楊旭，孫麗萍，李鶴楠

（1哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，哈爾濱150001；2挪威科技大學(xué)海洋技術(shù)系，挪威特隆赫姆7491）

無粘結(jié)柔性管抗拉伸層結(jié)構(gòu)分析

楊旭1，孫麗萍1，李鶴楠2

（1哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，哈爾濱150001；2挪威科技大學(xué)海洋技術(shù)系，挪威特隆赫姆7491）

柔性管抗拉伸層是復(fù)雜的空間螺旋線結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析對柔性管疲勞分析、強度分析和屈曲分析有重要作用。文章基于曲梁理論，應(yīng)用斜駛螺旋線假設(shè)和測地線假設(shè)兩種空間曲線公式，以空間細(xì)長桿理論及胡克定律本構(gòu)方程為基礎(chǔ)，采用格林應(yīng)變張量與第二Kirchoff應(yīng)力張量度量，對深海無粘結(jié)柔性管抗拉伸層螺旋形鋼纜結(jié)構(gòu)平衡方程進行了推導(dǎo)，編寫了分析程序。利用該程序，分析了抗拉伸層鋼纜在軸對稱載荷下和彎矩作用下的曲率變化和結(jié)構(gòu)響應(yīng)；同時利用三維直梁有限元模型與曲梁有限元模型建立數(shù)值模型，將程序結(jié)果與數(shù)值模擬模型結(jié)果進行了對比，證明了結(jié)果可行性。該結(jié)果可為柔性管抗拉伸層結(jié)構(gòu)設(shè)計提供快速的預(yù)估計方法。

柔性管；抗拉伸層；斜駛線；測地線；結(jié)構(gòu)分析

0 引言

立管和海底管道作為海洋石油工業(yè)的“生命線”，承擔(dān)著油氣水運輸?shù)闹匾蝿?wù)。無粘結(jié)柔性管可作為柔性立管或海底管道，具有結(jié)構(gòu)布置形式靈活、順應(yīng)性強、與平臺耦合較弱、安裝與回收成本低等諸多優(yōu)點，在挪威北海、巴西以及美國墨西哥灣等惡劣深海環(huán)境下被廣泛運用。無粘結(jié)柔性管為多層復(fù)合結(jié)構(gòu)，一般而言從內(nèi)到外可分為內(nèi)襯層（Internal Carcass）、內(nèi)壓防護層（Internal Pressure）、內(nèi)鎖壓力層（Pressure Armor）、抗磨層（Anti-wear tape）、抗拉層（Tensile Armor）和外保護層（Outer Sheath）；此外在一些層與層之間還存在用聚酯纖維制作的中介保護層。柔性管的截面形式如圖1所示，其各層結(jié)構(gòu)均有特定的用途[1]。

無粘結(jié)柔性管抗拉伸層一般有兩層，由多條螺旋形高強度鋼纜繞制而成。在工作狀況下，抗拉伸鋼纜主要用于抵抗軸向拉力以及部分外壓和彎矩。由于結(jié)構(gòu)形式為空間曲線，又存在多種相互接觸以及不同材料，抗拉伸層鋼纜結(jié)構(gòu)分析一直是研究熱點。對于其相關(guān)研究，Hector等[2]運用ANSYS軟件模擬了柔性管受拉力與扭矩時的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，以彈簧單元和面對面接觸單元模擬抗拉伸層與各層之間的接觸。將抗拉伸層作為三維直梁單元考慮，并添加大量的接觸單元。這樣做無疑會加大計算時間，同時為單元帶來了初始幾何缺陷。部分研究人員選擇了更適合于螺旋線纜的細(xì)長桿理論，將鋼纜假設(shè)為沿空間曲線的螺旋梁。Svein[3]運用細(xì)長桿理論建立了適于模擬抗拉伸層的新型曲梁單元，進行了軸對稱載荷下的結(jié)構(gòu)分析；并進行了軸對稱載荷與彎矩作用下的疲勞分析。?stergaard[4]假設(shè)單根螺旋鋼纜滿足無摩擦的測地線假設(shè)，對柔性管在受壓和彎曲過程中可能產(chǎn)生的失穩(wěn)進行了分析。Yan與Lun[5]通過加入人工系數(shù)CP對測地線假設(shè)結(jié)果進行修正，以此模擬鋼纜在彎曲過程中的摩擦力。

