林永暉

(福建永春縣教育局,福建 泉州 362600)

重視教材例習(xí)題處理培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)

林永暉

(福建永春縣教育局,福建 泉州 362600)

例、習(xí)題的教學(xué)是整個數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要部分。在教學(xué)過程中重視課本例、習(xí)題的剖析教學(xué)，對典型的例題、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪脚c延伸，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的解題思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

例、習(xí)題；獨創(chuàng)性;深刻性;系統(tǒng)性；思維品質(zhì)

教材中的例、習(xí)題體現(xiàn)課標(biāo)要求，蘊寓知識要點，深遂而經(jīng)典，具有良好的示范作用。在課堂教學(xué)中，教師若能對教材中典型的例、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪脚c延伸，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的解題思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。本文結(jié)合自己多年來的教學(xué)實踐，從例、習(xí)題的教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、獨創(chuàng)性、深刻性、系統(tǒng)性、靈活性等方面談幾點看法。

1 創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

創(chuàng)設(shè)良好的問題情境有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生在問題情境中主動思考和探究[1]。在教學(xué)中，鼓勵學(xué)生大膽猜想并提出問題，讓學(xué)生在解決問題的求知欲驅(qū)使下，完成問題的解決過程，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維廣闊性的目的。

例1： 解下列方程組

第一，憑直覺猜測：各方程組中可能存在某種聯(lián)系。仔細(xì)觀察以上各個方程的未知數(shù)系數(shù)及常數(shù)項的關(guān)系：

第二，啟發(fā)學(xué)生作逆向猜測：

可以證明，逆命題也成立。

再進(jìn)一步，作發(fā)散性猜想：

是否還存在某一類方程組，它們也具有一個相同的解呢？(或它們的解帶有某種規(guī)律)，于是將學(xué)生思維導(dǎo)入“實驗(觀察、分析)―猜想―證明”這一重要的思考問題的方法上，及時拓展學(xué)生思維層面，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性的思維。

現(xiàn)將學(xué)生得出的猜測舉例如下：

思維的廣闊性是思維品質(zhì)的一部分。培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，必須有豐富的廣闊知識面，善于從多角度、多方位、多層次去思考問題，認(rèn)識問題和解決問題。教學(xué)中應(yīng)注意發(fā)揮橫向思維的作用，并適時的進(jìn)行歸納總結(jié)。廣闊的知識面和嫻熟的演繹推理及歸納總結(jié)能力是提高思維的廣闊性的關(guān)鍵。

2 探究合作互動，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨創(chuàng)性

探究合作互動是在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境的基礎(chǔ)上，重視探究問題的提出，讓學(xué)生主動參與探究的過程。這就要求教師不斷提高自己的專業(yè)知識水平，在教學(xué)過程中能提出自己獨到的見解，讓學(xué)生有自主學(xué)習(xí)的時間和空間，提高學(xué)生的獨創(chuàng)能力。

例2：已知P為正方形ABCD內(nèi)一點，且∠PCD=∠PDC=15°，求證：△PAB是一個正三角形。

這是一道典型的習(xí)題，證法很多，如果我們巧妙地利用一個十分簡單的結(jié)論：1周角等于3600來證，則其證法非常簡潔，令人耳目一新。

證：顯然△PAD?△PBC所以PA=PB。假設(shè)AB>PA，則∠APB>∠PBA= ∠PAB,于是∠APB>600，而∠APD=∠BPC>∠BCP=90°-15°=75°,所以∠APB+∠APD+∠BPC+∠CPD>60°+75°+75°+150°=360°，與一周角等于360°矛盾，所以AB>PA不可能，同理AB

課堂教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生多方位觀察，積極思考，鼓勵獨立探索和敢于創(chuàng)新的精神，對于學(xué)生的新觀點和精神給予積極的肯定和鼓勵，保持教師對學(xué)生的期待感，順應(yīng)學(xué)生的成功心理，克服怯懦，大膽地發(fā)表自己的觀點，培養(yǎng)學(xué)生敢于創(chuàng)新的自信心，從而最大程度地激發(fā)學(xué)生蘊含著的無限創(chuàng)造力。

3 克服思維定勢，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

思維定勢是指人們在長期的學(xué)習(xí)過程中所形成的一種習(xí)慣性思維方法，它對新知識的學(xué)習(xí)具有積極的一面也有消極的一面,消極的一面可使學(xué)生用已形成的固定思路和習(xí)慣考慮問題，用固定了的方法解決問題，造成解題思路受阻、解題過程繁雜。因此在平常的教學(xué)過程中，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，幫助學(xué)生擺脫思維定勢的消極影響。

