邱偉 陶金
摘 要:電偶極子是電介質(zhì)理論和原子物理學的重要模型。該文研究了電場中的電偶極子的力矩、電勢能與電偶極子的電勢、感生偶極矩、電場線方程。最后,用MATLAB軟件來反應電偶極子激發(fā)的電場在空間上的分布情況。
關鍵詞:電偶極子 ?電場 ?電勢 ?MATLAB
中圖分類號:0441.1 ? ? ? ? 文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2015)10(c)-0253-02
在實際生活中電偶極子的應用很廣泛。在以往電偶極子的教學當中,沒有詳細討論電偶極子,只是給出電偶極子的電場,沒有對電偶極子的力矩、電勢能、電勢電場線作詳細討論。在接下來將詳細討論這幾個問題。
1 電場中的電偶極子
1.1 對電偶極子的力矩
電場中的電偶極子受力矩作用而旋轉(zhuǎn),使電偶極矩的方向轉(zhuǎn)向外電場方向。電偶極矩簡稱電矩,是其在單位外電場作用下受到的最大力矩。一個水分子(見圖1),顯示3個核與電子存在的區(qū)域。電偶極子從氧端(負的)指向氫端(正的)。如圖2所示在均勻外電場中的偶極子,設偶極子是一個大小各為q而中心相距d的兩個異號電荷組成的偶極矩與電場成角。由于電場均勻,電場對偶極子的合力為零,所以偶極子的質(zhì)心不移動。然而,在帶電末端上力在偶極子上產(chǎn)生一個繞其質(zhì)心的合力矩。質(zhì)心位于連接兩個帶電末端的線上,離一個末端的距離為,而另一個末端的距離為,根據(jù),所以合力矩(1)利用電場的大小和偶極矩的大小寫出的大小,所以上式中用代替并用代替,求得的大小為:,我們還可以寫成矢量形式:(對偶極子的力矩)(2),所得結(jié)果與文獻[1]相同。
1.2 電偶極子的電勢能
電偶極子的勢能與其在電場中的取向有關。當電偶極子處于平衡取向具有最小的勢能,而平衡取向是其偶極矩沿電場方向的取向。在所有其他取向的情況下它具有較大的勢能。如圖3所示,角為90°時勢能為零,根據(jù)計算當電偶極子從90°轉(zhuǎn)到其他任意時,作用在電偶極子上的電場所做的功,可求出電偶極子在該值時的勢能。根據(jù),在任意角處的勢能為:(3)積分后得,寫成矢量形式:(電偶極子的勢能)(4)。
2 電偶極子的電勢
2.1 電偶極子的電勢
設電場中任意一點到、和電偶極子中心的距離分別是、和,電偶極子中心到點連線和電偶矢徑成角,如圖4所示,由電勢公式與電勢疊加原理,是及在點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。即:(5),根據(jù)電偶極子的定義是非常小的,假設、和都遠遠大于,所以可得出:。得(6)。
由式(6)可以得出,電偶極子電場的電勢分別與距離、夾角、和電距都有關??梢栽O想一下:如果距離一定時,在電偶極子矢徑的延長線上,,這時電勢最大,;當=180°時,180°=-1,所以在電偶極子在矢徑的反向延長線上時電勢最小,;當90°時,°=0,所以電偶極子在中垂面上的電勢為零;當<<90°時,,隨角的增大而減小;當90°<<180°時,,隨角增大而減小;從上面的設想中可以得出,電偶極子的中垂面是零勢面,這個零勢面將整個電場分為正負兩個區(qū)域,一側(cè)為正電勢區(qū)域,一側(cè)為負電勢區(qū)域。電偶極子電場中某點電勢與方位角的關系如圖5所示。
2.2 感生偶極矩
許多分子,比如:水分子,具有永電偶極矩。在其他的分子(叫做無極分子)和在每個孤立的原子中,正電中心和負電中心重合,因而沒有偶極矩形成。然而如果我們把一個原子或無極分子放置在外電場中,電場使電子軌道變形并使正電中心和負電中心分離。因為電子帶負電,它們趨于沿與電場相反的方向移動。這個移動產(chǎn)生指向電場方向的電偶極矩。這個偶極矩被認為是電場感生的,而原子或分子被說成是被電場極化的,當電場除去后,感生偶極矩和極化消失。
2.3 用電勢求電場、電場線方程
電偶極子電勢的遠區(qū)表達式:(7),電偶極子的軸線與軸重合,其中和分別是和到點的距離。此時(7)式又可以寫成(8),電偶極子的遠區(qū)電場強度可由(8)式求梯度得到。因電勢只是坐標和的函數(shù),于是有(9)。
從(8)式和(9)式可以看到,電偶極子的遠區(qū)場的電場強度與的三次方成反比,電勢與的平方成反比。根據(jù)(8)式,電偶極子的等電勢面方程可。
將電力線方程寫成球坐標形式,此時電場只有和兩個分量,有(10),把電場表達式(9)帶入上式(11),解上式得電偶極子遠區(qū)場的電力線方程恒量(12)。圖6給出了電偶極子為常數(shù)的平面內(nèi)電偶極子遠區(qū)場電力線方程中恒量取不同的常數(shù)所對應的等電勢線和等電力線。[2]
3 用MATLAB演示電偶極子
用MATLAB演示點偶極子見圖7所示。[3]
4 結(jié)語
通過以上的研究,對電偶極子這個最基本的物理模型有了更深入的認識,以上研究只是電偶極子的電學屬性而忽略了力學屬性,電偶極子在電場中并不是靜止不動的,它收到力矩的作用會在平衡位置進行微小的振動,如果對均勻電場中的電偶極子的運動特征進行分析和討論,就能更好的掌握電偶極子這一重要的物理模型。模擬出來的圖形若能夠采用動畫的形式播放,可以給人以視覺上的享受,把抽象的問題具體化、圖形化。
參考文獻
[1] 哈里德.物理學基礎[M].機械工業(yè)出版社,2005.
[2] 張之翔.電磁學千題解[M].科學出版社,2005.
[3] 矯洪楠,侯怒.電偶極子激發(fā)的電場及其MATLAB模擬仿真[J].物理通報,2014(10):27-29.