本文基于非線性空間細(xì)長桿理論，將螺旋抗拉伸層鋼纜考慮為空間曲線，建立了抗拉伸層解析解模型，運用MATLAB語言編寫了抗拉伸層結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析程序。依據(jù)基本假設(shè)不同，建立了兩種解析解模型：一種假設(shè)變形后的抗拉伸螺旋鋼纜符合變形規(guī)律滿足測地線假設(shè)（geodesic assumption）；一種假設(shè)變形后滿足斜駛螺旋線假設(shè)（loxodromic assumption）。求解了在軸對稱載荷下以及受彎矩情況下的解析解。獲得了抗拉伸層在不同載荷下的位移與曲率。利用BFLEX軟件建立了數(shù)值模擬模型，與解析解進行了對比，在小變形階段結(jié)果較為接近。

1 理論推導(dǎo)

1.1 理論背景與基本假設(shè)

本文推導(dǎo)的抗拉伸層運動方程是以細(xì)長桿理論為基礎(chǔ)。其基本理論為假設(shè)空間結(jié)構(gòu)是一細(xì)長體，以弧長s和時間t為基本變量，假設(shè)其他變量為其函數(shù)，建立以切向，法向，副法向為坐標(biāo)軸的曲面坐標(biāo)系，通過求解空間曲線的曲率變化獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)。該方法適合分析沿空間曲面變化的細(xì)長體結(jié)構(gòu)。該理論最早可追溯到Kirchoff的線性細(xì)長桿理論，后由Ericksen等[6]發(fā)展為非線性理論。Washizu[7]運用格林應(yīng)變張量與Kirchoff應(yīng)力張量、胡克定律與虛功原理得到了線性細(xì)長體理論下的應(yīng)力應(yīng)變。Svein[8]此后將其延伸到大變形小應(yīng)變范圍，并應(yīng)用于柔性管的應(yīng)力分析。本文在其基礎(chǔ)上進行分析。根據(jù)相關(guān)理論，采用如下基本假設(shè)：

（1）抗拉伸層螺旋鋼纜假設(shè)為細(xì)長體，根據(jù)一般柔性管的長度和抗拉伸層尺寸，這一假設(shè)是合理的。

（2）每一根鋼纜是獨立的，不考慮其與其他鋼纜間相互作用。這一假設(shè)適用于柔性管曲率小于臨界曲率時，符合工程計算的一般情況。當(dāng)結(jié)構(gòu)變形過大，各鋼纜直接可能產(chǎn)生接觸力。

（3）以一根或幾根螺旋鋼纜的結(jié)果代表整個抗拉伸層結(jié)構(gòu)響應(yīng)，忽略柔性管道的橢圓化。該假設(shè)可大幅減少計算時間，同時基本保證計算精度，被眾多研究學(xué)者采用。由于柔性管截面中心線對稱，所以該假設(shè)在軸對稱載荷下影響可忽略。當(dāng)考慮彎矩作用時，會對計算結(jié)果有一定影響。

（4）不考慮層與層之間的摩擦作用。雖然摩擦作用在受彎矩載荷情況下被普遍認(rèn)為具有重要作用，但為節(jié)約計算成本，本解析解并沒有考慮摩擦作用?？稍诮馄胶夥匠虝r進行系數(shù)修正，獲得更符合實際的結(jié)果。

1.2 空間細(xì)長桿應(yīng)力應(yīng)變

假設(shè)螺旋鋼纜為一空間細(xì)長桿。其橫截面上有任意一點P，依據(jù)螺旋方向建立局部曲面坐標(biāo)系，以切向量，法向量，副法線向量為基坐標(biāo)向量，坐標(biāo)系如圖2所示。則P點位移方程可按下式表示：

