九宮方陣的數(shù)學(xué)解法

王樂芹等

【摘要】用數(shù)學(xué)解析法求解九宮方陣，探究其中奧妙.

【關(guān)鍵詞】九宮方陣；數(shù)學(xué)解析；求解

在九宮格（如圖1）中輸入九個(gè)數(shù)字，使每一行每一列以及對角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于一個(gè)固定值s.這就是人人皆知的九宮方陣.

這個(gè)問題答案已經(jīng)家喻戶曉，但如何求解卻需要進(jìn)一步探討.

一、傳統(tǒng)解法

（1）破解口訣

在電視連續(xù)劇《射雕英雄傳》里有一情節(jié)，瑛姑為了這個(gè)九宮格苦思不得其解，便拿它來考黃蓉，她給出的答案就是： “戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五守中央”（如圖1） .

（2）迭代法

把不同的數(shù)字組合進(jìn)行迭代，直到得出最終組合為止.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的引入，這一方法也不難實(shí)現(xiàn).

這兩種方法，雖然都能得到正確的答案，但無法給出求解過程及原因，或者求解過程比較煩瑣，無法窺探其中的奧秘，掌握起來比較困難.下面介紹一種數(shù)學(xué)解析的方法.

九宮格中的九個(gè)未知數(shù)用a，b，c，d，e，f，g，h，i代替，如圖2所示.采用數(shù)學(xué)解析法，按照以下步驟求解九宮方陣.

（一）確定各行、列數(shù)字和s

根據(jù)已知條件

a+b+c=d+e+f=g+h+i=s（1）

a+b+c+d+e+f+g+h+i

=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（2）

把（1）代入（2），得3s=45

確定固定值s=15.

（二）確定中心數(shù)字e

根據(jù)已知條件，如圖“米”字上的數(shù)列滿足

（三）確定第二個(gè)數(shù)字位置

圖3 帶“米”字的九宮方陣中心數(shù)字e（5）確定后，其他任意1個(gè)數(shù)字，按照空格相對位置關(guān)系，如圖3，只有兩個(gè)位置，一個(gè)是在角格里，另一個(gè)在外邊中間格里.假設(shè)先確定數(shù)字9的位置.

求解過程中可以發(fā)現(xiàn)，隨著數(shù)字9和1位置在外邊格位置的不同及數(shù)字排列的變化，可以得到九宮方陣的其他求解結(jié)果，如圖5所示，在此不再逐一贅述.

三、結(jié) 論

用數(shù)學(xué)解析法，掌握其中規(guī)律，可以容易求解出九宮方陣以及它的幾種變化.通過求解過程，也可以窺探其中的奧妙，提高學(xué)習(xí)興趣，從而達(dá)到熟練掌握.

求解過程中，應(yīng)把握以下幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：

（1）求各行、列的數(shù)字和s；

（2）確定方陣中心值e；

（3）確定任意第二個(gè)數(shù)字的位置.