例3:求證不論a取什么實數(shù)，關(guān)于x的方程x2- (a2+a)x+a- 2=0 必有2個不相等的實根。

按常規(guī)解法，先計算判別式△，然后根據(jù)△的符號再得出結(jié)論。

△=(a2+a)2-4(a- 2)=a4+2a3+a2-4a+8

發(fā)現(xiàn)它是一個關(guān)于a的四次多項式。由于學(xué)生思路受“判別式定勢”的影響，當(dāng)求出△時，一時難以判定它的符號，從而解題陷入困境。

倘若我們改變一下思維方法，構(gòu)造二次函數(shù)f(x) =x2- (a2+a)x+a- 2 ，要證明原命題成立，只需證明這個二次函數(shù)圖象與x軸有2個不同的交點，由于它的開口向上，因此只要找到一個x的值使得y<0，那么問題就解決了。

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=1時f(1) = 12- (a2+a)+a- 2 = -a2-1<0 圖象與x軸必須有2個不同的交點，故原命題成立。

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意消除思維定勢的消極影響，引導(dǎo)學(xué)生靈活運用知識，挖掘習(xí)題的隱含條件，通過變換思考角度, 培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

4 重視總結(jié)提高，培養(yǎng)學(xué)生思維的系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)學(xué)科有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系和完整的系統(tǒng)，知識間前后照應(yīng)，密切相聯(lián)。因此，教師在教學(xué)中要遵循系統(tǒng)性原則，掌握好教學(xué)內(nèi)容體系，通過對學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的知識傳授，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

例4:已知O是平行四邊形ABCD內(nèi)的任意一點。求證：SΔAOB+SΔDOC=SΔAOD+SΔBOC

以下是這一題型的歸類：

5 通過多解變形，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

一題多解，是從不同角度進(jìn)行探究得到不同的解題思路，它有利于拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力；一題多變，是對于課本的例、習(xí)題，或保持已知條件不變，探索是否能得出更深刻的結(jié)論，或在原題的基礎(chǔ)上適當(dāng)改變條件、結(jié)論，探索是否能得出更一般性的結(jié)論。在對變式題的求解的教學(xué)中，面對由多種變式變換得來的新題，學(xué)生必須分析一些情境的特點，找出已知和未知的聯(lián)系，或聯(lián)想，或類比，或推廣，重新組織已知的規(guī)則，形成新的高級規(guī)則，嘗試解決新的問題，通過多解變形，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性[2]。

例5:已知a≥0,b≥0，且a+b=1，求a2+b2的最大值和最小值。

解法一：(函數(shù)思想)

由a+b=1得b=1-a，則

因為a≥0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得

當(dāng)a=1或a=0時，a2+b2的最大值為1。

解法二：(運用基本不等式)

因為a≥0,b≥0，a+b=1，

a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab

解法三：(對稱換元思想)

因為，a≥0,b≥0，且a+b=1，可設(shè)

解法四：(數(shù)形結(jié)合思想)

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)a2+b2=r2(r>0)，

問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)r滿足什么條件時，⊙O與線段AB有公共點

因為a≥0,b≥0，且a+b=1，

所以 當(dāng)⊙O過A、B時，a2+b2取最大值1

解法五：(解析幾何思想)

設(shè)A(1,0)、B(0,1)線段AB上的動點C(a，b)

因為a≥0,b≥0，且a+b=1，

所以 當(dāng)點C與線段AB的端點重合時，a2+b2取最大值1

下面是對本題的變式和推廣：

變式1：已知a、b為非負(fù)數(shù)，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。

變式2：已知a、b≥0且a+b=1，能求a8+b8的取值范圍嗎？a6+b6呢？a7+b7的范圍能求嗎？

對課本例、習(xí)題的巧妙變式，及對課本例、習(xí)題的一題多解和一題多變訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生多角度、多層次地去思考問題和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高解題能力，同時也能有效的防止題海戰(zhàn)術(shù)。

綜上所述，教師應(yīng)注重挖掘例、習(xí)題內(nèi)涵，對課本典型例、習(xí)題的進(jìn)行變形處理，幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，加強對學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，促進(jìn)其良好思維品質(zhì)的形成。

[1] 顏望輝.“兩型”數(shù)課堂教學(xué)模式研究與實踐[J].當(dāng)代教育理論與實踐，2014(11)：12-14.

[2] 李為.初中數(shù)學(xué)課堂問題設(shè)計例談[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014(8)19-21.

(責(zé)任校對 晏小敏)

20141203

林永暉(1964-)，男，福建永春人，中學(xué)一級，主要從事教育管理研究。

10.13582/j.cnki.1674-5884.2015.05.008

G625.5

A

1674-5884(2015)05-0025-04