圖2 局部坐標(biāo)系與總體坐標(biāo)系[8]Fig.2 Local coordinate system and global coordinate system[8]

其中：ui為沿局部坐標(biāo)系下位移分量，Gi為沿曲線切線，法線副法線組成的局部坐標(biāo)系基向量。上角標(biāo)0表示位移沿中心線變化的相關(guān)分量，在下文中將被推導(dǎo)。X1為弧長變量，φ（X2，X3）代表與梁橫截面相關(guān)的翹曲方程；依據(jù)圣維南假設(shè)，β為常量。由Frenet-Serret公式可得：

式中：κi代表螺旋線的曲率分量。

根據(jù)Svein[3]的研究，選用格林應(yīng)變張量作為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變表達(dá)式，以細(xì)長桿中同一原點建立相應(yīng)的局部笛卡爾直角坐標(biāo)系，若將笛卡爾坐標(biāo)系與曲坐標(biāo)系基向量分別設(shè)為Xi與Yi，則運用張量轉(zhuǎn)化公式可得：

其中：Eij′表示曲線坐標(biāo)系下的Green應(yīng)變張量，Eij表示笛卡爾坐標(biāo)系下的結(jié)果。

對抗拉伸層應(yīng)用如下假設(shè)：

（1）假設(shè)鋼纜的截面為中心對稱的，這在現(xiàn)今的柔性管設(shè)計中都可以保證。

（2）忽略格林應(yīng)變中非重要的二階項。

（3）應(yīng)用歐拉伯努利梁假設(shè)（平斷面假設(shè)）。

將假設(shè)代入（7）式可得：

本文中下角標(biāo)“，i”表示該量對曲線坐標(biāo)系下相應(yīng)基向量求導(dǎo)。ε1表示由于軸向和橫向位移產(chǎn)生的軸向應(yīng)變，ε2和ε3表示由于中心線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的應(yīng)變分量?！鳓蔵表示弧長變化dX1產(chǎn)生的i方向曲率增量。由歐拉伯努利梁基本假設(shè)，消去θ2和θ3。G為基本張量行列式，表達(dá)式如下：

各變量按中心線位移與空間曲線曲率表示為：

采用二階Kirchoff應(yīng)力張量S與上文的格林應(yīng)變張量E作為應(yīng)力與應(yīng)變測量值，假設(shè)相互關(guān)系滿足胡克定律，則可得本構(gòu)關(guān)系方程。至此，即可運用鋼纜的沿弧長的曲率變化值求出其應(yīng)變值，再推導(dǎo)出應(yīng)力值。

1.3 虛位移原理與平衡方程

本文采用虛位移原理進行求解。虛位移原理為彈性力學(xué)中的經(jīng)典原理，即對結(jié)構(gòu)加以微小虛擬位移獲得平衡方程。根據(jù)虛位移原理可推出結(jié)構(gòu)內(nèi)力虛功為：

其中：Wi表示內(nèi)力虛功，A為細(xì)長螺旋桿截面積，β表示螺旋桿與管中心線產(chǎn)生的相對位移，d為修正摩擦系數(shù)，c為表示兩者相互摩擦關(guān)系張量。在本文中由于忽略摩擦作用，因此都可設(shè)為0。曲率變化值△κi=△κiu+△κip，△κip為螺旋鋼纜按照假定曲線（斜駛線或測地線）變化形成的曲率變化分量，△κiu為由于層與層間相互作用使鋼纜在假定曲線基礎(chǔ)上產(chǎn)生相對滑移，由此產(chǎn)生的曲率變化。本文中假設(shè)△κiu=0。據(jù)此公式，利用三點高斯積分公式即可獲得某一段細(xì)長桿件的內(nèi)力做功。

取細(xì)長桿件的一個微小分段X1進行受力分析，如圖3所示，由此可獲得力與力矩平衡方程如下：

利用（5）式即可將其改寫為六個平衡方程。

1.4 運動限制方程

本文假設(shè)鋼纜的變化曲面為以管中心為中心線的圓柱曲面，且半徑不變。該假設(shè)在進行小變形受拉扭載荷時影響不大；在進行屈曲分析以及考慮兩端作用時會造成結(jié)果不準(zhǔn)確，但為了便于獲得鋼纜結(jié)構(gòu)響應(yīng)，首先進行以上假設(shè)，在今后研究中再進行修正。由此可簡化全三維結(jié)構(gòu)，為確保鋼纜移動僅

