王振芳

摘 要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要部分，是高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。因此，如何更加有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)顯得尤為重要。在強(qiáng)調(diào)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的今天，教材中經(jīng)常都有要學(xué)生進(jìn)行探究的內(nèi)容，但是不是進(jìn)行探究性的教學(xué)就是好的呢？通過概念教學(xué)的實例分析，對概念教學(xué)中是否有必要進(jìn)行探究性的學(xué)習(xí)進(jìn)探討分析。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；單位圓；三角函數(shù)

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式，是抽象化的空間形式和數(shù)量關(guān)系，是反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們要涉及很多的數(shù)學(xué)概念，如“映射”“函數(shù)”“任意角三角函數(shù)”“單調(diào)性”“奇偶性”等等。在新課程的推進(jìn)過程中，很多老師會在教學(xué)中利用探究性的教學(xué)方法，讓學(xué)生進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念，但本人認(rèn)為，并不是所有的概念都適合進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的。接下來以“任意角的三角函數(shù)”為例進(jìn)行分析。

“任意角的三角函數(shù)”教材中以初中所學(xué)的銳角三函數(shù)數(shù)為引入，要學(xué)生利用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到利用單位圓上點的坐標(biāo)定義三角函數(shù)。可是在教學(xué)過程中，本人發(fā)現(xiàn)從長度到坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化過程學(xué)生理解上存在困難，而且在知識點的遷移擴(kuò)展上存在不清楚的問題。例如，以下教學(xué)過程：

引入：銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？

思考：對于確定的角α，這三個比值是否會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變呢？

顯然，我們可以將點取在使線段OP的長r=1的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)：

思考：上述銳角α的三角函數(shù)值可以用終邊上一點的坐標(biāo)表示。那么，角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何對初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改，以利推廣到任意角呢？本節(jié)課就研究這個問題——任意角的三角函數(shù)。

探究新知：

1.探究：結(jié)合上述銳角α的三角函數(shù)值的求法，我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢？

顯然，我們只需在角的終邊上找到一個點，使這個點到原點的距離為1，然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了。所以。我們在此引入單位圓的定義：在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓。

2.思考：如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義？

如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么：

（1）y叫做α的正弦（sine），記做sinα，即sinα=y；

（2）x叫做α的余弦（cossine），記做cosα，即cosα=x；

注意：當(dāng)α是銳角時，此定義與初中定義相同（指出對邊，鄰邊，斜邊所在）；當(dāng)α不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點P（x，y），從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值。

3.思考：如果知道角終邊上一點，而這個點不是終邊與單位圓的交點，該如何求它的三角函數(shù)值呢？

教學(xué)案例中通過對初中銳角三角函數(shù)的復(fù)習(xí)，針對新知識任意角如何求三角函數(shù)的問題進(jìn)行提問探究，但是從長度到坐標(biāo)的轉(zhuǎn)變其實并不是那么的自然，顯得有些牽強(qiáng)，學(xué)生此時也只是根據(jù)老師提示和教材上的內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)，所以在這里進(jìn)行的探究本人認(rèn)為并不是特別必要。因為三角函數(shù)的概念其實應(yīng)該是一個定義性質(zhì)的概念，不存在探究的問題，利用單位坐標(biāo)的定義才是其比較全面、完整的定義，而初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)的定義其實是在所學(xué)知識有限的情況下所做的定義，并不是由銳角三角函數(shù)推廣得到任意角的三教函數(shù)的，所以在這里，個人覺得直接給出任意角三角函數(shù)的定義，讓學(xué)生與初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)其中的問題：在銳角的情況下，任意角三角函數(shù)所對應(yīng)的坐標(biāo)都可以用直角三角形的邊長來進(jìn)行代換，也就是說，初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)其實是現(xiàn)在所學(xué)的任意角三角函數(shù)的一種特殊狀況，而不是說任意三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的推廣。

通過此例分析，本人認(rèn)為，在概念的教學(xué)中，并不是說進(jìn)行探研就一定是好的，更不能為了迎合新課程改革，為了探究而探究，做表面功夫，而忽略了學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)識的規(guī)律，這樣往往看上去好看，但教學(xué)效率反而更低。所以在概念教學(xué)過程中，教師要根據(jù)所授內(nèi)容的實際情況，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)識的規(guī)律，加上教師對所授內(nèi)容的理解，進(jìn)行具體的教學(xué)策略選擇。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 段麗君