?qū)w靠近金屬導(dǎo)體時，將會改變金屬導(dǎo)體內(nèi)部的電磁場分布，因此必須對鄰近效應(yīng)時導(dǎo)體的模型進行分析。本文采用 PEEC方法對鄰近效應(yīng)時的金屬導(dǎo)體進行了建模，將復(fù)雜的電磁場計算轉(zhuǎn)化為電路計算，在對孤立導(dǎo)體進行模型縮減的基礎(chǔ)上，基于互感參數(shù)提取得到了多導(dǎo)線與多導(dǎo)體等效縮減電路通用模型。

2 單導(dǎo)體與多導(dǎo)線時的PEEC建模及模型縮減

在矩形截面導(dǎo)體長度方向放置m根導(dǎo)線，其長度和矩形截面導(dǎo)體的長度一樣，并且導(dǎo)線兩端與矩形截面導(dǎo)體平齊如圖1所示（為簡明起見，圖中沒有標出多根導(dǎo)線的激勵電壓），圖 2所示為其對應(yīng)的等效耦合電路圖。令矩形截面導(dǎo)體的驅(qū)動電壓為va，總電流為 ia；鄰近導(dǎo)線中電流為

其兩端電壓為當導(dǎo)體與導(dǎo)線相距很近時，鄰近效應(yīng)的作用顯著，每個導(dǎo)體用自身的解耦簡化等效電路來描述趨膚效應(yīng)，同時使用導(dǎo)體各支路與導(dǎo)線間的互感來描述鄰近效應(yīng)。

圖1 鄰近效應(yīng)時矩形截面導(dǎo)體Fig.1 A rectangular conductor with proximity effect

圖2 鄰近效應(yīng)時等效耦合電路Fig.2 Equivalent coupling circuit with proximity effect

根據(jù)歐姆定律可得：式中，Mabji= Mabij（i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, N）為矩形截面導(dǎo)體與鄰近導(dǎo)線的互感矩陣，ia1、ia2、…、iaN為矩形導(dǎo)體支路的電流。

將式（1）經(jīng)過變換后用矩陣表示為

式中，EN和Em分別為N維和m維單位陣，且有

導(dǎo)體和導(dǎo)線中的總電流可分別表示為

式中，1N為N維全1列向量，0m為m維全0列向量，1m為m維全1列向量，0N為N維全0列向量。

將圖 2所示的等效耦合電路進行簡化，如圖 3所示。比較圖 3和圖 2可知，圖 3左半部分變?yōu)闆]有鄰近效應(yīng)時的簡化等效支路，解耦電阻與電感可由 Arnoldi算法或 Lanczos算法計算得到[16,17]，簡化等效支路數(shù)為n條，n＜＜N。相應(yīng)的，圖3中左半部分與右半部分之間的互感矩陣也和圖2中不同。

圖3 鄰近效應(yīng)時的簡化電路Fig.3 The reduced circuit of the system with proximity

根據(jù)圖3所示可描述趨膚與鄰近效應(yīng)的簡化r-l等效電路，和式（3）、式（4）類似，簡化電路的總電流為

式中，1n為n維全1列向量，式中En為n維單位陣，且有

要準確捕獲趨膚與鄰近效應(yīng)，式（5）應(yīng)與式（3）相等，式（6）應(yīng)與式（4）相等，但這一要求太過苛刻，實際上只需令各對應(yīng)式的 s冪級數(shù)的有限項相等即可。由于電壓的取值任意，將上述關(guān)系進一步簡化，因此只需令

和

展開成s的冪級數(shù)后的對應(yīng)項相匹配，即可解出式（7）中互感矩陣M所有互感的值。

經(jīng)過矩陣變換，式（7）可展開成s的麥克勞林級數(shù)為

同理，式（8）可展開成s的麥克勞林級數(shù)為

由于式（7）中矩陣M的維數(shù)為n×m維，則未知互感參數(shù)有nm個，因此只需令式（9）和式（10）中的si的nm個系數(shù)相等得到nm個方程，就可以求得nm個互感參數(shù)，其中可取i=1,2,3,…,nm。

令式（10）中si的系數(shù)為yi，則有

由式（12）可得

將式（13）代入式（11）可得

設(shè)

則式（14）可寫為

則由式（17）可得

將式（18）中矩陣M的各互感參數(shù)提取出來可得

取i=1,2,3,…,nm，可得nm個方程。

式（13）、式（14）、式（16）及式（20）中使用了廣義逆矩陣，式（20）所求解為極小最小二乘解。

3 多導(dǎo)體情況

對于多導(dǎo)體情況，可采用與2類似的方法求取互感參數(shù)，但互感參數(shù)求取過程更為復(fù)雜。設(shè)導(dǎo)體總數(shù)為m個，每個導(dǎo)體的剖分數(shù)分別為N1,N2,…,Nm，每個導(dǎo)體的解耦簡化等效支路數(shù)分別為n1,n2,…,nm。

設(shè)

其中 R1,R2,…,Rm分別為各導(dǎo)體解耦簡化電路的對角電阻矩陣，其維數(shù)分別為L1,L2,…,Lm分別為各導(dǎo)體解耦簡化電路的對角電感矩陣，其維數(shù)分別為；Mkj為第k個導(dǎo)體簡化等效支路與第 j個導(dǎo)體簡化等效支路間的互感矩陣，其維數(shù)為。

經(jīng)過矩陣變換可以得到

其中

將式（23）寫成矩陣形式為

其中 Mequ為所有互感參數(shù)組成的維列向量，即所需求取的列向量；H為維矩陣；Z為由原始矩陣計算得到的維列向量，求解方法和第2部分類似。

對于m個導(dǎo)體和n根導(dǎo)線情況，將n根導(dǎo)線的集合看成不解耦的第（m+1）個導(dǎo)體，則此時互感的求取方法和多個導(dǎo)體情況基本相同，只需將 A0對角線上的第（m+1）個分塊矩陣略做修改即可。對于磁性導(dǎo)體，首先根據(jù)磁性部分元等效電路（MagPEEC）建立系統(tǒng)方程，然后按照第2和第3部分介紹的方法來研究。