在曲面上，需加入運動限制方程：

其中：κh為圓柱表面橫向曲率分量，由歐拉方程得：

式中：κr，κc分別為中心曲面在徑向和軸向上的曲率分量。

1.5 測地線假設(shè)

測地線來源于地理學(xué)，數(shù)學(xué)上表示在空間曲面上最短的一條線，可視作曲線在彎曲空間的推廣。在結(jié)構(gòu)分析中，若假設(shè)結(jié)構(gòu)在曲面上沿測地線假設(shè)運動，則表示結(jié)構(gòu)僅被限制于曲面內(nèi)，即無摩擦作用和其他限制。以曲面中心線角度φ以及螺旋線繞中心線轉(zhuǎn)過的角度ν和中心線曲率半徑ρ表示中心線笛卡爾坐標(biāo)系分量如下：

則弧長S對于笛卡爾坐標(biāo)系分量的微分可表示為

若假設(shè)螺旋形鋼纜追隨測地線變化，則其長度可由微分幾何獲得。將空間曲線弧長dS積分并轉(zhuǎn)換為上述變量表示，加入Lagrange乘子λ，利用最優(yōu)化理論解得

其中：C為積分常量。不妨設(shè)ν=π/2，則

由此可解得C。將φ，1以R/ρ為展開項進行泰勒展開，忽略高階項，沿弧長重新積分可得

另有沿曲線坐標(biāo)關(guān)系方程

將（28）、（29）式結(jié)合，解得

其中第二項即為ν的變化值，則總相對位移可得

各方向位移分量為

上式表明了當(dāng)曲面中心線存在一定的曲率半徑時，若假設(shè)鋼纜沿測地線變化，則鋼纜會產(chǎn)生側(cè)向滑移與軸向滑移，其滑移值與曲率半徑，螺旋角和所在方位相關(guān)。整個軸向滑移從受壓縮到受拉伸不斷變化。

事實上，若鋼纜在圓柱表面符合測地線假設(shè)移動，其會產(chǎn)生一定的扭轉(zhuǎn)角，產(chǎn)生一定的應(yīng)力；由于前文中假設(shè)鋼纜法向量與曲面法向量相同，因此該應(yīng)力會導(dǎo)致所求結(jié)果與實際結(jié)果存在一定偏差。Svein[3]討論了這種偏差的影響，指出當(dāng)結(jié)構(gòu)受到軸向拉力時，這種偏差會顯著減小0.1°以下，可以忽略。結(jié)構(gòu)所需的軸向拉力大小取決于結(jié)構(gòu)形式以及螺旋線布置角，若布置角大于30°，則所需軸向拉力大幅度減小。因本文考慮結(jié)構(gòu)受到拉力與彎矩作用，故忽略這種影響，認(rèn)為運動限制方程有效。

綜合上述公式解得滿足測地線假設(shè)的螺旋鋼纜曲率增量為：

若柔性管僅受拉壓載荷，則曲率半徑無窮大，管道模型為軸對稱模型。由（12）-（17）式可得螺旋線軸向應(yīng)變與管中心軸軸向應(yīng)變方程以及軸對稱載荷下曲率變化方程：

其中：εz表示柔性管中心軸的軸向應(yīng)變。再結(jié)合空間幾何關(guān)系，最終可得曲率變化：

1.6 斜駛線假設(shè)

斜駛線的概念同樣來源于地理學(xué)，表示該空間曲線與曲面坐標(biāo)軸所成角度不變，即螺旋角α不變。斜駛線與測地線在球體上的表示如圖4所示。在物理學(xué)上，可視為空間曲線結(jié)構(gòu)與所在曲面無相對滑移，即摩擦力無窮大。當(dāng)空間曲面彎曲變化時，由于受到軸向應(yīng)力作用，原坐標(biāo)系基向量G1的模也會隨之變化，設(shè)變化后的基向量為g1，由（6）式可得格林張量值，代入基向量中可得：

