張偉東

一、計數(shù)的歷史

數(shù)量是對生活中具體事物的抽象，而數(shù)是對數(shù)量的抽象，或者說，“數(shù)”就是用來描述具體事物的多少這個抽象概念，當(dāng)客觀的需要要求人們弄清楚所有物的多少時，“數(shù)”的產(chǎn)生就有了它的合理性，只是，在這種合理性之中還有缺陷，就是對“零”的忽視。由于人們最初只是記錄有具體數(shù)量的物體的“數(shù)”，而對于一無所有的現(xiàn)象并不感興趣，所以，在古代中國、埃及以及后來的古羅馬等地使用的數(shù)字符號中，都沒有表示“零”的符號，如今通用表示“零”的符號為“0”，是直到約公元5世紀(jì)才由印度人首先提出的。或許就是因為這種慣性思維，近代以來，人們也大都是把“1”看作自然數(shù)的開始，依然沒有對“0”加以多少的關(guān)注。

二、為什么自然數(shù)可以包括“0”

如果只是為了尊重國家標(biāo)準(zhǔn)的嚴(yán)肅性，而將“0”硬性地劃入到自然數(shù)系當(dāng)中，說服性是不高的，所以，必須從理論與實際兩方面認(rèn)識“0”作為自然數(shù)的合理性與價值，才能使我們更清楚地了解自然數(shù)的性質(zhì)，這也才是正確的學(xué)術(shù)態(tài)度。

首先，從自然數(shù)的公理系統(tǒng)（皮亞諾公理系統(tǒng)）來看，定義自然數(shù)，需要規(guī)定自然數(shù)的起源、后繼性并在此基礎(chǔ)上衍生、推廣出整個自然數(shù)集。這里需要注意的是，該公理最初規(guī)定自然數(shù)是從“1”開始的，并在“1”的后面通過直接后繼的方法生成所有的自然數(shù)，而后來皮亞諾又把自然數(shù)改成了從“0”開始，這是為了說明“0”不是任何數(shù)的后繼，它有其特有的性質(zhì)。

在教學(xué)中，我們可以給學(xué)生說明一個道理：數(shù)數(shù)不一定非得從眼見為實的“1”開始，空無一物的東西也需要加以重視，“0”可以省略，但絕不能忽略。普通的自然數(shù)可以當(dāng)成是實實在在的“存在”，“0”則是潛在的“存在”，兩者可以互相轉(zhuǎn)化，忽視任何一方面內(nèi)容都是不正確的。當(dāng)然，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂里沒必要上升到哲學(xué)的層面，但培養(yǎng)學(xué)生思考事物本質(zhì)的思維卻是大有裨益的，這也符合培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識的新課標(biāo)精神。

其次，“0”成為自然數(shù)之后，對數(shù)的擴(kuò)充起到了很大的作用。從定義來看，正整數(shù)表示的是大于“0”的整數(shù)，自然數(shù)按照原定義則是從“1”開始的用以計量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。且不說兩者在數(shù)集上是重合的，浪費了資源，當(dāng)遇到數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集的問題時，他們所能提供的幫助也很有限的。一句話，還是忽略了“0”的存在！

具體來看，想從正整數(shù)集（或是原來的自然數(shù)集）直接擴(kuò)展到整數(shù)集，在書寫與教學(xué)時還需加上一個“0”，因為正整數(shù)可以有相反數(shù)，而0不是任何數(shù)的相反數(shù)，顯然，這樣的描述是不符合簡約化要求的。而新自然數(shù)集的產(chǎn)生彌補了這一缺陷，使數(shù)系的擴(kuò)充更簡便，更有說服力。另外，小學(xué)課堂在講解十進(jìn)位制的時候，如果出現(xiàn)“逢十進(jìn)一”的情況，這里的“10”是自然數(shù)，而“0”卻不是自然數(shù)，這將給學(xué)生的理解帶來一些困難，也是不利于教學(xué)的。

三、自然數(shù)里加入“0”之后，引起的一些現(xiàn)實教學(xué)問題

問題一：“最小的一位數(shù)是0還是1？”想弄清楚這個問題，首先要知道關(guān)于“幾位數(shù)”的準(zhǔn)確定義，《現(xiàn)代漢語字典》上明確說明：“用幾個數(shù)字寫出來的自然數(shù)（最左端的數(shù)字不能是0），就叫幾位數(shù)?！币簿褪钦f，字典上是默認(rèn)0不能單獨作為一位數(shù)存在的，自然也就不是最小的一位數(shù)了。再進(jìn)一步考慮“0”在實際生活中的用途，即：表示什么也沒有、表示起點或界限、起到占數(shù)位的作用等等，尤其是最后一點作用——占數(shù)位：一般我們在記數(shù)時，如果數(shù)的某一數(shù)位上一個單位也沒有，就用0來占位。比如，10的個位，100的十位、個位上一個單位也沒有，就用0來占位。而如果出現(xiàn)“00”“000”這樣的數(shù)，不論是占數(shù)位還是單獨出現(xiàn)，都是非常不符合常理的。所以，在通常的位數(shù)教學(xué)中還是應(yīng)該避免涉及“0是幾位數(shù)”的問題，我們只能說0是最小的自然數(shù)，并默認(rèn)“1”是最小的一位數(shù)。

問題二：“曾經(jīng)自然數(shù)可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1，那么，0成為自然數(shù)之后，到底是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，或是單獨成為一類？”這是一個新數(shù)集內(nèi)的分類問題，由于數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)性，人們的慣性思維是把每一個概念都分析清楚，并安排好它們的“歸宿”，似乎不分門別類地排好順序，就拿不出手。

問題三：“如何處理約數(shù)、倍數(shù)問題中的0？”在這個問題上，現(xiàn)行教材對于約數(shù)、倍數(shù)等概念中都選擇了不包括0的策略，算不上逃避，但至少是暫緩解決。

總而言之，“0”這個數(shù)字是有其特殊性的，它雖然同其他的阿拉伯?dāng)?shù)字一樣也來自神秘的古印度，但受佛教影響，表示一種超脫于現(xiàn)實事物的絕對存在，類似于中國道家里的“道”。簡單地說，數(shù)“0”自成一家，數(shù)“1”到無窮是另一類。而作為人們數(shù)數(shù)的工具，自然數(shù)在后來將其源起從“1”擴(kuò)展至“0”，也是為了更一般的描述數(shù)與數(shù)量，描述這個世界。因此，在實際教學(xué)中，不論遇到什么樣的問題，都需記住自然數(shù)的計數(shù)本質(zhì)，那么問題就一定能夠解決。

參考文獻(xiàn)：

張奠宙.小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2009.