4 鄰近效應(yīng)時互感算例

4.1 單導(dǎo)體與雙導(dǎo)線

金屬導(dǎo)體長20μm，寬10μm，厚1μm，兩鄰近導(dǎo)線位于寬度正中且平行于長度方向，線徑為0.1μm，兩導(dǎo)線與導(dǎo)體的距離為分別為 0.1μm 和1μm，導(dǎo)線圓截面的幾何平均距離為半徑的 0.778 8倍，頻率范圍為 100MHz～30GHz。表 1為不同支路數(shù)的互感值及對應(yīng)的展開系數(shù)，表中互感矩陣的行對應(yīng)于導(dǎo)體簡化支路，列對應(yīng)于第1和第2根導(dǎo)線。由模型縮減方法得到的導(dǎo)體簡化等效電路各支路的電阻與電感見表 2。

表2 導(dǎo)體簡化電路各支路的電阻與電感Tab.2 Resistance and inductance values in the reduced RL circuits of a conductor

根據(jù)表1可知，簡化電路與原電路的s展開系數(shù)誤差隨冪次數(shù)的增加而增加，當冪次數(shù)小于 10時，兩者的相對誤差小于10%，當冪次數(shù)為12時，最大相對誤差約為22%。

4.2 雙導(dǎo)體

兩金屬導(dǎo)體均長 20μm，厚 1μm，第 1個金屬導(dǎo)體寬5μm，第2個金屬導(dǎo)體寬7μm，兩金屬導(dǎo)體在寬度方向距離0.5μm，在厚度與長度方向上對齊，頻率范圍為 100MHz～30GHz。表 3為不同支路數(shù)的互感值及對應(yīng)的展開系數(shù)，表4為由模型縮減方法得到的導(dǎo)體簡化等效電路各支路的電阻與電感，表中互感矩陣的行對應(yīng)于第1個導(dǎo)體，列對應(yīng)于第2個導(dǎo)體。

表3 不同支路數(shù)時的互感值及對應(yīng)的展開系數(shù)Tab.3 Mutual inductance values between the reduced RL circuits and the wire and the corresponding expanded coefficients

表4 導(dǎo)體簡化電路各支路的電阻與電感Tab.4 Resistance and inductance values in the reduced RL circuits of a conductor

根據(jù)表3可知，簡化電路與原電路的s展開系數(shù)隨冪次數(shù)的增加而增加，當冪次數(shù)小于20時，兩者的相對誤差小于 10%，當冪次數(shù)為 32時，最大相對誤差約為 15.5%。當冪次數(shù)繼續(xù)增加時，由于計算得到的系數(shù)太小，因此全為 0。由此可見，使用本文介紹的方法，s冪次數(shù)不能取得過高。為降低s冪次數(shù)的值，可只考慮導(dǎo)體主導(dǎo)簡化支路之間、導(dǎo)體主導(dǎo)簡化支路和導(dǎo)線之間和互感，降低所求解方程的維數(shù)，也降低了所需s冪次數(shù)的值。另外，可基于矩陣變換的概念來求解互感，從而避免求解s冪級數(shù)系數(shù)的值。

5 結(jié)論

在孤立導(dǎo)體PEEC建?；A(chǔ)上，本文建立了鄰近效應(yīng)時金屬導(dǎo)體的PEEC模型。首先利用模型縮減技術(shù)得到金屬導(dǎo)體簡化等效電路的電阻及電感參數(shù)后，然后提取出簡化等效電路各支路和鄰近導(dǎo)線或?qū)w之間的互感參數(shù)，并通過算例驗證了該縮減方法的正確性。本文建立的簡化等效模型和計算得到的電阻、電感及互感參數(shù)獨立于頻率之外，為全系統(tǒng)仿真、EMI分析等奠定了較好的基礎(chǔ)。

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A Model Reduction Study of Multiple Conductors and Multiple Wires Based on Extraction of Mutual Inductance Parameters

Pan Qijun Meng Qingyun Zhang Xiangming Xue Gaofei Zhang Lei

（National Key Laboratory for Vessel Integrated Power System Technology Naval University of Engineering Wuhan 430033 China）

The Electromagnetic Interference(EMI) among various electrical and electronic equipment can be formed by ground current in metal plate via common ground loop impedance. It will even result in the malfunction of the sensitive devices under some serious conditions. However, the common impedance has different value in different loops. Therefore, it is necessary to analyze and study a conductor with proximity. This paper adopts partial element equivalent circuit(PEEC) to model a conductor with proximity, and to obtain the system matrix equation. After matching the corresponding current coefficients expanded in powers of s between the reduced circuit and the original circuit, the resistance, inductance, and mutual inductances of the reduced circuit are provided. And then, the reduced equivalent circuit model regarding of skin and proximity effects is presented independent of frequency. Furthermore, the mutual inductance between the reduced branches and the proximity wires are obtained, which is validated by examples.

Electromagnetic compatibility(EMC), moment matching method, proximity effect, extraction of mutual inductance parameters, reduced equivalent circuit

TM53

潘啟軍 男，1972年生，博士，副教授，研究方向為電力電子應(yīng)用與電磁兼容性研究。

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（2013CB035601）和國家自然科學(xué)基金（51077129）資助項目。

2013-06-25 改稿日期 2013-08-26

孟慶云 男，1979年生，講師，研究方向為電力電子大容量電能變換技術(shù)。