圖4 測地線（左）與斜駛線（右）Fig.4 Geodesic curve(left)and loxodromiccurve(right)

利用測地線假設(shè)與斜駛螺旋線假設(shè)下的曲率變化方程，可求解受到環(huán)境載荷之后的抗拉伸層鋼絲新曲率值。再由曲面坐標(biāo)系下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，求解出各點應(yīng)力，通過三點高斯積分，即可獲得抗拉伸層鋼絲彎矩和剪力。將整個過程不斷迭代，并應(yīng)用新的螺旋角，即可得到抗拉伸層鋼纜結(jié)構(gòu)響應(yīng)的準(zhǔn)靜態(tài)公式。

2 數(shù)值模擬實例

根據(jù)前文所述的公式，以MATLAB程序語言編寫了結(jié)構(gòu)分析程序代碼TensileArmorV1.M。該程序以準(zhǔn)靜態(tài)線性方法，分析抗拉伸層鋼纜的曲率變化，再通過上文公式導(dǎo)出彎矩和剪力值。程序中忽略摩擦作用以及鋼纜與管其它層間作用，假定鋼纜符合上文所述各種假設(shè)。程序流程圖如圖5所示。

圖5 結(jié)構(gòu)分析程序流程圖Fig.5 Flow diagram of program TensilearmorV1.m

圖6 ABAQUS有限元模型Fig.6 Finite element model of ABAQUS

本文選擇一根柔性管作為實例分析。其抗拉伸層直徑為100 mm,抗拉伸層橫截面為長方形，厚3 mm，寬10 mm，布置角度為30°。材料為高強度碳鋼，本文假設(shè)為滿足胡克定律的彈性材料，楊氏模量E=211 GPa,屈服應(yīng)力1 100 MPa，泊松比0.3。文中選擇4倍螺距長度進行分析。由于程序僅分析單根抗拉伸鋼纜作用，本文將其它層作用假設(shè)為管道位移邊界條件施加到抗拉伸層中；管道模型曲率按從0 m-1到0.1 m-1循環(huán)變化。

為對比分析不同模型差異，本文運用ABAQUS通用有限元軟件隱式計算模塊，建立了以三維直梁單元（B31）為基礎(chǔ)的有限元模型。模型的材料，截面參數(shù)與邊界條件與前文相同。采用SHELL單元代表整個柔性管結(jié)構(gòu)。同樣采用一根等效抗拉伸層鋼纜進行分析。鋼纜按長度方向被分為100個單元，每個單元節(jié)點與對應(yīng)的表面運用Tie連接，以此實現(xiàn)斜駛螺旋線假設(shè)。加載步驟為先勻速緩慢加入軸向拉力，再緩慢施加彎矩循環(huán)。其中軸向拉力部分為靜態(tài)分析，彎矩循環(huán)部分為動態(tài)分析。所得模型如圖6所示。

BFLEX管道分析軟件是MARINTEK水池開發(fā)的，依據(jù)空間曲梁原理與斜駛螺旋線假設(shè)以及非線性有限元框架編寫的有限元結(jié)構(gòu)分析軟件。采用該軟件建立類似模型與本文結(jié)果和ABAQUS模型進行對比。BFLEX模型采用100個H353單元，該單元為曲梁單元。同時考慮管道與抗拉伸層的摩擦，摩擦系數(shù)設(shè)為0.4，采用較高摩擦系數(shù)近似模擬斜駛螺旋線的摩擦無限大假設(shè)。其他參數(shù)與ABAQUS模型相同。所得模型如圖7。

圖7 BFLEX有限元模型Fig.7 Finite element model of BFLEX

3 結(jié)果與討論

3.1 軸對稱載荷結(jié)果分析

當(dāng)柔性管僅受軸向拉力時，柔性管抗拉伸鋼纜在局部坐標(biāo)系下的曲率變化結(jié)果如圖8和圖9所示。軸向拉力以指定位移勻速施加在管中心軸上，從0勻速增加至1%管長。從圖中可得，切向與縱向曲率變化隨軸向拉力基本呈線性變化，三個模型趨勢相同，結(jié)果近似，證實了本文模型的可行性。采用直梁單元的ABAQUS模型曲率變化更大。BFLEX模型與本文模型由于基本方程相同，所以變化不大。差異主要是由于數(shù)值模型中采用非線性計算方法，同時布置角α?xí)S軸向應(yīng)變不斷變化；而本文程序采用線性計算，同時假設(shè)α為一定值。徑向曲率變化值如圖10，按照BFLEX與本文假設(shè)，徑向曲率變化率為0。由于直梁模型為近似模擬螺旋曲線，故在ABAQUS模型中存在較小的曲率變化，但數(shù)量級為10-5m-1，可以忽略不計。圖11表示了抗拉伸鋼纜在拉力作用下的軸向力。圖12表示了BFLEX模型當(dāng)拉力最大時抗拉伸層鋼纜關(guān)于管道中心軸的彎矩分布。ABAQUS模型與本文程序所得彎矩分布與該圖類似。本文選擇彎矩最大處進行對比分析，結(jié)果如圖13。彎矩與軸力圖表明以格林應(yīng)變張量與第二Kirchoff應(yīng)力張量度量并運用坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化這一方法是切實可行的。

對于計算效率的比較，本文選擇一臺Intel I7 4核處理器，32 GB內(nèi)存進行計算，本文模型計算時間約10 s，BFLEX模型計算時間約100 s，ABAQUS模型計算時間約為600 s。由于采用了針對柔性管的坐標(biāo)系與單元，本文模型計算時間大大減少。

圖8 軸向拉力下螺旋鋼纜縱向曲率變化Fig.8 Axial curvature increment in tensile load condition

圖9 軸向拉力下螺旋鋼纜橫向曲率變化Fig.9 Transverse curvature increment in tensile load condition

圖10 軸向拉力下螺旋鋼纜徑向曲率變化Fig.10 Radical curvature increment in tensile load condition

圖11 軸向拉力下螺旋鋼纜軸力Fig.11 Axial force of tensile armor wire

圖12 關(guān)于管中心軸彎矩分布圖Fig.12 X(m)versus Moment-Z(N*m)

圖13 關(guān)于中心軸最大彎矩對比圖Fig.13 Maximum moment about center core

3.2 彎曲載荷下結(jié)果分析

對柔性管兩端施加彎矩使其曲率從0 m-1到0.1 m-1緩慢增加，以近似于三角函數(shù)循環(huán)變化。在彎矩施加前對柔性管施加0.15%的拉應(yīng)變以保證整個彎矩作用時柔性管狀態(tài)穩(wěn)定，避免發(fā)生屈曲。在Bflex模型中選擇摩擦系數(shù)miu分別為0與0.4用以分別對比測地線假設(shè)與斜駛螺旋線假設(shè)的情況。在ABAQUS模型中運用tie連接將抗拉伸鋼纜與表面相連，以此來模擬斜駛螺旋線假設(shè)。同時在程序中分別算出斜駛螺旋線與測地線假設(shè)結(jié)果。

本文以曲率達(dá)到最大值時結(jié)果進行分析。數(shù)值模擬所得抗拉伸鋼纜相對于中心管軸向位移如圖14。軸向位移隨著螺旋的循環(huán)不斷循環(huán)變化，周期為一個螺距。在螺旋開始端為0，在1/4螺距處達(dá)到最大值。根據(jù)假設(shè)，斜駛線與ABAQUS模型的橫向位移為0 mm。摩擦系數(shù)為0.4的BFLEX模型較為接近斜駛線假設(shè)模型，幅值為0.4 mm。而摩擦系數(shù)為0的BFLEX模型則比測地線假設(shè)略大，幅值分別為2.5 mm與2 mm。橫向相對位移沿管長變化如圖15所示，所得結(jié)果同樣以單螺距為周期循環(huán)變化。斜駛線模型，高摩擦系數(shù)模型與ABAQUS模型結(jié)果基本相同，符合假設(shè)預(yù)期。

圖14 縱向相對位移沿管長分布圖Fig.14 Pitch times versus relative displacement(mm) in axial direction

圖15 橫向相對位移沿管長分布圖Fig.15 Pitch times versus relative displacement(mm) in transverse direction

圖16 扭轉(zhuǎn)曲率相對變化值沿管長分布圖Fig.16 Pitch times versus relative twist curvature(m-1)

圖17 橫向曲率相對變化值沿管長分布圖Fig.17 Pitch times versus relative transverse curvature(m-1)

圖16表示扭轉(zhuǎn)方向曲率相對變化值Δκ1沿管長方向分布圖。測地線曲率變化值呈余弦函數(shù)分布，周期為單位螺距，幅值約為0.05 m-1；與無摩擦BFLEX模型近似。斜駛線模型與高摩擦模型近似，相位角與測地線假設(shè)相反，幅值較小，約為0.02 m-1。ABAQUS模型變化值呈正弦函數(shù)分布，周期與其他模型相同，幅值略大，約為0.12 m-1。產(chǎn)生差異原因可能是ABAQUS模型采用直梁單元，其初始梁單元方向僅能代表該微段梁單元的平均方向，而不能代表起始點準(zhǔn)確方向，因此在彎曲作用下曲率變化較為敏感。由于結(jié)果顯示為曲率相對變化值，故對實際梁運動影響不大。但在屈曲分析或疲勞分析中，需考慮管道受長時間多次彎曲循環(huán)作用，該微小差異可能導(dǎo)致直梁有限元結(jié)果與其他基于空間細(xì)長體結(jié)果產(chǎn)生不同。圖17表示橫向曲率相對變化管長分布。由于邊界作用，ABAQUS與BFLEX模型在邊界上出現(xiàn)小幅波動，但對結(jié)果影響較小。測地線結(jié)果與0摩擦模型相似；斜駛線模型與高摩擦模型相似，符合假設(shè)預(yù)期。所有細(xì)長桿模型結(jié)果均類似于以單螺距為周期的余弦函數(shù)。由于測地線假設(shè)摩擦為0，因此橫向曲率變化較斜駛線假設(shè)大，幅值分別為0.2 m-1與0.04 m-1。直梁模型結(jié)果曲率變化平均值約為0 m-1，與斜駛線近似，不同之處在于結(jié)果周期性不明顯，分布不穩(wěn)定，這與直梁模型近似表示空間曲線結(jié)構(gòu)相關(guān)。圖18為徑向曲率變化值對比圖。結(jié)果同樣較為符合，測地線曲率變化較斜駛線大。ABAQUS模型結(jié)果與斜駛線模型近似，但分布不穩(wěn)定，原因與上文相同。

上述結(jié)果表明測地線假設(shè)可代表摩擦為0時抗拉伸螺旋管的位移變化；而斜駛線假設(shè)則可基本代表高摩擦系數(shù)時抗拉伸層位移變化。工程實際中摩擦系數(shù)在0與無限大之間；因此可通過該程序的兩種假設(shè)模型快速估算出抗拉伸鋼纜運動響應(yīng)范圍。在同上文相同計算機上，本文程序計算時間約為100 s，BFLEX約為900 s，ABAQUS達(dá)到2 000 s；表明本文程序計算效率較高。

4 結(jié)論

本文基于測地線假設(shè)與斜駛螺旋線假設(shè)，推導(dǎo)了柔性管抗拉伸層螺旋鋼纜在軸對稱載荷以及循環(huán)彎矩作用下的結(jié)構(gòu)曲率變化方程組。同時，應(yīng)用格林應(yīng)變張量，二階Kirchoff應(yīng)力張量以及胡克定律，將格林應(yīng)變張量在曲面坐標(biāo)系下表示，并轉(zhuǎn)化為局部坐標(biāo)系，得出抗拉伸層鋼纜彎矩，軸力公式。編寫了線性準(zhǔn)靜態(tài)計算程序，選擇柔性立管實例進行了分析。運用有限元軟件建立了多個曲梁單元模型與直梁單元模型，與計算結(jié)果進行了對比，結(jié)論如下：

在柔性管受軸對稱載荷時，計算結(jié)果表明局部坐標(biāo)系x和y方向曲率變化值與拉應(yīng)變呈線性關(guān)系。局部坐標(biāo)系徑向曲率基本為0。與通用直梁有限元模型以及曲梁單元模型對比，結(jié)果基本相同。本文假設(shè)成立，計算程序可行。

在受彎曲載荷時，斜駛線假設(shè)模型與高摩擦系數(shù)模型高度近似，證實了斜駛線假設(shè)符合高摩擦系數(shù)時螺旋鋼纜運動響應(yīng)。測地線假設(shè)模型與無摩擦模型結(jié)果近似，表面測地線假設(shè)模型可用于預(yù)測低摩擦系數(shù)時抗拉伸層運動響應(yīng)。結(jié)果表明摩擦力對抗拉伸鋼纜在彎曲作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)有較大影響。直梁模型在位移上與斜駛線模型十分接近，在曲率變化上平均值與斜駛線模型接近，但分布規(guī)律較為不同；其原因主要是基本假設(shè)與單元特性造成偏差。在短時間彎曲分析中差異可忽略不計。在多次彎曲循環(huán)分析中，該差異可能引起曲梁模型與直梁模型結(jié)果不同，有待進一步驗證。

在兩種載荷分析中，本文模型都體現(xiàn)了較高的運行效率。工程上本程序可應(yīng)用于軸對稱載荷下抗拉伸鋼纜設(shè)計;并快速分析抗拉伸鋼纜在彎曲載荷下的運動響應(yīng)范圍，為抗拉伸鋼纜設(shè)計提供參考。

在今后研究中將根據(jù)實驗結(jié)果，增加修正系數(shù)建立結(jié)構(gòu)響應(yīng)與摩擦系數(shù)關(guān)系從而準(zhǔn)確模擬抗拉伸層。同時，非線性動態(tài)計算方法，非線性材料模型以及螺旋線布置角的實時變化將被加入到今后的程序中?？估鞂优c其他層之間的接觸作用在本文中沒有考慮，也將在進一步的研究中體現(xiàn)。

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Analysis of tensile armor layer structural behaviors in flexible pipe

YANG Xu1,SUN Li-ping1,LI He-nan2
(1 Shipbuilding Engineering College,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China; 2 Department of Marine Technology,Norwegian University of Science and Technology, Trondheim Norway 7491,Norway)

Tensile armor layers of flexible pipe are complex helix structures,whose stress analyses are significant to flexible pipe’s fatigue,strength and buckling behaviors.This paper is based on curved beam theory.Equilibrium equations of tensile armor wires in deepwater unbonded flexible pipe were solved with assumptions of loxodromic curve and geodesic curve,based on slender rod theory and elastic constitutive relationship.The curvatures and structural response under axisymmetric load and bend moment were analyzed.A three dimensions beam finite element model and a three dimensions curved beam element model were built by FEM software to compare with the results.The results show that the formulations and codes are reasonable for predicting structural responses of tensile armor wires.This solution provides a fast method to evaluate the stress and curvatures in design of flexible pipe’s preliminary design.

flexible pipe;tensile armor layer;loxodromic curve;geodesic curve;structural analysis

P756.2

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.04.012

1007-7294（2015）04-0436-11

2014-09-22

FPSO和外輸系統(tǒng)數(shù)值模擬及實驗研究（2011ZX05030-006-002）；國家建設(shè)高水平大學(xué)公派研究生項目；深海工程科學(xué)與技術(shù)創(chuàng)新引智基地（B07019）

楊旭（1987-），男，博士研究生；孫麗萍（1963-），女，教授，博士生導(dǎo)師，通訊作者，E-mail:sunliping@hrbeu.edu.cn；李鶴楠（1987-），女，碩士。